Xem mã nguồn của Khoảng cách Hellinger

Trong [[lý thuyết xác suất]] và [[khoa học Thống kê|thống kê]], '''khoảng cách Hellinger ''' là một đại lượng đo sự khác biệt giữa hai [[phân phối xác suất|phân bố xác suất]]. Nó là một [[f-khoảng cách|''f''-khoảng cách]].  Khoảng cách Hellinger được định nghĩa dựa trên [[tích phân Hellinger]], đưa ra bởi [[Ernst Hellinger]].<ref>{{SpringerEOM|title=Hellinger distance|id=h/h046890|first=M.S. |last=Nikulin}}</ref>

Để định nghĩa khoảng cách Hellinger theo [[độ đo|lý thuyết độ đo]], giả sử ''P'' và ''Q'' là hai [[độ đo xác suất]] [[liên tục tuyệt đối]] đối với một độ đo xác suất λ.  Bình phương của khoảng cách Hellinger giữa ''P'' và ''Q'' được định nghĩa như sau

:<math>H^2(P,Q) = \frac{1}{2}\displaystyle \int \left(\sqrt{\frac{dP}{d\lambda}} - \sqrt{\frac{dQ}{d\lambda}}\right)^2 d\lambda. </math>

Ở đây, ''dP''&nbsp;/&nbsp;''d&lambda;'' và ''dQ''&nbsp;/&nbsp;''d''λ là [[đạo hàm Radon–Nikodym]] của ''P'' và ''Q''.  Định nghĩa này không phụ thuộc vào λ, nên khoảng cách Hellinger giữa ''P'' và ''Q'' không thay đổi nếu λ được thay bằng một độ đo xác suất khác mà đối với nó, ''P'' and ''Q'' cũng liên tục tuyệt đối. Biểu thức trên có thể được viết gọn là

:<math>H^2(P,Q) = \frac{1}{2}\int \left(\sqrt{dP} - \sqrt{dQ}\right)^2. </math>

Để định nghĩa khoảng cách Hellinger theo lý thuyết xác suất cơ bản, ta chọn λ là [[độ đo Lebesgue]], khi đó ''dP''&nbsp;/&nbsp;''d&lambda;'' và ''dQ''&nbsp;/&nbsp;''d''λ là các [[hàm mật độ xác suất]]. Nếu ta ký hiệu ''f'' và ''g'' là các hàm mật độ tương ứng, bình phương của khoảng cách Hellinger có thể được biểu diễn bằng tích phân thông thường như sau

:<math>\frac{1}{2}\int \left(\sqrt{f(x)} - \sqrt{g(x)}\right)^2 dx.</math>

Khoảng cách Hellinger ''H''(''P'',&nbsp;''Q'') thỏa mãn

: <math>0\le H(P,Q) \le 1.</math>

Khoảng cách đạt giá trị cực đại là 1 khi ''P'' có xác suất bằng 0 tại những phần tử có xác suất dương trong ''Q'' và ngược lại.

Đôi khi, hệ số 1/2 bên ngoài tích phân bị bỏ qua; khi đó khoảng cách Hellinger nằm trong khoảng từ 0 đến 2.

Khoảng cách Hellinger có liên hệ với [[khoảng cách Bhattacharyya|hệ số Bhattacharyya]] <math>BC(P,Q)</math> như sau

: <math>H(P,Q) = \sqrt{1 - BC(P,Q)}.</math>

Bình phương khoảng cách Hellinger luôn nhỏ hơn hoặc bằng [[khoảng cách Jensen-Shannon]].
:<math>H^2(P, Q) \le JSD(P \parallel Q)</math>

Khoảng cách Hellinger có liên hệ với khoảng cách L1 như sau {{harv|Le Cam|Yang|2000}}.
:<math>\frac{1}{2}\|P-Q\|_1 \le H(P, Q)\sqrt{2-H^2(P, Q)}</math>

==Ví dụ==
Bình phương khoảng cách Hellinger giữa hai [[phân phối chuẩn]] <math>\scriptstyle P\,\sim\,\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2)</math> và <math>\scriptstyle Q\,\sim\,\mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2)</math> là:
: <math>
  H^2(P, Q) = 
              1 - \sqrt{\frac{2\sigma_1\sigma_2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}} \,  e^{-\frac{1}{4}\frac{(\mu_1-\mu_2)^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}.
  </math>

Bình phương khoảng cách Hellinger giữa hai [[phân phối mũ]] <math>\scriptstyle P\,\sim \,\rm{Exp}(\alpha)</math> và <math>\scriptstyle Q\,\sim\,\rm{Exp}(\beta)</math> là:
: <math>
  H^2(P, Q) = 1 - \frac{2 \sqrt{\alpha \beta}}{\alpha + \beta}.
  </math>

Bình phương khoảng cách Hellinger giữa hai [[phân phối Weibull]] <math>\scriptstyle P\,\sim \,\rm{W}(\alpha,\beta)</math> và <math>\scriptstyle Q\,\sim\,\rm{W}(\alpha,d)</math> (trong đó <math> \alpha </math> là tham số hình dạng và <math> \beta\,, d </math> là các tham số tỉ lệ):
: <math>
  H^2(P, Q) = 1 - \frac{2 (\beta d)^{\alpha/2}}{\beta^{\alpha} + d^{\alpha}}.
  </math>

==Ghi chú==
{{Tham khảo}}

==Tham khảo==
* {{chú thích sách |last2=Yang|first2=Grace Lo|last1=Le Cam|first1=Lucien M. |title=Asymptotics in Statistics: Some Basic Concepts |url=https://archive.org/details/asymptoticsinsta0000luci|publisher=Springer |location=Berlin |year=2000 |pages= |isbn=0-387-95036-2 |oclc= |doi=}}
* {{chú thích sách |author=Vaart, A. W. van der |title=Asymptotic Statistics (Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics) |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge, UK |year= |pages= |isbn=0-521-78450-6 |oclc= |doi=}}
* {{chú thích sách |author=Pollard, David E. |title=A user's guide to measure theoretic probability |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge, UK |year=2002 |pages= |isbn=0-521-00289-3 |oclc= |doi=}}

[[Thể loại:Lý thuyết xác suất]]
[[Thể loại:F-khoảng cách]]
[[Thể loại:Khoảng cách thống kê]]
[[Thể loại:Lý thuyết phân phối xác suất]]