Xem mã nguồn của Giả thuyết Legendre

{{Short description|Số nguyên tố giữa hai số chính phương}}
'''Giả thuyết Legendre''' là giả thuyết được đề xuất bởi [[Adrien-Marie Legendre]], phát biểu rằng luôn có [[số nguyên tố]] nằm giữa <math>n^2</math> và <math>(n+1)^2</math> với mọi [[số tự nhiên]] <math>n</math>.  [[Giả thuyết]] này là một trong những [[Các bài toán của Landau|bài toán của Landau]] (1912) về số nguyên tố; {{as of|2022|lc=y}}, giả thuyết chưa được chứng minh đúng hay sai.

{{Vấn đề mở|toán học|Liệu luôn có tồn tại số nguyên tố nằm giữa <math>n^2</math> và <math>(n+1)^2</math>?}}

==Khoảng cách nguyên tố==
Nếu giả thuyết Legendre đúng, [[khoảng cách nguyên tố|khoảng cách]] giữa bất kỳ số nguyên tố ''p'' và số nguyên tố tiếp theo sẽ là <math>O(\sqrt p)</math>, biểu diễn trong [[ký hiệu O lớn]].{{efn|Đây là hệ quả lấy từ ý rằng khoảng cách giữa hai số chính phương liên tiếp phụ thuộc vào căn bậc hai của chúng}}. Giả thuyết là một bài toán trong họ các bài toán và kết quả liên quan tới [[khoảng cách nguyên tố]], tức là khoảng cách giữa hai số nguyên tố liên tiếp. Các bài toán toán khác bao gồm [[định đề Bertrand]], trên sự tồn tại của số nguyên tố nằm giữa <math>n</math> và <math>2n</math>, [[giả thuyết Oppermann]] trên sự tồn tại của các số nguyên tố nằm giữa <math>n^2</math>, <math>n(n+1)</math>, và <math>(n+1)^2</math>, [[giả thuyết Andrica]] và [[giả thuyết Brocard]] cho sự tồn tại của số nguyên tố nằm giữa hai lũy thừa bậc hai của hai số nguyên tố liên tiếp, và [[giả thuyết Cramér]] rằng khoảng cách có thể nhỏ hơn, nằm vào khoảng <math>(\log p)^2</math>. Nếu giả thuyết của Cramér đúng, Legendre sẽ đúng cho mọi ''n'' đủ lớn.  [[Harald Cramér]] đồng thời cũng chứng minh rằng từ [[giả thuyết Riemann]] sẽ suy ra cận yếu hơn <math>O(\sqrt p\log p)</math> trên khoảng cách số nguyên tố lớn nhất.<ref>{{citation|title=Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems|first=Ian|last=Stewart|authorlink=Ian Stewart (mathematician)|publisher=Basic Books|year=2013|isbn=9780465022403|page=164|url=https://books.google.com/books?id=dzdSy3diraUC&pg=PA164}}.</ref>

[[Tập tin:Plot of number of primes between consecutive squares.png|thumbnail|400px|right|Đồ thị số các số nguyên tố nằm giữa ''n''<sup>2</sup> và (''n'' + 1)<sup>2</sup> {{OEIS2C|id=A014085}}]]

Theo [[định lý số nguyên tố]], số số nguyên tố nằm giữa <math>n^2</math> và <math>(n+1)^2</math> có lẽ nằm vào khoảng <math>n/\ln n</math>, và hiện được biết là [[gần như mọi]] khoảng dưới dạng này có số các số nguyên tố ({{OEIS2C|id=A014085}}) [[tiệm cận]] với giá trị kỳ vọng này.<ref>{{citation
 | last = Bazzanella | first = Danilo
 | doi = 10.1007/s000130050469
 | issue = 1
 | journal = Archiv der Mathematik
 | mr = 1764888
 | pages = 29–34
 | title = Primes between consecutive squares
 | volume = 75
 | year = 2000}}</ref> Bởi giá trị này lớn khi <math>n</math> lớn, nên dễ cho rằng giả thuyết Legendre đúng<ref>{{citation
 | last = Francis | first = Richard L.
 | date = February 2004
 | doi = 10.35834/2004/1601051
 | issue = 1
 | journal = Missouri Journal of Mathematical Sciences
 | pages = 51–57
 | publisher = University of Central Missouri, Department of Mathematics and Computer Science
 | title = Between consecutive squares
 | volume = 16}}; see p. 52, "It appears doubtful that this super-abundance of primes can be clustered in
such a way so as to avoid appearing at least once between consecutive squares."</ref>.Song, định lý số nguyên tố thường đếm chính xác số các số nguyên tố trong khoảng nhỏ, hoặc không điều kiện<ref>{{citation
 | last = Heath-Brown | first = D. R.
 | doi = 10.1515/crll.1988.389.22
 | journal = Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
 | mr = 953665
 | pages = 22–63
 | title = The number of primes in a short interval
 | volume = 389
 | year = 1988}}</ref> hoặc dựa trên [[giả thuyết Riemann]],<ref>{{citation
 | last = Selberg | first = Atle
 | issue = 6
 | journal = Archiv for Mathematik og Naturvidenskab
 | mr = 12624
 | pages = 87–105
 | title = On the normal density of primes in small intervals, and the difference between consecutive primes
 | volume = 47
 | year = 1943}}</ref> nhưng độ dài các khoảng đó được chứng minh là lớn hơn độ dài khoảng cách giữa hai số chính phương, quá dài để có thể chứng minh giả thuyết Legendre đúng.

==Các kết quả riêng==
Từ kết quả của [[Albert Ingham|Ingham]] suy ra được rằng với mọi số <math>n</math> đủ lớn, tồn tại số nguyên tố nằm giữa hai ''số lập phương'' liên tiếp <math>n^3</math> và <math>(n+1)^3</math>.<ref>{{OEIS2C|id=A060199}}</ref>

Baker, Harman và [[Janos Pintz|Pintz]] đã chứng minh rằng tồn tại số nguyên tố nằm trong khoảng <math>[x-x^{21/40},\,x]</math> với mọi <math>x</math> đủ lớn.<ref name="baker">{{citation |last=Baker |first=R. C. |first2=G. |last2=Harman |first3=J. |last3=Pintz |year=2001 |title=The difference between consecutive primes, II |journal=Proceedings of the London Mathematical Society |volume=83 |issue=3 |pages=532–562 |doi=10.1112/plms/83.3.532 |url=http://www.cs.umd.edu/~gasarch/BLOGPAPERS/BakerHarmanPintz.pdf }}</ref>

Bảng các khoảng cách số nguyên tố cho thấy kiểm chứng giả thuyết đúng cho tới <math>n^2=4\cdot10^{18}</math>, hay <math>n=2\cdot10^9</math>.<ref>{{citation
 | last1 = Oliveira e Silva | first1 = Tomás
 | last2 = Herzog | first2 = Siegfried
 | last3 = Pardi | first3 = Silvio
 | doi = 10.1090/S0025-5718-2013-02787-1
 | issue = 288
 | journal = Mathematics of Computation
 | mr = 3194140
 | pages = 2033–2060
 | title = Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to <math>4\cdot10^{18}</math>
 | volume = 83
 | year = 2014| doi-access = free
 }}.</ref>

==Chú thích==
{{notelist}}

==Tham khảo==
{{Tham khảo}}

==Liên kết ngoài==
* {{mathworld |urlname=LegendresConjecture |title=Legendre's conjecture|mode=cs2}}

{{Giả thuyết số nguyên tố}}

{{sơ khai lý thuyết số}}

[[Thể loại:Giả thuyết về số nguyên tố]]
[[Thể loại:Số chính phương]]
[[Thể loại:Vấn đề mở trong lý thuyết số]]
[[Thể loại:Phỏng đoán về số nguyên tố]]