Xem mã nguồn của Vectơ Laplace-Runge-Lenz

{{hatnote|Trong bài này, vectơ được thể hiện bằng chữ in đậm, độ lớn  được thể hiện bằng chữ in nghiêng. Ví dụ, <math>\left| \mathbf{A} \right| = A</math>.}}
Trong [[cơ học cổ điển]], ''' Laplace–Runge–Lenz''' (hay còn được gọi là '''vectơ LRL''', '''vectơ Runge-Lenz''' hay '''bất biến Runge-Lenz''') là [[vectơ]] thường được dùng để miêu tả hình dạng và định hướng của [[quỹ đạo (thiên thể)|quỹ đạo]] của một thiên thể trong [[chuyển động quay]] quanh thiên thể khác, ví dụ như của một [[hành tinh]] quay quanh một [[ngôi sao]].

Đối với trường hấp dẫn:

<math>\textbf{A}=\frac{1}{GMm} (\textbf{v}\times \textbf{L})-\hat{\textbf{r}}</math>

<math>\textit{A}=\textit{e}=\sqrt{1+\frac{2L^2}{m(GMm)^2}E}</math> 

Với hai vật thể tương tác bằng [[lực hấp dẫn]], vectơ LRL là một [[bất biến của chuyển động]], luôn có cùng một giá trị ở mọi vị trí trên quỹ đạo;<ref name="goldstein_1980">{{chú thích sách | last=Goldstein | first=H. | authorlink=Herbert Goldstein | date=1980 | title=Classical Mechanics | edition=2nd | publisher=Addison Wesley | pages=102–105, 421–422}}</ref> nói cách khác, vectơ LRL được ''bảo toàn''. <ref>{{chú thích sách | last = Arnold | first = VI | authorlink = Vladimir Arnold | date = 1989 | title = Mathematical Methods of Classical Mechanics | edition = 2nd | publisher = Springer-Verlag | location = New York | page = 38 | isbn = 0-387-96890-3}}</ref>

== Chứng minh sự bất biến của vector L-R-L ==
Xét trong hệ tọa độ trụ r,φ,z với 2 vật đang quay trên mặt phẳng r,φ.Vật tốc của vật là:

<math>\begin{align} 
\textbf{v}=\frac{d\textbf{r}}{dt}=\frac{d(r\hat{\textbf{r}})}{dt}&=\frac{dr}{dt}\hat{\textbf{r}}+\frac{d\hat{\textbf{r}}}{dt}r\\ 
&=r'\hat{\textbf{r}}+\frac{d\varphi\cdot r\cdot \hat{\boldsymbol{\varphi}}}{dt}\\
&=r'\hat{\boldsymbol{r}}+r\varphi'\hat{\boldsymbol{\varphi}}
\end{align}
</math>

Mô men động lượng của vật:

<math>\begin{align}
\boldsymbol{L} &= \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}= (\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{v})m\\
&=mr [\hat\boldsymbol{r} \times (r'\hat{\boldsymbol{r}}+r\varphi'\hat{\boldsymbol{\varphi}})]\\
&=mr^2\varphi' (\hat\boldsymbol{r} \times \hat\boldsymbol{\varphi})=mr^2\varphi \hat\boldsymbol{z} \\
\end{align}</math>

Đối với chuyển động trong trường hấp dẫn thì mô men động lượng bảo toàn. Từ định luật 2 Newton ta có:

<math>\begin{align}
&m\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}=\frac{-GMm}{r^2}\hat\boldsymbol{r}\\
&\Rightarrow m\frac{d(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{L})}{dt}=m\frac{d(\boldsymbol{v})}{dt}\times\boldsymbol{L}=\frac{-GMm}{r^2}\hat\boldsymbol{r}\times mr^2\varphi' \hat\boldsymbol{z}\\
&=-GMm^2r^2\varphi' (\hat\boldsymbol{r}\times\hat\boldsymbol{z})=GMm^2r^2\varphi' \hat\boldsymbol{\varphi}\\
&\Rightarrow \frac{1}{GMm}\frac{d(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{L})}{dt}=\frac{d\varphi}{dt} \hat\boldsymbol{\varphi}=\frac{d \hat\boldsymbol{r}}{dt}\\
&\Rightarrow  \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{GMm}(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{L})-\hat\boldsymbol{r}\right)=0\\

\end{align}</math>

Vậy ta thấy vector <math>A</math> được nêu bên trên bảo toàn theo thời gian.

Tổng quát hơn, vectơ LRL được bảo toàn trong mọi [[:en:Two-body_problem|bài toán hai vật thể]] tương tác bởi [[:en:Central_force|lực xuyên tâm]] biến đổi theo [[:en:Inverse-square_law|nghịch đảo của bình phương]] khoảng cách giữa chúng; còn gọi là các [[:en:Kepler_problem|bài toán Kepler]].Theo nghĩa trên, tương tác trong [[nguyên tử hiđrô]] là một bài toán Kepler, vì nguyên tử này chứa hai hạt tích điện tương tác theo [[định luật Coulomb|lực Coulomb]] của [[tĩnh điện]], là một loại [[:en:Central_force|lực xuyên tâm]] theo [[:en:Inverse-square_law|định luật bình phương nghịch đảo]]. [[Vectơ|Véctơ]] LRL đã đóng vai trò quan trọng trong các tiên đoán đầu tiên về [[phổ phát xạ nguyên tử]] của [[nguyên tử hiđrô]] bởi [[cơ học lượng tử]],<ref name="pauli_1926">{{chú thích tạp chí | last = Pauli | first = W | authorlink = Wolfgang Pauli | date = 1926 | title = Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik | journal = Zeitschrift für Physik | volume = 36 | pages = 336–363 | doi = 10.1007/BF01450175|bibcode = 1926ZPhy...36..336P }}</ref> trước khi [[phương trình Schrödinger]] ra đời.  Tuy nhiên, phương pháp này ít được sử dụng ngày nay.

Trong [[cơ học cổ điển]] và [[cơ học lượng tử]], mỗi đại lượng bảo toàn thường tương ứng với một [[đối xứng]] trong hệ thống cơ học.  Sự bảo toàn của vectơ LRL tương ứng với một đối xứng hiếm gặp; bài toán Kepler, về mặt toán học, là tương đương với bài toán một hạt chuyển động tự do trên [[cầu-3|mặt cầu bốn chiều]],<ref name="fock_1935" >{{chú thích tạp chí | last = Fock | first = V | authorlink = Vladimir Fock | date = 1935 | title = Zur Theorie des Wasserstoffatoms | journal = Zeitschrift für Physik | volume = 98 | pages = 145–154 | doi = 10.1007/BF01336904|bibcode = 1935ZPhy...98..145F }}</ref> do đó toàn bộ bài toán là đối xứng với một số [[phép quay]] trong [[không gian bốn chiều]].<ref name="bargmann_1936" >{{chú thích tạp chí | last = Bargmann | first = V | authorlink = Valentine Bargmann | date = 1936 | title = Zur Theorie des Wasserstoffatoms: Bemerkungen zur gleichnamigen Arbeit von V. Fock | journal = Zeitschrift für Physik | volume = 99 | pages = 576–582 | doi = 10.1007/BF01338811|bibcode = 1936ZPhy...99..576B }}</ref>  Đối xứng bậc cao này là hệ quả của hai tính chất của bài toán Kepler: vectơ [[vận tốc]] luôn chuyển động trong [[đường tròn]] hoàn hảo và tất cả các vòng tròn vận tốc ứng với một [[năng lượng]] cố định giao nhau tại đúng hai điểm.<ref name="hamilton_1847_hodograph">{{chú thích tạp chí | last = Hamilton | first = WR | authorlink = William Rowan Hamilton | date = 1847 | title = The hodograph or a new method of expressing in symbolic language the Newtonian law of attraction | journal = Proceedings of the Royal Irish Academy | volume = 3 | pages = 344–353 }}</ref>

Véctơ Laplace–Runge–Lenz được đặt tên theo [[Pierre-Simon Laplace|Pierre-Simon de Laplace]], [[Carl David Tolmé Runge|Carl Runge]] và [[Wilhelm Lenz]]. Nó cũng được gọi tên là '''vectơ Laplace''', '''vectơ Runge–Lenz''' và '''vectơ Lenz'''. Tuy vậy, những nhà khoa học này không phải là những người đầu tiên khám phá ra vectơ này.  Véctơ LRL đã được "tái" phát hiện ra nhiều lần<ref name="goldstein_1975_1976">{{chú thích tạp chí | last=Goldstein | first=H. | authorlink=Herbert Goldstein | date=1975 | title=Prehistory of the Runge–Lenz vector | journal=[[American Journal of Physics]] | volume=43 | pages=737–738 | doi=10.1119/1.9745|bibcode = 1975AmJPh..43..737G }}<br />{{chú thích tạp chí | last=Goldstein | first=H. | authorlink=Herbert Goldstein | date=1976 | title=More on the prehistory of the Runge–Lenz vector | journal=[[American Journal of Physics]] | volume=44 | pages=1123–1124 | doi=10.1119/1.10202|bibcode = 1976AmJPh..44.1123G }}</ref> và tương đương với [[vectơ độ lệch tâm]] không thứ nguyên trong [[cơ học thiên thể]].<ref name="hamilton_1847_quaternions">{{chú thích tạp chí | last = Hamilton | first = WR | authorlink = William Rowan Hamilton | date = 1847 | title = Applications of Quaternions to Some Dynamical Questions | journal = Proceedings of the Royal Irish Academy | volume = 3 | pages = Appendix III}}</ref>  Đã có nhiều công trình nghiên cứu để tổng quát hóa vectơ LRL, tích hợp thêm các hiệu ứng của [[thuyết tương đối hẹp]], [[điện từ trường]] và cả những loại [[:en:Central_force|lực xuyên tâm]] khác.

==Xem thêm==
*[[Động lực học thiên văn]]: [[quỹ đạo (thiên thể)|quỹ đạo]], [[vectơ độ lệch tâm]], [[tham số quỹ đạo]]
*[[Định lý Bertrand]]
*[[Phương trình Binet]]
*[[Bài toán hai vật thể]]

==Tham khảo==
{{tham khảo|30em}}

==Đọc thêm==
* {{chú thích web | first=John |last=Baez|authorlink=John Baez | url=http://math.ucr.edu/home/baez/gravitational.html | title=Mysteries of the gravitational 2-body problem}}
*{{chú thích tạp chí| last = D'Eliseo| first = MM| date = 2007| title = The first-order orbital equation| journal = American Journal of Physics| volume = 75| pages = 352–355| doi = 10.1119/1.2432126|bibcode = 2007AmJPh..75..352D }}
* {{citation|first=Brian C.|last=Hall|title=Quantum Theory for Mathematicians|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=267 |publisher=Springer|year=2013}}.
* {{chú thích tạp chí | first=P.G.L. |last=Leach |author2=G.P. Flessas  | title=Generalisations of the Laplace–Runge–Lenz vector | journal=J. Nonlinear Math. Phys. | volume=10 | date=2003 | pages=340–423 | arxiv=math-ph/0403028 | doi=10.2991/jnmp.2003.10.3.6 |bibcode = 2003JNMP...10..340L }}
{{Sơ khai thiên văn học}}

{{DEFAULTSORT:vecto Laplace-Runge-Lenz}}
[[Thể loại:Cơ học cổ điển]]
[[Thể loại:Quỹ đạo]]
[[Thể loại:Đối xứng quay]]
[[Thể loại:Vật lý toán học]]