Xem mã nguồn của Ma trận Pauli

Trong [[toán học]] và [[vật lý lý thuyết]], các '''ma trận Pauli''' là ba [[ma trận]] có kích thước {{math|2 × 2}}:
:<math>X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}</math>
:<math>Y = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}</math>
:<math>Z = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (-1) \end{bmatrix}</math>

Ở đây ''i'' là [[đơn vị ảo]]. Các ma trận này được đặt tên theo nhà vật lý [[Wolfgang Pauli]]. Trong [[cơ học lượng tử]], các ma trận này xuất hiện trong [[phương trình Pauli]], thể hiện sự tương tác của các spin của một hạt với một [[trường điện từ]] bên ngoài. Trong [[tính toán lượng tử]], các ma trận Pauli là các ma trận của các '''toán tử Pauli''', hay '''cổng Pauli''', gồm '''cổng Pauli X''', ứng với toán tử <math>\hat{\sigma_x}</math>, '''cổng Pauli Y''', ứng với toán tử <math>\hat{\sigma_y}</math>, và '''cổng Pauli Z''', ứng với toán tử <math>\hat{\sigma_z}</math>. Các ma trận Pauli có tính chất [[ma trận Hermite|Hermite]] và [[ma trận unitary|unitary]].

Các ma trận Pauli cùng với ma trận đơn vị {{mvar|I}} (còn được coi là '''ma trận Pauli thứ 0''' {{math|''σ''<sub>0</sub>}}), tạo thành một [[hệ cơ sở]] cho [[không gian vectơ]] của các ma trận {{math|2 × 2}} Hermite.

Mỗi [[toán tử Hermite]] đều đại diện cho một [[đại lượng vật lý]] nào đó, vì vậy các ma trận Pauli {{math|''σ''<sub>k</sub>}}, trong [[không gian Hilbert]] phức 2 chiều, đại diện cho các đại lượng vật lý tương ứng, là thành phần [[spin]] chiếu dọc theo trục ''k'' trong [[không gian Ơ clít|không gian ba chiều Ơ clít]] {{math|ℝ<sup>3</sup>}}.

== Giá trị riêng và vectơ riêng==
Các ma trận Pauli (sau khi nhân với {{mvar|i}} - đơn vị ảo, trở thành [[skew-Hermitian|anti-Hermitian]]), sẽ tạo ra các biến đổi của [[đại số Lie]]: các ma trận {{math|''iσ''<sub>1</sub>, ''iσ''<sub>2</sub>, ''iσ''<sub>3</sub>}} tạo thành một hệ cơ sở cho [[SU(2)#n = 2|SU(2)]]. Đại số học được tạo ra bởi ba ma trận {{math|''σ''<sub>1</sub>, ''σ''<sub>2</sub>, ''σ''<sub>3</sub>}} là đẳng cấu với [[đại số Clifford]] của {{math|ℝ<sup>3</sup>}}, và được gọi là đại số của không gian vật lý. Ta có thể biểu diễn như sau:

:<math>
  \sigma_a = 
    \begin{pmatrix}
      \delta_{a3}                &  \delta_{a1} - i\delta_{a2}\\
      \delta_{a1} + i\delta_{a2} & -\delta_{a3}
    \end{pmatrix}
</math>

Từ đó tính được:
:<math>\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = -i\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I</math>
(Với {{math|''I''}} là [[Ma trận (toán học)|ma trận đơn vị]])
:<math>\begin{align}
               \det \sigma_i &= -1, \\
  \operatorname{Tr} \sigma_i &= 0.
\end{align}</math>

Giá trị riêng của từng ma trận {{math|''σ''<sub>''i''</sub>}} đều là {{math|±1}}

Vecto riêng tương ứng lần lượt là:
:<math>\begin{align}
  &\psi_{x+} = \frac{1}\sqrt{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, & &\psi_{x-} = \frac{1}\sqrt{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \\
  &\psi_{y+} = \frac{1}\sqrt{2} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}, & &\psi_{y-} = \frac{1}\sqrt{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}, \\
  &\psi_{z+} =                  \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, & &\psi_{z-} =                  \begin{pmatrix} 0 \\  1 \end{pmatrix}.
\end{align}</math>

==Vecto Pauli==
Vecto Pauli được định nghĩa như sau: 
:<math>\vec{\sigma} = \sigma_1 \hat{x} + \sigma_2 \hat{y} + \sigma_3 \hat{z} \,</math>
Và cung cấp một cơ chế ánh xạ từ một cơ sở vector đến một cơ sở ma trận Pauli [2]
:<math>\begin{align}
  \vec{a} \cdot \vec{\sigma} &= (a_i \hat{x}_i) \cdot (\sigma_j \hat{x}_j) \\
                             &= a_i \sigma_j \hat{x}_i \cdot \hat{x}_j \\
                             &= a_i \sigma_j \delta_{ij} \\
                             &= a_i \sigma_i =\begin{pmatrix} a_3&a_1-ia_2\\a_1+ia_2&-a_3\end{pmatrix} 
\end{align}</math>
Từ đó ta có:
:<math>\det \vec{a} \cdot \vec{\sigma} = -\vec{a} \cdot \vec{a} = -|\vec{a}|^2,</math>
:<math>\frac{1}{2} \mathrm{tr} [(\vec{a} \cdot \vec{\sigma}) \vec{\sigma}] = \vec{a}.</math>
Tính được vectơ riêng là:
<math>\psi_+ =                  \begin{pmatrix} a_3+|\vec{a}| \\ a_1+ia_2  \end{pmatrix}; \qquad  \psi_- =   \begin{pmatrix} ia_2-a_1 \\  a_3+|\vec{a}| \end{pmatrix}.</math>

==Phép giao hoán ==
Các ma trận Pauli có [[tính giao hoán]]. Cụ thể:
:<math>[\sigma_a, \sigma_b] = 2 i \varepsilon_{a b c}\,\sigma_c \,, </math>
và phi giao hoán:
:<math>\{\sigma_a, \sigma_b\} = 2 \delta_{a b}\,I.</math>

Xét các ví dụ sau:
:<math>\begin{align}
    \left[\sigma_1, \sigma_2\right] &= 2i\sigma_3 \, \\
    \left[\sigma_2, \sigma_3\right] &= 2i\sigma_1 \, \\
    \left[\sigma_3, \sigma_1\right] &= 2i\sigma_2 \, \\
    \left[\sigma_1, \sigma_1\right] &= 0\, \\
  \left\{\sigma_1, \sigma_1\right\} &= 2I\, \\
  \left\{\sigma_1, \sigma_2\right\} &= 0\,.\\
\end{align}</math>

==Tích có hướng và tích vô hướng==
Các vectơ Pauli thiết lập các mối quan hệ giao hoán và phi giao hoán dựa trên [[phép nhân]] vectơ.
:<math> \begin{align} 
  \left[\sigma_a, \sigma_b\right] + \{\sigma_a, \sigma_b\}  &= (\sigma_a \sigma_b - \sigma_b \sigma_a) + (\sigma_a \sigma_b + \sigma_b \sigma_a) \\
    2i\varepsilon_{a b c}\,\sigma_c + 2 \delta_{a b}I &= 2\sigma_a \sigma_b 
\end{align}</math>
vậy nên, 
{{Equation box 1
 |indent =:
 |equation = <math> \sigma_a \sigma_b = i\varepsilon_{a b c}\,\sigma_c + \delta_{a b}I~.</math>
 |cellpadding= 6
 |border
 |border colour = #0073CF
 |bgcolor=#F9FFF7
}}
Mỗi vế của phương trình với các thành phần {{math|3}}-vector {{math|''a<sub>p</sub>''}} và {{math|''b<sub>q</sub>''}} (có giao hoán với ma trận Pauli {{math|''a<sub>p</sub>σ<sub>q</sub>'' {{=}} ''σ<sub>q</sub>a<sub>p</sub>'')}} với mỗi ma trận {{math|''σ<sub>q</sub>''}} và vectơ {{math|''a<sub>p</sub>''}} (cũng nhw là {{math|''b<sub>q</sub>''}}), và {{math|''a'', ''b'', ''c'' → ''p'', ''q'', ''r''}}, để tránh mâu thuẫn về mặt ký hiệu,
:<math> \begin{align} 
  a_p b_q \sigma_p \sigma_q & = a_p b_q \left(i\varepsilon_{pqr}\,\sigma_r + \delta_{pq}I\right) \\
  a_p \sigma_p b_q \sigma_q & = i\varepsilon_{pqr}\,a_p b_q \sigma_r + a_p b_q \delta_{pq}I  ~.
\end{align}</math>

Cuối cùng, ta quy ước ký hiệu [[tích vô hướng]] và [[tích có hướng]]. Kết quả như sau:
{{NumBlk||{{Equation box 1
 |indent =:
 |equation = <math>(\vec{a} \cdot \vec{\sigma})(\vec{b} \cdot \vec{\sigma}) = (\vec{a} \cdot \vec{b}) \, I + i (\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{\sigma}</math>
 |cellpadding= 6
 |border
 |border colour = #0073CF
 |bgcolor=#F9FFF7
 }}
 |{{EquationRef|1}}
}}

== Toán tử Pauli và mô men động lượng==
Cổng Pauli X còn được gọi là cổng NOT. Cổng này có ý nghĩa là tạo ra trang thái "ngược" với trạng thái |0> hoặc |1> đầu vào, tương đương với việc quay trạng thái qubit trên [[w:mặt cầu Bloch|mặt cầu Bloch]] sang điểm đối diện với nó trên [[mặt cầu]].
:<math>X |0\rangle = \mbox{NOT} |0\rangle = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1  \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0  \\ 1 \end{bmatrix}  = |1\rangle</math>
:<math>X |1\rangle = \mbox{NOT} |1\rangle = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0  \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1  \\ 0 \end{bmatrix}  = |0\rangle</math>

Ba toán tử Pauli có mối liên hệ với nhau tương tự như ba toán tử thành phần mô men động lượng <math>\hat{L_x}</math>, <math>\hat{L_y}</math>, <math>\hat{L_z}</math>, ví dụ:
: <math> [\hat{X},\hat{Y}] = 2i \hat{Z}</math>
Trong cơ học lượng tử, bộ ba toán tử nào liên hệ với nhau theo kiểu trên đều được coi như tương ứng với đại lượng [[mô men động lượng]]. Cụ thể các toán tử Pauli tương ứng với một dạng mô men động lượng đặc biệt của hệ vật chất gọi là [[w:spin|spin]]. Toán tử X ứng với đại lượng vật lý spin theo trục X, toán tử Y ứng với spin theo trục Y, toán tử Z ứng với spin theo trục Z. Véc tơ spin là:
: <math> \mathbf{S} = \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix}</math>

Véc tơ riêng của Pauli Z là |0> và |1>, ứng với trị riêng 1 và -1:
:<math>Z |0\rangle = |0\rangle</math> 
:<math>Z |1\rangle = -|1\rangle</math>
Véc tơ riêng của Pauli X là |+> và |->, ứng với trị riêng 1 và -1:
:<math>X |+\rangle = \mbox{NOT} \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle+|0\rangle) = |+\rangle</math>
:<math>X |-\rangle = \mbox{NOT} \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle- |0\rangle) = -|-\rangle</math>
Véc tơ riêng của Pauli Y là <math>\frac{1}{\sqrt{2}}(| 0 \rangle + i | 1 \rangle)</math> và <math>\frac{1}{\sqrt{2}}(| 0 \rangle - i | 1 \rangle)</math>, ứng với trị riêng 1 và -1:
:<math>Y \frac{1}{\sqrt{2}}(| 0 \rangle + i | 1 \rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}}(| 0 \rangle + i | 1 \rangle)</math>
:<math>Y \frac{1}{\sqrt{2}}(| 0 \rangle - i | 1 \rangle) = -\frac{1}{\sqrt{2}}(| 0 \rangle - i | 1 \rangle)</math>.

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}
*https://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices#Completeness_relation
* https://vi.wikibooks.org/wiki/Tính_toán_lượng_tử
*Foundations of Quantum Mechanics: From Photons to Quantum Computers
by Reinhold Blümel
Jones and Bartlett Learning © 2010 Citation
*{{chú thích sách | author=[[Liboff, Richard L.]] | title=Introductory Quantum Mechanics | publisher=Addison-Wesley | year=2002 | isbn=0-8053-8714-5}}
*{{chú thích sách | author=Schiff, Leonard I. | title=Quantum Mechanics | url=https://archive.org/details/quantummechanics0000schi | publisher=McGraw-Hill | year=1968 | isbn= 978-0070552876}}
*{{chú thích sách | author=Leonhardt, Ulf | title=Essential Quantum Optics | publisher=Cambridge University Press | year=2010 | isbn=0-521-14505-8}}

[[Thể loại:Nhóm Lie]]
[[Thể loại:Ma trận]]
[[Thể loại:Đối xứng quay]]