Xem mã nguồn của Hàm số bậc ba

[[Tập tin:Polynomialdeg3.svg|phải|nhỏ|210x210px|Đồ thị của một hàm số bậc ba với 3 [[Nghiệm số|nghiệm]] [[số thực]] (tại đó đường đồ thị cắt trục hoành—thỏa mãn {{Math|''y'' {{=}} 0}}). Hình vẽ cho thấy hai [[điểm cực trị]]. Phương trình của hàm số là {{Math|''f''(''x'') {{=}} (''x''<sup>3</sup> + 3''x''<sup>2</sup> − 6''x'' − 8)/4}}.]]
Trong [[đại số]], một '''hàm số bậc ba''' là một [[hàm số]] có dạng
: <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>
trong đó a khác 0.

Phương trình {{Math|''f''(''x'') {{=}} 0}} là một '''[[phương trình bậc ba]]''' có dạng
: <math>ax^3+bx^2+cx+d=0.\,</math>
Các giá trị x thỏa mãn phương trình này được gọi là các [[nghiệm số]] của [[đa thức]] {{Math|''f''(''x'')}}. Nếu tất cả các [[hệ số]] a, b, c, và d của phương trình bậc ba là [[số thực]] thì sẽ có ít nhất một nghiệm thực (điều này đúng đối với tất cả các đa thức bậc lẻ). Tất cả các nghiệm của phương trình bậc ba có thể được biểu diễn bằng các hàm đại số. (Điều này cũng đúng với phương trình [[Hàm số bậc hai|hàm bậc hai]] hoặc [[Phương trình bậc bốn|bậc bốn]] (nhưng không đúng với các hàm bậc cao hơn, xem [[định lý Abel–Ruffini]]). Các nghiệm cũng có thể được xác định bằng [[lượng giác]]. Một cách khác, có thể dùng [[Giải tích số|phương pháp xấp xỉ]] để tính toán các nghiệm số bằng cách sử dụng các [[thuật toán tìm nghiệm số]] như [[phương pháp Newton]].

Các hệ số không cần phải là số phức. Phần lớn những gì được trình bày dưới đây có giá trị đối với các hệ số của bất kỳ [[Trường (đại số)|trường]] nào với đặc tính là {{Math|0}} hoặc lớn hơn {{Math|3}}. Các nghiệm của phương trình bậc ba không nhất thiết thuộc cùng một trường số với các hệ số. Ví dụ, một số phương trình bậc ba với các hệ số [[Số hữu tỉ|hữu tỷ]] có nghiệm số không phải là số hữu tỷ (và thậm chí là [[số phức]]).

== Lịch sử ==
[[Tập tin:Graph_of_cubic_polynomial.svg|phải|nhỏ|300x300px|Đồ thị hai chiều của một hàm bậc 3, [[đa thức]] ''&#x192;''(''x'') = 2''x''<sup>3</sup>&nbsp;&#x2212;&nbsp;3''x''<sup>2</sup>&nbsp;&#x2212;&nbsp;3''x''&nbsp;+&nbsp;2.]]
Phương trình bậc ba đã được người Babylon, Hy Lạp, Trung Quốc, Ấn Độ và [[Ai Cập cổ đại]] quan tâm từ lâu.<ref>{{chú thích|last = Høyrup|first = Jens|title = Amphora: Festschrift for [[Hans Wussing]] on the Occasion of his 65th Birthday|chapter = The Babylonian Cellar Text BM 85200 + VAT 6599 Retranslation and Analysis|pages = 315–358|publisher = [[Birkhäuser]]|year = 1992|doi = 10.1007/978-3-0348-8599-7_16|isbn = 978-3-0348-8599-7}}</ref><ref name="oxf"/><ref name=wae/> [[Văn minh cổ Babylon|Người Babylon]] (thế kỷ 20 đến 16 TCN) đã lưu lại các bản viết [[chữ hình nêm]] với các bảng để tính các số lập phương và khai căn bậc 3.<ref>{{chú thích sách|last=Cooke|first=Roger|title=The History of Mathematics|url=https://books.google.com/?id=CFDaj0WUvM8C&pg=PT63|date=ngày 8 tháng 11 năm 2012|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-46029-0|page=63}}</ref><ref name="nen">{{chú thích sách|last= Nemet-Nejat|first=Karen Rhea|title=Daily Life in Ancient Mesopotamia|url=https://books.google.com/?id=lbmXsaTGNKUC&pg=PA306|year=1998|publisher=Greenwood Publishing Group|isbn=978-0-313-29497-6|page=306}}</ref> Người Babylon có thể đã sử dụng các bảng để [[giải phương trình]] bậc 3, nhưng không có bằng chứng nào để khẳng định rằng họ đã làm như vậy.<ref name=co>{{chú thích sách|last=Cooke|first=Roger|title=Classical Algebra: Its Nature, Origins, and Uses|url=https://books.google.com/?id=JG-skeT1eWAC&pg=PA64|year=2008|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-27797-3|page=64}}</ref> Bài toán tăng gấp đôi [[thể tích]] khối lập phương liên quan đến phương trình bậc ba đơn giản nhất và được nghiên cứu lâu đời nhất, và là một trong các phương trình mà người Ai Cập cổ đại không tin rằng có cách giải.<ref>{{Harvtxt|Guilbeau|1930|p=8}} states that "the Egyptians considered the solution impossible, but the Greeks came nearer to a solution."</ref> Vào thế kỷ thứ 5TCN, [[Hippocrates]] đã rút gọn được vấn đề này khi tìm ra hai phần tỷ lệ giữa một [[đoạn thẳng]] và một đoạn khác gấp đôi [[chiều dài]] của nó, nhưng không thể giải quyết vấn đề này bằng [[Phép dựng hình bằng thước kẻ và compa|compa và thước kẻ]],<ref name=Guilbeau>{{Harvtxt|Guilbeau|1930|pp=8–9}}</ref> một bài toán mà bây giờ được chứng minh là không thể. Các phương pháp [[giải phương trình]] bậc ba xuất hiện trong ''[[Cửu chương toán thuật]]'', một tác phẩm [[Toán học Trung Quốc|tiếng Trung Quốc về toán học]] được viết vào khoảng thế kỷ 2 TCN và được [[Lưu Huy]] viết thêm lời bình vào thế kỷ 3.<ref name="oxf">{{chú thích sách|last=Crossley|first=John|last2=W.-C. Lun|first2=Anthony|title=The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary|url=https://books.google.com/?id=eiTJHRGTG6YC&pg=PA176|year=1999|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-853936-0|page=176}}</ref> Vào thế kỷ thứ 3, nhà toán học Hy Lạp [[Diofantos|Diophantos]] ftìm ra các giải pháp số nguyên hoặc số hữu tỷ cho một số phương trình bậc 3 hai ẩn số ([[phương trình Diophantos]]).<ref name=wae>Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 {{ISBN|0-387-12159-5}}</ref><ref>{{chú thích sách|title=Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra|last=Heath|first=Thomas L.|author-link=Thomas_Little_Heath|pages=87–91|url=https://archive.org/details/diophantusofalex00heatiala|date=ngày 30 tháng 4 năm 2009|isbn=978-1578987542|publisher=Martino Pub}}</ref> Hippocrates, Menaechmus và [[Archimedes]] được cho là đã đến gần với lời giải cho bài toán tăng gấp đôi thể tích khối lập phương bằng cách tính toán điểm cắt nhau của các [[đường conic]],<ref name=Guilbeau/> mặc dù các nhà sử học như Reviel Netz tranh cãi liệu người Hy Lạp có đang suy nghĩ về các phương trình bậc ba hay chỉ là những vấn đề có thể dẫn đến phương trình bậc ba. Một số khác như [[T. L. Heath]], người đã dịch tất cả các tác phẩm của [[Archimedes]], không đồng ý, đưa ra bằng chứng rằng Archimedes thực sự [[giải phương trình]] bậc 3 bằng cách sử dụng giao điểm của hai [[đường conic]], mà còn thảo luận các điều kiện mà các nghiệm là 0, 1 hoặc 2.<ref>{{chú thích sách|title=The works of Archimedes|author=Archimedes|author-link=Archimedes|others=Translation by T. L. Heath|date=ngày 8 tháng 10 năm 2007|isbn= 978-1603860512|publisher=Rough Draft Printing}}</ref>

Ở [[nhà Đường|triều Đường]] thế kỷ thứ 7, nhà thiên văn và toán học [[Vương Hiểu Thông]] trong cuốn sách của ông nhan đề "Tập cổ toán kinh" đã nêu ra một cách có hệ thống và giải [[giải tích số|bằng số]] 25 phương trình bậc ba dạng {{math|''x''<sup>3</sup> + ''px''<sup>2</sup> + ''qx'' {{=}} ''N''}}, 23 trong số chúng có {{math|''p'', ''q'' ≠ 0}}, và 2 trong số chúng với {{math|''q'' {{=}} 0}}.<ref>{{chú thích
 |first= Yoshio
 |last= Mikami
 |author-link= Yoshio Mikami
 |title= The Development of Mathematics in China and Japan
 |chapter= Chapter 8 Wang Hsiao-Tung and Cubic Equations
 |pages= 53&ndash;56
 |publisher= Chelsea Publishing Co.
 |location= New York
 |year= 1974
 |edition= 2nd
 |origyear= 1913
 |isbn= 978-0-8284-0149-4
 |doi=}}</ref>

Trong thế kỷ thứ 11, nhà toán học và thi sĩ Ba Tư [[Omar Khayyam]] (1048–1131) đã đóng góp quan trọng vào tiến trình phát triển của lý thuyết phương trình bậc ba. Trong một bài báo ban đầu, ông khám phá ra một phương trình bậc ba có thể có nhiều hơn một nghiệm và chứng minh rằng nó không thể giải được bằng cách sử dụng thước kẻ và compa. Ông cũng tìm thấy [[#Nghiệm của Omar Khayyam|một nghiệm hình học]].<ref>A paper of Omar Khayyam, Scripta Math. 26 (1963), pages 323–337</ref><ref>In {{MacTutor|id=Khayyam|title=Omar Khayyam}} one may read ''This problem in turn led Khayyam to solve the cubic equation'' {{math|''x''<sup>3</sup> + 200''x'' {{=}} 20''x''<sup>2</sup> + 2000}} ''and he found a positive root of this cubic by considering the intersection of a rectangular hyperbola and a circle. An approximate numerical solution was then found by interpolation in trigonometric tables''. The ''then'' in the last assertion is erroneous and should, at least, be replaced by ''also''. The geometric construction was perfectly suitable for Omar Khayyam, as it occurs for solving a problem of geometric construction. At the end of his article he says only that, for this geometrical problem, if approximations are sufficient, then a simpler solution may be obtained by consulting [[Generating trigonometric tables|trigonometric tables]]. Textually: ''If the seeker is satisfied with an estimate, it is up to him to look into the table of chords of Almagest, or the table of sines and versed sines of Mothmed Observatory.'' This is followed by a short description of this alternate method (seven lines).</ref> Trong tác phẩm sau của ông, cuốn ''Tiểu luận về chứng minh các bài toán đại số'', ông viết ra nội dung phân loại đầy đủ các phương trình bậc ba với nghiệm hình học tổng quát tìm bởi giao điểm với các đường conic.<ref>J. J. O'Connor and E. F. Robertson (1999), [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Khayyam.html Omar Khayyam], [[MacTutor History of Mathematics archive]], states, "Khayyam himself seems to have been the first to conceive a general theory of cubic equations."<!-- quotation is in MacTutor--></ref><ref>{{Harvtxt|Guilbeau|1930|p=9}} states, "Omar Al Hay of Chorassan, about 1079 AD did most to elevate to a method the solution of the algebraic equations by intersecting conics."</ref>

Nhà [[toán học Ấn Độ]] ở thế kỷ 12 Bhaskara II đã cố gắng tìm ra nghiệm tổng quát cho phương trình bậc ba nhưng không thành công. Tuy vậy, ông đã tìm ra một phương trình bậc ba: {{math|''x''<sup>3</sup> + 12''x'' {{=}} 6''x''<sup>2</sup> + 35}}.<ref>{{chú thích|last = Datta|first = Bibhutibhushan|author-link = Bibhutibhushan Datta|last2 = Singh|first2 = Avadhesh Narayan|title = History of Hindu Mathematics: A Source Book|volume = 2|page = 76|chapter = Equation of Higher Degree|publisher = Bharattya Kala Prakashan|publication-place = Delhi, India|year = 2004|isbn = 81-86050-86-8}}</ref> Cũng ở thế kỷ 12, nhà toán học Ba Tư [[Sharaf al-Dīn al-Tūsī]] (1135–1213), viết cuốn ''Al-Muʿādalāt'' (''Khảo luận về các phương trình''), trong đó ông nghiên cứu tám loại phương trình bậc ba với nghiệm dương và năm loại phương trình bậc ba mà có thể không có nghiệm dương. Ông đã sử dụng quy tắc mà về sau được gọi là "phương pháp [[lược đồ Horner|Horner]]-[[quy tắc Ruffini|Ruffini]]" để giải xấp xỉ bằng phương pháp số nhằm tìm [[không điểm của một hàm số|nghiệm]] của một phương trình bậc ba. Ông cũng sử dụng khái niệm [[cực trị của hàm số|cực trị]] của các đường cong để [[giải phương trình]] bậc ba mà không có nghiệm dương.<ref>{{MacTutor|id=Al-Tusi_Sharaf|title=Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi}}</ref> Ông đã hiểu tầm quan trọng của [[biệt thức]] phương trình bậc ba để tìm nghiệm đại số của một số loại phương trình bậc ba nhất định.<ref>{{chú thích |first=J. L. |last=Berggren |year=1990 |title=Innovation and Tradition in Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī's Muʿādalāt |journal=Journal of the American Oriental Society |volume=110 |issue=2 |pages=304–309 |doi= 10.2307/604533|jstor = 604533}}</ref>

Leonardo de Pisa, mà được biết đến nhiều hơn với tên [[Fibonacci]] (1170–1250), đã có thể giải xấp xỉ gần đúng nghiệm dương của phương trình {{math|''x''<sup>3</sup> + 2''x''<sup>2</sup> + 10''x'' {{=}} 20}}, bằng sử dụng [[chữ số Babylon]]. Ông đưa ra kết quả bằng 1,22,7,42,33,4,40 (tương đương với 1&nbsp;+&nbsp;22/60&nbsp;+&nbsp;7/60<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;42/60<sup>3</sup>&nbsp;+&nbsp;33/60<sup>4</sup>&nbsp;+&nbsp;4/60<sup>5</sup>&nbsp;+&nbsp;40/60<sup>6</sup>),<ref>{{chú thích|title=The life and numbers of Fibonacci|url=http://pass.maths.org.uk/issue3/fibonacci/index.html|magazine=Plus Magazine|authors=R. N. Knott and the Plus Team|date=ngày 4 tháng 11 năm 2013|access-date=2017-09-22|archive-date=2008-05-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20080517023612/http://pass.maths.org.uk/issue3/fibonacci/index.html|url-status=dead}}</ref> mà lệch với giá trị đúng chỉ khoảng 3 phần tỷ.

Đầu thế kỷ 16, nhà toán học người Ý [[Scipione del Ferro]] (1465–1526) tìm ra phương pháp giải một lớp các phương trình bậc ba có dạng {{math|''x''<sup>3</sup> + ''mx'' {{=}} ''n''}}. Thực sự là mọi phương trình bậc ba có thể quy về dạng này nếu chúng ta cho phép {{mvar|m}} và {{mvar|n}} nhận giá trị âm, nhưng [[số âm]] vẫn chưa được biết đến vào thời của ông. Del Ferro đã giữ bí mật thành tựu của ông cho tới lúc trước khi ông qua đời, ông đã nói cho học trò [[Antonio Fiore]] của mình về điều này.
[[tập tin:Niccolò Tartaglia.jpg|thumb|160px|Niccolò Fontana Tartaglia]]

Năm 1530, [[Niccolò Tartaglia]] (1500–1557) nhận được hai bài toán trong phương trình bậc ba từ [[Zuanne da Coi]] và tuyên bố ông đã giải được chúng. Ngay lập tức Fiore đã thách thức ông, dẫn đến một cuộc thi nổi tiếng giữa hai người này. Mỗi thí sinh phải đặt cược một số tiền và đặt ra một số bài toán để cho đối thủ giải. Ai giải được nhiều bài toán hơn trong vòng 30 ngày sẽ là người chiến thắng và giành được tất cả số tiền đặt cược. Tartaglia nhận được các bài toán có phương trình dưới dạng {{math|''x''<sup>3</sup> + ''mx'' {{=}} ''n''}}, mà ông đã tìm ra phương pháp tổng quát để giải. Fiore nhận được các phương trình có dạng {{math|''x''<sup>3</sup> + ''mx''<sup>2</sup> {{=}} ''n''}}, mà đối với ông đây thực sự là rất khó, và Tartaglia là người chiến thắng cuộc thi.<ref>Tony Rothman, [http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1308/1308.2181.pdf Cardano v Tartaglia: The Great Feud Goes Supernatural.]</ref>

Sau này, Tartaglia được [[Gerolamo Cardano]] (1501–1576) khuyên nhủ nên tiết lộ bí mật của ông về cách [[giải phương trình]] bậc ba. Năm 1539, Tartaglia chỉ thực hiện trong điều kiện nếu Cardano hứa sẽ không bao giờ công bố nó và rằng nếu ông viết một cuốn sách về hàm số bậc ba, ông sẽ cho Tartaglia thời gian để công bố. Vài năm sau, Cardano biết đến công trình trước đây của Ferro và đã công bố phương pháp của Ferro trong cuốn sách ''[[Ars Magna (Gerolamo Cardano)|Ars Magna]]'' của ông vào năm 1545, có nghĩa là Cardano đã cho Tartaglia 6 năm để công bố kết quả của ông (với quyền tác giả thuộc về Tartaglia về một nghiệm độc lập). Lời hứa của Cardano với Tartaglia nói rằng ông sẽ không công bố các công trình của Tartaglia, và Cardano cảm thấy là ông đang xuất bản công trình của del Ferro, và do đó đã giữ được lời hứa của ông. Tuy vậy, điều này đã dẫn đến Tartaglia thách thức Cardano tham dự một cuộc thi mà Cardano đã từ chối. Cuộc thi này cuối cùng do học trò của Cardano là [[Lodovico Ferrari]] (1522–1565) chấp thuận. Ferrari đã có kết quả tốt hơn Tartaglia trong cuộc thi, và Tartaglia đã mất danh dự và tiền bạc của ông.<ref>{{chú thích sách |last=Katz |first=Victor |title=A History of Mathematics |page=220 |location=Boston |publisher=Addison Wesley |year=2004 |isbn=9780321016188 }}</ref>

Cardano nhận thấy phương pháp của Tartaglia thỉnh thoảng đòi hỏi ông phải tiến hành khai [[căn bậc hai]] của một số âm. Ông thậm chí đã thực hiện tính với các [[số phức]] này trong quyển ''Ars Magna'', nhưng ông đã không thực sự hiểu ý nghĩa của nó. [[Rafael Bombelli]] đã nghiên cứu vấn đề này một cách chi tiết<ref name="Bombelli"/> và do vậy thường được coi là người khám phá ra số phức.

[[François Viète]] (1540–1603) đã độc lập tìm ra nghiệm lượng giác cho đa thức bậc ba có ba nghiệm thực, và [[René Descartes]] (1596–1650) đã mở rộng công trình của Viète.<ref name=Nickalls/>

== Khảo sát hàm số bậc ba ==

=== Chiều biến thiên và cực trị ===
Xét hàm số <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>. Gọi <math>y'= f'(x)=3ax^2+2bx+c=Ax^2+Bx+C</math> là đạo hàm cấp 1 của f(x). Xét <math>\Delta=B^2-4AC</math>

Nếu <math>\Delta>0</math>, f(x) có 2 điểm cực trị. Gọi <math>x_1</math> và <math>x_2</math> (với <math>x_1<x_2</math>) là 2 nghiệm của f'(x). Khi đó:

* nếu a>0, hàm số nghịch biến trên khoảng <math>(x_1;x_2)</math> và đồng biến trên các khoảng <math> (-\infty;x_1)</math> và <math>(x_2;+\infty)</math>; điểm <math>A_1(x_1,f(x_1))</math> là điểm cực đại và <math>A_2(x_2,f(x_2))</math> là điểm cực tiểu.
{| class="wikitable"
!<math>x </math>
!<math>-\infty   </math>          <math>x_1 </math>            <math>x_2 </math>          <math>+\infty </math>
|-
|<math>y' </math>
|<math>+ </math>      0      <math>- </math>     0      <math>+ </math>
|-
|<math>y  </math>
|<math>-\infty \nearrow f(x_1)\searrow f(x_2)\nearrow+\infty </math>
|}
* nếu a<0, hàm số đồng biến trên khoảng <math>(x_1;x_2)</math> và nghịch biến trên các khoảng <math> (-\infty;x_1)</math> và <math>(x_2;+\infty)</math>; điểm <math>A_1(x_1,f(x_1))</math> là điểm cực tiểu và <math>A_2(x_2,f(x_2))</math> là điểm cực đại.
{| class="wikitable"
!<math>x </math>
!<math>-\infty   </math>          <math>x_1 </math>            <math>x_2 </math>          <math>+\infty </math>
|-
|<math>y' </math>
|<math>- </math>      0      <math>+ </math>     0      <math>- </math>
|-
|<math>y  </math>
|<math>+\infty \searrow f(x_1)\nearrow f(x_2)\searrow-\infty </math>
|}
Nếu <math>\Delta\leq0</math>, f(x) không có điểm cực trị, đồng biến trên R nếu a>0 và nghịch biến trên R nếu a<0.

Ta có bảng sau:
{| class="wikitable"
|+
!
!a>0
!a<0
|-
!<math>\Delta=0 </math>
|
{| class="wikitable"
!<math>x </math>
!<math>-\infty </math> <math>x_0 </math> <math>+\infty </math>
|-
|<math>y' </math>
| +    0     +
|-
|<math>y </math>
|<math>-\infty\nearrow+\infty </math>
|}
|
{| class="wikitable"
!<math>x </math>
!<math>-\infty </math> <math>x_0 </math> <math>+\infty </math>
|-
|<math>y' </math>
| -    0     -
|-
|<math>y </math>
|<math>+\infty\searrow-\infty </math>
|}
|-
!<math>\Delta<0 </math>
|
{| class="wikitable"
!<math>x </math>
!<math>-\infty </math>      <math>+\infty </math>
|-
|<math>y' </math>
| +
|-
|<math>y </math>
|<math>-\infty\nearrow+\infty </math>
|}
|
{| class="wikitable"
!<math>x </math>
!<math>-\infty </math>      <math>+\infty </math>
|-
|<math>y' </math>
| -
|-
|<math>y </math>
|<math>+\infty\searrow-\infty </math>
|}
|}

Cách làm trên vẫn đúng khi sử dụng <math>\Delta'=b^2-3ac</math> thay cho <math>\Delta=B^2-4AC</math>

=== Đồ thị ===
[[Tập tin:SGK1.jpg|nhỏ|Đồ thị hàm số <math>y=ax^3+bx^2+cx+d</math>]]Đồ thị hàm số <math>y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math> có các tính chất sau:

* Có tâm đối xứng là điểm <math>I(x_0,f(x_0))</math> với <math>x_0</math> là nghiệm của f<nowiki>''</nowiki>(x). I còn được gọi là [[điểm uốn]] của đồ thị.
* Có hình dạng phụ thuộc vào nghiệm của f'(x) và hệ số a.

== Sách tham khảo ==
* {{chú thích
 |first= Lucye
 |last= Guilbeau
 |year= 1930
 |title= The History of the Solution of the Cubic Equation
 |journal= Mathematics News Letter
 |volume= 5
 |issue= 4
 |pages= 8&ndash;12
 |doi=10.2307/3027812
 |jstor= 3027812}}
*Sách giáo khoa Giải tích 12 - Bộ giáo dục đào tạo - Nhà xuất bản giáo dục

== Tham khảo ==
{{Tham khảo|30em}} 
== Đọc thêm ==
* {{chú thích
 |first= W. S.
 |last= Anglin
 |first2= Joachim
 |last2= Lambek
 |title= The Heritage of Thales
 |year= 1995
 |chapter= Mathematics in the Renaissance
 |pages= 125&ndash;131
 |publisher= Springers
 |url=https://books.google.com/?id=mZfXHRgJpmQC&pg=PA125&lpg=PA125&dq=%22mathematics+in+the+renaissance%22+heritage+thales&q
 |isbn= 978-0-387-94544-6
 |ref=none}} Ch. 24.
* {{chú thích |last=Dence |first=T. |title=Cubics, chaos and Newton's method |journal=Mathematical Gazette |volume=81 |issue= |date=November 1997 |pages=403–408 |publisher=[[Mathematical Association]] |issn=0025-5572 |doi= 10.2307/3619617 |ref=none}}
* {{chú thích |last=Dunnett |first=R. |title=Newton–Raphson and the cubic |journal=Mathematical Gazette |volume=78 |issue= |date=November 1994 |pages=347–348 |publisher=Mathematical Association |issn=0025-5572 |doi=10.2307/3620218 |ref=none}}
* {{chú thích| last=Jacobson| first=Nathan| author-link=Nathan Jacobson| year=2009| title=Basic algebra| edition=2nd| volume = 1 |series= |publisher=Dover| isbn = 978-0-486-47189-1 |ref=none}}
* {{chú thích |last=Mitchell |first=D. W. |title=Solving cubics by solving triangles |journal=Mathematical Gazette |volume=91 |issue= |date=November 2007 |pages=514–516 |publisher=Mathematical Association |issn=0025-5572 |doi= |ref=none}}
* {{chú thích |last=Mitchell |first=D. W. |title=Powers of &phi; as roots of cubics |journal=Mathematical Gazette |volume=93 |issue= |date=November 2009 |pages=??? |publisher=Mathematical Association |issn=0025-5572 |doi= |ref=none}}
* {{chú thích |last1=Press |first1=W. H. |last2=Teukolsky |first2=S. A. |last3=Vetterling |first3=W. T. |last4=Flannery |first4=B. P. |year=2007 |title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing |edition=3rd |publisher=Cambridge University Press |publication-place=New York |isbn=978-0-521-88068-8 |chapter=Section 5.6 Quadratic and Cubic Equations |chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=227 |ref=none}}
* {{chú thích |last=Rechtschaffen |first=Edgar |title=Real roots of cubics: Explicit formula for quasi-solutions |journal=Mathematical Gazette |volume=92 |issue= |date=July 2008 |pages=268–276 |publisher=Mathematical Association |issn=0025-5572 |doi= |ref=none}}
* {{chú thích |last=Zucker |first=I. J. |title=The cubic equation – a new look at the irreducible case |journal=Mathematical Gazette |volume=92 |issue= |date=July 2008 |pages=264–268 |publisher=Mathematical Association |issn=0025-5572 |doi= |ref=none}}

== Liên kết ngoài ==
* {{SpringerEOM|title=Cardano formula|id=p/c020350}}
* [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Quadratic_etc_equations.html History of quadratic, cubic and quartic equations] on [[Bộ lưu trữ lịch sử toán học MacTutor|MacTutor archive]].

[[Thể loại:Đại số sơ cấp]]
[[Thể loại:Đa thức]]