Xem mã nguồn của Hàm Von Mangoldt

{{Phân biệt|hằng de Bruijn–Newman}}{{Để|"Λ"|Lambda}}

Trong [[toán học]], '''hàm von Mangoldt''' là [[hàm số học]] được theo tên nhà toán học [[Đức]] [[Hans von Mangoldt]]. Nó là một trong những ví dụ quan trọng về hàm số học không [[Hàm nhân tính|nhân tính]] hay cộng tính.

== Định nghĩa ==
Hàm von Mangoldt, ký hiệu bởi {{Math|Λ(''n'')}}, được định nghĩa bởi

: <math>\Lambda(n) = \begin{cases} \log p & \text{if }n=p^k \text{ for some prime } p \text{ and integer } k \ge 1, \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}</math>

Giá trị của {{Math|Λ(''n'')}} cho chín số nguyên dương đầu tiên là

: <math>0, \log 2, \log 3, \log 2, \log 5, 0, \log 7, \log 2, \log 3,</math>

liên quan tới {{OEIS|id=A014963}}.

'''Hàm tổng von Mangoldt''', {{Math|''ψ''(''x'')}}, còn được gọi là hàm Chebyshev thứ hai, được định nghĩa bởi

: <math>\psi(x) = \sum_{n\le x} \Lambda(n).</math>

== Các tính chất ==
Hàm von Mangoldt thỏa mãn định thức sau:<ref name="Apo32">Apostol (1976) p.32</ref><ref name="Ten30">Tenenbaum (1995) p.30</ref>

: <math>\log(n) = \sum_{d \mid n} \Lambda(d).</math>

Tổng được lấy trên tất cả các [[số nguyên]] {{Mvar|d}} [[Ước số|là ước]] của {{Mvar|n}} . Điều này được chứng minh bởi [[định lý cơ bản của số học]], vì giá trị hàm của các phần tử không phải là lũy thừa của số nguyên tố bằng {{Math|0}} . Ví dụ, xét trường hợp {{Math|''n'' {{=}} 12 {{=}} 2<sup>2</sup> × 3}} , khi đó:

: <math>\begin{align}
\sum_{d \mid 12} \Lambda(d) &= \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda(3) + \Lambda(4) + \Lambda(6) + \Lambda(12) \\
&= \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda(3) + \Lambda \left (2^2 \right ) + \Lambda(2 \times 3) + \Lambda \left (2^2 \times 3 \right) \\
&= 0 + \log(2) + \log(3) + \log(2) + 0 + 0 \\
&=\log (2 \times 3 \times 2) \\
&= \log(12).
\end{align}</math>

Bằng phép nghịch đảo Möbius, ta được <ref name="Ten30"/><ref name="Apo33">Apostol (1976) p.33</ref><ref>{{Chú thích sách|title=Number theory in science and communication. With applications in cryptography, physics, digital information, computing, and self-similarity|last=Schroeder|first=Manfred R.|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=1997|isbn=3-540-62006-0|edition=3rd|series=Springer Series in Information Sciences|volume=7|location=Berlin|zbl=0997.11501}}</ref>

: <math>\Lambda (n) = - \sum_{d \mid n} \mu(d) \log(d) \ . </math>

Với mọi <math>x\ge 1</math>, ta có <ref name="Apo88">Apostol (1976) p.88</ref>

: <math> \sum_{n\le x}\frac{\Lambda(n)}{n}=\log x+O(1).</math>

Ngoài ra, tồn tại hai hằng số <math>c_{1}</math> và <math>c_2</math> sao cho

: <math> \psi(x)\le c_1x, </math>

với mọi <math>x\ge 1</math>, và

: <math> \psi(x)\ge c_2x, </math>

cho mọi {{Math|''x''}} đủ lớn.

==Chuỗi Dirichlet==
Hàm von Mangoldt function đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết của [[chuỗi Dirichlet]], và cụ thể hơn là [[hàm zeta Riemann]]. Ví dụ chẳng hạn, ta có

:<math>\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}, \qquad \text{Re}(s) > 1.</math>

[[Đạo hàm lôgarit]] của nó như sau<ref name=HW>Hardy & Wright (2008) §17.7, Theorem 294</ref>

:<math>\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.</math>

Các công thức trên là trường hợp đặc biệt của dạng tổng quát trên chuỗi Dirichlet.  Nếu ta có

:<math>F(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}</math>

với <math>f(n)</math> là [[completely multiplicative function|hàm nhân đầy đủ]] và chuỗi hội tụ khi {{math|Re(''s'') > σ<sub>0</sub>}}, thì

:<math>\frac {F^\prime(s)}{F(s)} = - \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\Lambda(n)}{n^s}</math>

hội tụ khi {{math|Re(''s'') > σ<sub>0</sub>}}.

==Hàm Chebyshev==
[[Chebyshev function|Hàm Chebyshev]] thứ hai ''&psi;''(''x'') là [[hàm tổng]] của hàm von Mangoldt:<ref name=Apo246>Apostol (1976) p.246</ref>

:<math> \psi(x) = \sum_{p^k\le x}\log p=\sum_{n \leq x} \Lambda(n) \ . </math>

Hàm được giới thiệu bởi [[Pafnuty Chebyshev]], nhà toán học này dùng nó để chứng minh bậc của hàm đếm số nguyên tố <math>\pi(x)</math> là <math>x/\log x</math>. Von Mangoldt đưa ra bài chứng minh chặt chẽ cho một công thức cụ thể cho {{math|''ψ''(''x'')}} bao gồm tổng trên các trên không điểm không tầm thường của [[hàm zeta Riemann]]. Nội dung này đóng vai trò quan trọng trong bài chứng minh đầu tiên cho [[định lý số nguyên tố]].

Ta có thể tìm [[Mellin transform|biến đổi Mellin]] của hàm Chebyshev bằng cách áp dụng [[công thức Perron]]:

:<math>\frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = - s\int_1^\infty \frac{\psi(x)}{x^{s+1}}\,dx</math>

đẳng thức chỉ đúng khi {{math|Re(''s'') > 1}}.

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}

[[Thể loại:Hàm số học]]