Xem mã nguồn của Hàm phân hình

Trong toán học, cụ thể là ngành [[giải tích phức]], một '''hàm phân hình''' trên một [[Tập mở|tập con mở]] {{mvar|D}} của [[mặt phẳng phức]] là một [[hàm số]] [[Hàm chỉnh hình|chỉnh hình]] trên toàn bộ {{mvar|D}} ''ngoại trừ'' một tập các [[điểm cô lập]], gọi là [[Không điểm và cực điểm|cực điểm]] của hàm số.

Mỗi hàm phân hình trên {{mvar|D}} có thể được biểu diễn thành tỉ số của hai [[hàm chỉnh hình]] (với mẫu số khác 0) trên {{mvar|D}}, khi ấy mọi cực điểm cũng là không điểm của mẫu số.
[[Tập tin:Gamma abs 3D.png|thumb|right|[[Hàm gamma]] là hàm phân hình trên toàn bộ mặt phẳng phức.]]

Theo cảm tính, do là tỉ số của hai hàm chỉnh hình, hàm phân hình cũng có hành vi dễ mô tả, trừ những điểm mà mẫu số của phân thức là 0. Nếu mẫu số bằng tại {{mvar|z}} còn tử số thì không, thì giá trị của hàm số tiến đến vô cùng; nếu cả tử lẫn mẫu đều bằng 0 tại {{mvar|z}} thì phải xét cả nghiệm bội này.

Từ góc nhìn đại số, nếu {{mvar|D}} [[Tập hợp liên thông|liên thông]], thì tập hợp những hàm phân hình là [[trường các thương]] của [[miền nguyên]] các hàm chỉnh hình. Điều này tương tự như mối liên hệ giữa [[số hữu tỉ]] và các [[số nguyên]].

Hàm phân hình là một [[hàm bộ phận]]: miền xác định của nó là một tập con [[Tập trù mật|trù mật]] của <math>D</math>.

==Định nghĩa==
Có ba dạng [[điểm kỳ dị cô lập]], bao gồm: [[điểm kỳ dị bỏ được]], [[không điểm và cực điểm|cực điểm]] và [[điểm kỳ dị cốt yếu]]. Trong đó nếu {{mvar|a}} là một điểm kỳ dị cô lập của {{mvar|f}} thì {{mvar|a}} là ''cực điểm'' của {{mvar|f}} nếu
:<math>\lim_{z\to a} \left | f(z) \right |=\infty </math>
Một cách định nghĩa khác đó là {{mvar|a}} là cực điểm của {{mvar|f}} nếu {{mvar|a}} là [[Không điểm của hàm số|không điểm]] của {{math|1/''f''}}.

Từ đó, hàm phân hình được định nghĩa như sau: một hàm {{mvar|f}} định nghĩa trên tập mở {{mvar|D}} được gọi là ''phân hình'' trên 
{{mvar|D}} nếu tồn tại tập con [[Điểm cô lập|rời rạc]] {{mvar|P}} của {{mvar|D}} sao cho:
*{{mvar|P}} là tập các cực điểm của {{mvar|f}}, và
*{{mvar|f}} chỉnh hình trên {{math|{{mvar|D}} \ ''P''}}.

Tập {{mvar|P}} có thể là tập rỗng, khi ấy {{mvar|f}} là hàm chỉnh hình trên {{mvar|D}}. Như vậy mọi hàm chỉnh hình đều là hàm phân hình.

==Thuật ngữ==
Trong [[tiếng Anh]], cụm từ ''meromorphic function'' được dùng để chỉ các hàm phân hình, còn ''holomorphic function'' được dùng để chỉ các [[hàm chỉnh hình]]. Từ này bắt nguồn từ [[tiếng Hy Lạp cổ đại]] ''meros'' ([[wikt:μέρος|μέρος]]), nghĩa là "phần", và ''morphe'' ([[wikt:μορφή|μορφή]]), nghĩa là "dạng" hay "hình dáng". Trái với ''holos'' ([[wikt:ὅλος|ὅλος]]), nghĩa là "toàn bộ".

==Tính chất==
Do các cực điểm của một hàm phân hình bị cô lập, nên tập các cực điểm là [[đếm được]], nhưng không nhất thiết hữu hạn, ví dụ như hàm số
: <math>f(z) = \csc z = \frac{1}{\sin z}.</math>
có cực điểm là {{math|&pi;''n''}} với số nguyên {{mvar|n}} bất kỳ.

Bằng cách sử dụng [[thác triển giải tích]] để loại bỏ các [[điểm kỳ dị bỏ được]], hàm phân hình có thể được cộng, trừ, nhân và tỉ số {{math|''f''/''g''}} có nghĩa trừ khi {{math|1=''g''(''z'') = 0}} trên một [[Tập hợp liên thông|thành phần liên thông]] của {{mvar|D}}. Do đó, nếu {{mvar|D}} liên thông, các hàm phân hình tạo thành một [[trường (đại số)|trường]], thực chất là một [[mở rộng trường]] của [[số phức]].

===Chiều cao hơn===
Với nhiều biến phức, một hàm phân hình được định nghĩa là thương của hai hàm chỉnh hình tại địa hương. Ví dụ, {{math|1=''f''(''z''<sub>1</sub>, ''z''<sub>2</sub>) = ''z''<sub>1</sub> / ''z''<sub>2</sub>}} là một hàm phân hình trên không gian afin phức hai chiều. Lúc này, mỗi hàm phân hình không thể xem là hàm chỉnh hình với các giá trị thuộc [[mặt cầu Riemann]] (tức mặt phẳng phức mở rộng, bao gồm các giá trị ở vô cùng)

Không như trong trường hợp một biến, với nhiều biến tồn tại những [[đa tạp phức]] mà trên đó không có hàm phân hình khác hằng nào, ví dụ như hầu hết [[hình xuyến phức]].

== Ví dụ ==
* Tất cả [[hàm phân thức]], ví dụ
*::<math> f(z) = \frac{z^3 - 2z + 10}{z^5 + 3z - 1}, </math>
*:phân hình trên toàn mặt phẳng phức.
* Các hàm
*::<math> f(z) = \frac{e^z}{z} \quad\text{và}\quad f(z) = \frac{\sin{z}}{(z-1)^2} </math>
*:cũng như [[hàm gamma]] và [[hàm zeta Riemann]] là phân hình trên toàn bộ mặt phẳng phức.
* Hàm số
*::<math> f(z) = e^\frac{1}{z} </math>
*: được định nghĩa trên toàn bộ mặt phẳng phức, trừ {{math|0}}. Tuy nhiên, {{math|0}} không phải là cực điểm của hàm số, mà là một [[điểm kỳ dị cốt yếu]]. Vì thế, hàm số này không phân hình trên toàn bộ mặt phẳng phức. Tuy nhiên, nó phân hình (và chỉnh hình) trên <math>\mathbb{C} \setminus \{0\}</math>.
* Hàm [[lôgarit phức]]
*::<math> f(z) = \ln(z) </math>
*:không phân hình trên toàn bộ mặt phẳng phức, do nó không thể được định nghĩa trên toàn bộ mặt phẳng phức mà loại bỏ một tập các điểm cô lập.
* Hàm số
*::<math> f(z) = \csc\frac1z = \frac1{\sin\left(\frac{1}{z}\right)} </math>
*:không phân hình trên toàn bộ mặt phẳng phức, do điểm {{math|1=''z'' = 0}} là một [[điểm giới hạn]] của các cực điểm chứ không là một điểm kỳ dị cô lập. Hàm số
*::<math> f(z) = \sin\frac1z </math>
*:cũng không phân hình, do nó có điểm kỳ dị cốt yếu tại {{math|0}}.

== Trên các mặt Riemann ==
Trên một [[mặt Riemann]], mọi điểm đều có một lân cận mở [[Hàm chỉnh hình|song chỉnh hình]] với một tập con mở của mặt phẳng phức. Do đó khái niệm của một hàm phân hình có thể được định nghĩa trên một mặt Riemann.

Nếu {{mvar|D}} là toàn bộ [[mặt cầu Riemann]], trường các hàm phân hình chỉ là trường các hàm phân thức một ẩn trên trường số phức, do ta có thể chứng minh bất kỳ hàm phân hình nào trên mặt cầu đều là hữu tỉ.

Với một [[mặt Riemann]], một hàm phân hình tương đương với một hàm chỉnh hình có giá trị thuộc mặt cầu Riemann và khác hằng {{math|∞}}. Các cực tương ứng với những số phức bị biến thành {{math|∞}}.

Trên một [[mặt Riemann]] không [[compact]], mỗi hàm phân hình đều có thể viết dưới dạng thương của hai hàm chỉnh hình. Mặt khác, trên một mặt Riemann compact, mọi hàm chỉnh hình đều là hằng số nhưng luôn tồn tại hàm phân hình khác hằng.

Những hàm phân hình [[Hàm tuần hoàn|tuần hoàn]] theo hai hướng phân biệt trên mặt phẳng phức được gọi là [[hàm elliptic]].

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}

* {{Citation | last1=Lang | first1=Serge | author1-link=Serge Lang | title=Complex analysis | publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=4th | isbn=978-0-387-98592-3 | year=1999}}
* {{Citation | last1=Zassenhaus | first1=Hans | author1-link=Hans Zassenhaus | title=Lehrbuch der Gruppentheorie | publisher=B. G. Teubner Verlag | location=Leipzig, Berlin | edition=1st | year=1937}}
* {{springer|title=Meromorphic function|id=p/m063460}}

{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Meromorphic Function}}
[[Thể loại:Hàm phân hình]]
[[Thể loại:Giải tích phức]]