Xem mã nguồn của Chiếu vectơ

{{For|khái niệm tổng quát|Phép chiếu (đại số tuyến tính)|Phép chiếu (toán học)}}
[[Tập_tin:Projection_and_rejection.svg|nhỏ|200x200px|Hình chiếu của '''a''' lên '''b''' ('''a'''<sub>1</sub>), và hình phản chiếu ('''a'''<sub>2</sub>).]]
[[Tập_tin:Projection_and_rejection_2.svg|nhỏ|248x248px|Khi 90° < ''θ'' ≤ 180°, '''a'''<sub>1</sub> có chiều ngược lại so với '''b'''.]]
'''Hình chiếu vectơ''' của một vectơ '''a''' lên một vectơ khác không '''b''', ký hiệu là <math>\operatorname{proj}_\mathbf{b} \mathbf{a}</math>,<ref name=":0">{{chú thích web|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|title=Comprehensive List of Algebra Symbols|date = ngày 25 tháng 3 năm 2020 |website=Math Vault|language=en-US|access-date = ngày 7 tháng 9 năm 2020}}</ref> (còn gọi là '''thành phần vectơ''' của '''a''' theo phương của '''b''') là [[Phép chiếu (đại số tuyến tính)|hình chiếu trực giao]] ([[vuông góc]]) của '''a''' lên một [[đường thẳng]] song song với '''b'''. Nó là một vectơ [[Song song|cùng phương]] với '''b''', được định nghĩa là:

: <math>\mathbf{a}_1 =  a_1\mathbf{\hat b}\,</math>

trong đó <math>a_1</math> là một vô hướng, gọi là [[hình chiếu vô hướng]] của '''a''' lên '''b''', và '''b̂''' là [[vectơ đơn vị]] theo hướng của '''b'''.

Còn hình chiếu vô hướng được định nghĩa là:<ref name=":1">{{chú thích web|url=https://www.ck12.org/book/ck-12-college-precalculus/section/9.6/|title=Scalar and Vector Projections|website=www.ck12.org|access-date = ngày 7 tháng 9 năm 2020}}</ref>

: <math>a_1 = \left\|\mathbf{a}\right\|\cos\theta = \mathbf{a}\cdot\mathbf{\hat b} = \mathbf{a}\cdot\frac{\mathbf{b}}{\left\|\mathbf{b}\right\|}\,</math>

trong đó toán tử '''&#x22C5;''' ký hiệu cho [[tích vô hướng]], ‖'''a'''‖ là [[Chuẩn Euclid|độ dài]] của '''a''', và ''θ'' là [[góc]] giữa hai vectơ '''a''' và '''b'''.

Hình chiếu vô hướng bằng độ dài của hình chiếu vectơ và có giá trị đại số, với dấu trừ nếu chiều của hình chiếu ngược lại với chiều của '''b'''. Ta cũng gọi thành phần vectơ của '''a''' vuông góc với '''b''' là hình '''phản chiếu vectơ''' của '''a''' từ '''b''' '''('''ký hiệu là <math>\operatorname{oproj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a}</math><ref name=":0" />''')''',<ref>{{chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=8IOypFqEkPMC&pg=PA83|title=Geometric Algebra With Applications in Engineering|last=Perwass|first=G.|year=2009|isbn=9783540890676|page=83}}</ref> đó là hình chiếu [[trực giao]] của '''a''' lên [[mặt phẳng]] (hay tổng quát là [[siêu phẳng]]) trực giao với '''b'''. Hình chiếu '''a'''<sub>1</sub> và hình phản chiếu '''a'''<sub>2</sub> của '''a''' đều là các vectơ và tổng của chúng bằng '''a''',<ref name=":0" /> suy ra hình phản chiếu được cho bởi: <math>\mathbf{a}_2 = \mathbf{a} - \mathbf{a}_1.</math>

== Ký hiệu ==
Thường thì hình chiếu vectơ được ký hiệu bằng chữ '''đậm''' (ví dụ '''a'''<sub>1</sub>), còn hình chiếu vô hướng tương ứng được viết thường (''a''<sub>1</sub>). Trong một số trường hợp, chẳng hạn khi viết tay, hình chiếu vectơ được ký hiệu bởi chữ với dấu (<math>\vec{a}_1</math> hay <u>''a''</u><sub>1</sub>). Ta đôi khi cũng ký hiệu hình chiếu và hình phản chiếu của vectơ '''a''' lên '''b''' tương ứng là '''a'''<sub>∥'''b'''</sub> và '''a'''<sub>⊥'''b'''</sub>.

== Định nghĩa theo góc ''θ'' ==

=== Hình chiếu vô hướng ===
{{Main|Hình chiếu vô hướng}}Hình chiếu vô hướng của '''a''' lên '''b''' là một vô hướng có giá trị bằng

: <math> a_1 = \left\|\mathbf{a}\right\| \cos \theta </math>,

trong đó ''θ'' là góc giữa hai vectơ '''a''' và '''b'''.

Hình chiếu vô hướng có thể được dùng làm [[Hệ số|hệ số nhân]] để tính hình chiếu vectơ tương ứng.

=== Hình chiếu vectơ ===
Hình chiếu vectơ của '''a''' lên '''b''' là một vectơ có độ dài bằng hình chiếu vô hướng của '''a''' lên '''b''' và có cùng phương với '''b'''. Cụ thể, nó được định nghĩa là:

: <math>\mathbf{a}_1 = a_1 \mathbf{\hat b} = (\left\|\mathbf{a}\right\| \cos \theta) \mathbf{\hat b}</math>

trong đó <math>a_1</math> là hình chiếu vô hướng tương ứng được định nghĩa ở trên, còn <math>\mathbf{\hat b}</math> là [[vectơ đơn vị]] cùng phương với '''b''':

: <math>\mathbf{\hat b} = \frac {\mathbf{b}} {\left\|\mathbf{b}\right\|}\,</math>

=== Hình phản chiếu vectơ ===
Theo định nghĩa, hình phản chiếu vectơ của '''a''' lên '''b''' là vectơ:

: <math>\mathbf{a}_2 = \mathbf{a} - \mathbf{a}_1</math>

vì vậy,

: <math>\mathbf{a}_2 = \mathbf{a} - (\left\|\mathbf{a}\right\| \cos \theta) \mathbf{\hat b}</math>

== Định nghĩa theo vectơ a và b ==
Khi chưa biết góc ''θ'', ta có thể tính giá trị cosin của ''θ'' dựa theo '''a''' và '''b''', bằng tính chất sau của [[tích vô hướng]] '''a'''&#x22C5;'''b'''

: <math> \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {\left\|\mathbf{a}\right\| \, \left\|\mathbf{b}\right\|} = \cos \theta</math>

=== Hình chiếu vô hướng ===
Bởi tính chất trên của tích vô hướng, có thể định nghĩa hình chiếu vô hướng như sau:<ref name=":1" />

: <math>a_1 = \left\|\mathbf{a}\right\| \cos \theta = \left\|\mathbf{a}\right\| \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {\left\|\mathbf{a}\right\| \, \left\|\mathbf{b}\right\|} = \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {\left\|\mathbf{b}\right\| }</math>.

Trong không gian hai chiều ta có:

: <math>a_1 = \frac {\mathbf{a}_x \mathbf{b}_x + \mathbf{a}_y \mathbf{b}_y} {\left\|\mathbf{b}\right\|}</math>.

=== Hình chiếu vectơ ===
Tương tự ta có định nghĩa hình chiếu vectơ của '''a''' lên '''b''':

: <math>\mathbf{a}_1 = a_1 \mathbf{\hat b} = \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {\left\|\mathbf{b}\right\| } \frac {\mathbf{b}} {\left\|\mathbf{b}\right\|},</math><ref name=":1" />

điều này tương đương với

: <math>\mathbf{a}_1 = \left(\mathbf{a} \cdot \mathbf{\hat b}\right) \mathbf{\hat b},</math>

hoặc là<ref>{{chú thích web|url=http://www.math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/vcalc/dotprod/dotprod.html|title=Dot Products and Projections|ngày truy cập=2021-02-22|archive-date=2016-05-31|archive-url=https://web.archive.org/web/20160531080405/http://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/vcalc/dotprod/dotprod.html|url-status=dead}}</ref>

: <math>\mathbf{a}_1 = \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {\left\|\mathbf{b}\right\|^2}{\mathbf{b}} = \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b}}</math>.

=== Hình phản chiếu vô hướng ===
Trong không gian hai chiều, hình phản chiếu vô hướng chính là hình chiếu của '''a''' lên vectơ trực giao <math>\mathbf{b}^\perp = \begin{pmatrix}-\mathbf{b}_y & \mathbf{b}_x\end{pmatrix}</math>, đó là vectơ <math>\mathbf{b} = \begin{pmatrix}\mathbf{b}_x & \mathbf{b}_y\end{pmatrix}</math> sau khi quay 90° ngược chiều kim đồng hồ. Vì vậy, ta có

: <math>a_2 = \left\|\mathbf{a}\right\| \sin \theta = \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}^\perp} {\left\|\mathbf{b}\right\|} = \frac {\mathbf{a}_y \mathbf{b}_x - \mathbf{a}_x \mathbf{b}_y} {\left\|\mathbf{b}\right\| }</math>.

Tích vô hướng có dạng trên được gọi là "tích vô hướng vuông."<ref>{{chú thích sách|title=Graphics Gems IV|last1=Hill|first1=F. S. Jr.|date=1994|publisher=Academic Press|location=San Diego|pages=138–148}}</ref>

=== Hình phản chiếu vectơ ===
Theo định nghĩa:

: <math>\mathbf{a}_2 = \mathbf{a} - \mathbf{a}_1 </math>

vì vậy,

: <math>\mathbf{a}_2 = \mathbf{a} - \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b}}.</math>

== Tính chất ==
[[Tập_tin:Dot_Product.svg|phải|nhỏ|200x200px|Nếu 0° ≤ ''θ'' ≤ 90° như trong trường hợp này thì [[hình chiếu vô hướng]] của '''a''' lên '''b''' bằng độ dài của hình chiếu vectơ.]]

=== Hình chiếu vô hướng ===
{{Main|Hình chiếu vô hướng}}Hình chiếu vô hướng của '''a''' lên '''b''' là một vô hướng, nó có dấu âm nếu [[Góc vuông|90°]] < ''θ'' ≤ [[Góc bẹt|180°]]. Nó bằng độ dài ‖'''c'''‖ của hình chiếu vectơ nếu góc ''θ'' nhỏ hơn 90°. Một cách chính xác hơn là:

* ''a''<sub>1</sub> =  ‖'''a'''<sub>1</sub>‖ nếu 0° ≤ ''θ'' ≤ 90°,
* ''a''<sub>1</sub> = −‖'''a'''<sub>1</sub>‖ nếu 90° < ''θ'' ≤ 180°.

=== Hình chiếu vectơ ===
Hình chiếu vectơ của '''a''' lên '''b''' là một vectơ '''a'''<sub>1</sub>, có thể song song với '''b''' hoặc bằng [[Phần tử không|vectơ không]]. Cụ thể:

* '''a'''<sub>1</sub> = '''0''' nếu ''θ'' = 90°,
* '''a'''<sub>1</sub> và '''b''' cùng chiều nếu 0° ≤ ''θ'' < 90°,
* '''a'''<sub>1</sub> và '''b''' ngược chiều nếu 90° < ''θ'' ≤ 180°.

=== Hình phản chiếu vectơ ===
Hình phản chiếu vectơ của '''a''' từ '''b''' là một vectơ '''a'''<sub>2</sub>, có thể trực giao với '''b''' hoặc bằng vectơ không. Cụ thể:

* '''a'''<sub>2</sub> = '''0''' nếu ''θ''  = 0 or ''θ''  = 180°,
* '''a'''<sub>2</sub> vuông góc với '''b''' nếu 0° < ''θ'' < 180°,

== Biểu diễn ma trận ==
Phép chiếu trực giao có thể được biểu diễn bởi một ma trận chiếu. Để chiếu một vectơ lên một vectơ đơn vị ''a'' = (''a<sub>x</sub>, a<sub>y</sub>, a<sub>z</sub>''), ta cần nhân vectơ đó với ma trận chiếu:

: <math>P_a = a a^\textsf{T} =
  \begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix} a_x & a_y & a_z \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
    a_x^2 & a_x a_y & a_x a_z  \\
    a_x a_y & a_y^2 & a_y a_z  \\
    a_x a_z & a_y a_z & a_z^2  \\
 \end{bmatrix}
</math>

== Ứng dụng ==
Phép chiếu vectơ là một phép toán quan trọng trong quá trình [[Trực chuẩn|trực giao hóa]] [[Trực giao hóa Gram–Schmidt|Gram–Schmidt]] cho [[Cơ sở (đại số tuyến tính)|cơ sở]] của các [[không gian vectơ]]. Nó cũng được sử dụng trong [[Định lý tách siêu phẳng|định lý tách trục]] để xác định xem liệu hai hình lồi có giao nhau.

== Tổng quát hóa ==
Bởi vì các khái niệm [[độ dài]] vectơ và [[góc]] giữa các vectơ có thể được tổng quát hóa trên một [[không gian tích trong]] ''n'' chiều, cũng có thể tổng quát hóa các khái niệm như hình chiếu trực giao của một vectơ, hình chiếu và hình phản chiếu của một vectơ lên vectơ khác.

Trong một số trường hợp, như với [[Không gian Euclid nhiều chiều|không gian Euclid ''n'' chiều]], khái niệm tích trong trùng với tích vô hướng. Nếu hai khái niệm này không giống nhau thì tích trong thay vì tích vô hướng sẽ được sử dụng trong định nghĩa chính tắc của hình chiếu và hình phản chiếu.

Đối với một [[không gian tích trong]] 3 chiều, các khái niệm hình chiếu và hình phản chiếu của một vectơ lên một vectơ khác được tổng quát hóa lên khái niệm hình chiếu và hình phản chiếu của vectơ lên một mặt phẳng.<ref>M.J. Baker, 2012. [http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/elements/plane/lineOnPlane/index.htm Projection of a vector onto a plane.] Published on www.euclideanspace.com.</ref> Hình chiếu của một vectơ lên một mặt phẳng cũng chính là [[Phép chiếu (đại số tuyến tính)|hình chiếu trực giao]] của vectơ đó lên mặt phẳng, còn hình phản chiếu của một vectơ lên mặt phẳng là hình chiếu trực giao của vectơ đó lên một đường thẳng trực giao với mặt phẳng đó. Cả hai đều là vectơ. Hình chiếu song song với mặt phẳng còn hình phản chiếu thì vuông góc.

Đối với một vectơ và một mặt phẳng cho trước, tổng của hình chiếu và hình phản chiếu bằng vectơ ban đầu. Tương tự, đối với không gian tích trong nhiều hơn 3 chiều, các khái niệm hình chiếu và phản chiếu lên một vectơ có thể được tổng quát hóa lên thành hình chiếu và phản chiếu lên một [[siêu phẳng]]. Trong một [[đại số hình học]], chúng được tổng quát hóa hơn nữa thành các khái niệm [[Đại số hình học|hình chiếu và hình phản chiếu]] của một đa vectơ tổng quát lên một ''k''-blade khả nghịch.

== Xem thêm ==

* [[Hình chiếu vô hướng]]
* [[Ký hiệu vectơ]]

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}

== Liên kết ngoài ==

* [http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/elements/plane/lineOnPlane/index.htm Projection of a vector onto a plane]
{{Đại số tuyến tính}}

[[Thể loại:Hàm số và ánh xạ]]
[[Thể loại:Vectơ (toán học và vật lý)]]