Xem mã nguồn của Công thức Legendre

Trong toán học, '''công thức Legendre''' là biểu thức tính số mũ của lũy thừa lớn nhất của [[số nguyên tố]] ''p'' mà là ước của&nbsp;''n''<nowiki>!</nowiki>. Công thức được đặt tên theo nhà toán học [[Adrien-Marie Legendre]]. Đôi khi nó cũng được gọi là '''công thức de Polignac''', theo tên của [[Alphonse de Polignac]].

== Phát biểu ==
Cho số nguyên tố ''p'' và bất kỳ số tự nhiên ''n'', gọi <math>\nu_p(n)</math> là số mũ của lũy thừa lớn nhất  ''p'' mà là ước của ''n'' (tức là [[định giá p-adic|định giá ''p''-adic]] của ''n'').  Khi đó
<math>\nu_p(n!) = \sum_{i=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^i} \right\rfloor,</math>
trong đó <math>\lfloor x \rfloor</math> là [[Phần nguyên|hàm lấy phần nguyên]].  Mặc dù tổng ở vế phải có vô hạn số phần tử, cho bất kỳ giá trị của ''n'' và ''p'', nó vẫn chỉ có hữu hạn số phần tử khác không, lý do như sau: lấy các giá trị ''i'' đủ lớn sao cho <math>p^i > n</math>, ta có <math>\textstyle \left\lfloor \frac{n}{p^i} \right\rfloor = 0</math>. Nhờ đó, rút gọn công thức trên thành
:<math>\nu_p(n!) = \sum_{i=1}^{L} \left\lfloor \frac{n}{p^i} \right\rfloor \, ,</math>
trong đó <math>L = \lfloor \log_{p} n \rfloor</math>.

=== Ví dụ ===
Xét ''n'' = 6, ta có <math> 6! = 720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1</math>.  Các số mũ <math>\nu_2(6!) = 4, \nu_3(6!) = 2</math> và <math>\nu_5(6!) = 1</math> có thể tính bằng công thức Legendre như sau:

: <math>
\begin{align}
\nu_2(6!) & = \sum_{i=1}^\infty \left\lfloor \frac 6 {2^i} \right\rfloor = \left\lfloor \frac 6 2 \right\rfloor + \left\lfloor \frac 6 4 \right\rfloor = 3 + 1 = 4, \\[3pt]
\nu_3(6!) & = \sum_{i=1}^\infty \left\lfloor \frac 6 {3^i} \right\rfloor = \left\lfloor \frac 6 3 \right\rfloor = 2, \\[3pt]
\nu_5(6!) & = \sum_{i=1}^\infty \left\lfloor \frac 6 {5^i} \right\rfloor = \left\lfloor \frac 6 5 \right\rfloor = 1.
\end{align}
</math>

=== Chứng minh ===
Bởi <math>n!</math> là tích của các số nguyên dương từ 1 đến ''n'', ta thu được ít nhất một ''p'' trong <math>n!</math> cho mỗi bội của ''p'' trong <math>\{1, 2, \dots, n\}</math>, tổng cộng có <math>\textstyle \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor</math>.  Mỗi bội của <math>p^2</math> cho thêm một nhân tử ''p'', và tương tự như vậy, mỗi bội của <math>p^3</math> cho thêm một nhân tử ''p'', tiếp diễn như vậy cho các lũy thừa sau.  Cộng tất cả số này sẽ thu về được công thức tổng vô hạn cho <math>\nu_p(n!)</math>.

== Dạng khác ==
Ta cũng có thể viết lại công thức Legendre thành [[ký hiệu vị trí|khai triển cơ số ''p'']] của ''n''.  Gọi <math>s_p(n)</math> là tổng các chữ số trong khai triển cơ số ''p'' của ''n'' thì
	
:<math>\nu_p(n!) = \frac{n - s_p(n)}{p - 1}.</math>
	
Ví dụ chẳng hạn, ''n'' = 6 trong [[hệ nhị phân]] được viết là 6<sub>10</sub> = 110<sub>2</sub>, ta có <math>s_2(6) = 1 + 1 + 0 = 2</math> nên
:<math>\nu_2(6!) = \frac{6 - 2}{2 - 1} = 4.</math>
Tương tự, ''n'' = 6 trong [[hệ tam phân]] được viết là 6<sub>10</sub> = 20<sub>3</sub>, ta có <math>s_3(6) = 2 + 0 = 2</math> nên 
:<math>\nu_3(6!) = \frac{6 - 2}{3 - 1} = 2.</math>
=== Chứng minh ===
Viết <math>n = n_\ell p^\ell + \cdots + n_1 p + n_0</math> trong hệ cơ số ''p''.  Vì <math>\textstyle \left\lfloor \frac{n}{p^i} \right\rfloor = n_\ell p^{\ell-i} + \cdots + n_{i+1} p + n_i</math>, và do vậy
:<math>
\begin{align}
\nu_p(n!)
&= \sum_{i=1}^{\ell} \left\lfloor \frac{n}{p^i} \right\rfloor \\
&= \sum_{i=1}^{\ell} \left(n_\ell p^{\ell-i} + \cdots + n_{i+1} p + n_i\right) \\
&= \sum_{i=1}^{\ell} \sum_{j=i}^{\ell} n_j p^{j-i} \\
&= \sum_{j=1}^{\ell} \sum_{i=1}^{j} n_j p^{j-i} \\
&= \sum_{j=1}^{\ell} n_j \cdot \frac{p^j - 1}{p - 1} \\
&= \sum_{j=0}^{\ell} n_j \cdot \frac{p^j - 1}{p - 1} \\
&= \frac{1}{p - 1} \sum_{j=0}^{\ell} \left(n_j p^j - n_j\right) \\
&= \frac{1}{p - 1} \left(n - s_p(n)\right).
\end{align}
</math>

== Ứng dụng ==
Công thức Legendre được dùng để chứng minh [[:en:Kummer's_theorem|định lý Kummer]].  Dưới trường hợp đặc biệt, nó có thể dùng để chứng minh rằng nếu ''n'' là số nguyên dương thì <math>\binom{2n}{n}</math> chia hết cho 4 khi và chỉ khi ''n'' không phải lũy thừa của 2.

Suy ra được từ công thức Legendre rằng [[:en:P-adic_exponential_function|hàm mũ ''p''-adic]] có bán kính hội tụ bằng với <math>p^{-1/(p-1)}</math>.

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}
* {{Citation | last1=Legendre | first1=A. M. | title=Théorie des Nombres | publisher=Firmin Didot Frères | location=Paris | year=1830}}
* {{Citation | last1=Moll | first1=Victor H.  |author-link1=Victor Hugo Moll | title=Numbers and Functions | publisher=[[American Mathematical Society]] | isbn=978-0821887950  | mr=2963308 | year=2012}}, page 77
* [[Leonard Eugene Dickson]], ''[[History of the Theory of Numbers]]'', Volume 1, Carnegie Institution of Washington, 1919, page 263.

== Liên kết ngoài ==
*{{MathWorld|Factorial|Factorial}}

<!--- Categories --->
[[Thể loại:Giai thừa]]