Xem mã nguồn của Đa tạp Riemann

{{phân biệt|mặt Riemann}}
Trong [[hình học vi phân]], một '''đa tạp Riemann''' hoặc '''không gian Riemann''' {{Nowrap|(''M'', ''g'')}} là một [[đa tạp]] [[Đa tạp|thực]] trơn ''M'' được trang bị với một [[Không gian sản phẩm bên trong|tích vô hướng]] ''g''<sub>''p''</sub> xác định dương trên không gian tiếp tuyến ''T''<sub>''p''</sub>''M'' tại mỗi điểm ''p.'' Theo qui ước, ''g'' là một tích vô hướng trơn. Tức là với mọi bản đồ trơn ''(U, x) trên'' ''M'', ''n''<sup>''2''</sup> hàm

: <math>g\left(\frac{\partial}{\partial x^i},\frac{\partial}{\partial x^j}\right):U\to\mathbb{R}</math>

là [[Chức năng mịn|các hàm trơn]]. Tương tự, ta có thể xét các mêtric Riemann Lipschitz hoặc các mêtric Riemann [[Độ đo|đo được]], vân vân.

Họ các tích vô hướng ''g''<sub>''p''</sub> nói trên được gọi là mêtríc Riemann (hay tenxơ mêtric Riemann). Những thuật ngữ này được đặt theo tên nhà toán học người Đức [[Bernhard Riemann]]. Ngành nghiên cứu về các đa tạp Riemann được gọi là [[hình học Riemann]].

Một một (tenxơ) mêtríc Riemann cho phép định nghĩa một số khái niệm hình học trên các đa tạp Riemann, chẳng hạn như [[góc]] tại một giao điểm, chiều dài [[đường cong]], [[diện tích]] bề mặt và các đại lương chiều cao tương ứng ([[thể tích]], v.v.), [[Độ cong|độ cong ngoại biên]] của các đa tạp con, và [[Độ cong|độ cong nội tại]] của chính đa tạp lớn.

== Định nghĩa ==
Một '''đa tạp Riemann''' <math>M</math> là một đa tạp trơn với một 2-ten-xơ <math>g\in T^*M\otimes T^*M</math> sao cho<ref>Lee (1997), tr. 23</ref><ref>Đoàn Quỳnh (200), tr. 335</ref>

# <math>g</math> đối xứng, tức là <math>\forall X,Y\in T_pM: g(p)(X,Y)=g(p)(Y,X)</math>
# <math>g</math> xác định dương, tức là <math>\forall X\in T_pM-\{0\}:g(p)(X,X)>0</math>.

== Ví dụ ==

* Đường tròn <math>\mathbb{S}^1</math> cùng với ten-xơ <math>d\theta\otimes d\theta</math> (thường được ký hiệu là <math>d\theta^2</math>) là một đa tạp Riemann. Nó là đường tròn có bán kính bằng <math>1</math>.

== Độ dài cung ==
Với mọi cung (khả vi) <math>\gamma:[a,b]\to M</math>, ta định nghĩa ''độ dài'' của cung <math>\gamma</math> là giá trị <math>L(\gamma)=\int_a^b g(\dot{\gamma}(t),\dot{\gamma}(t))dt</math>. Giá trị này độc lập với cách ta tham số hóa <math>\gamma</math>.<ref>Lee (1997), tr. 92, ''Length of Curves''</ref>

== Khoảng cách ==
Nếu <math>M</math> là một đa tạp Riemann [[Tập hợp liên thông|liên thông]] (và do đó liên thông cung do <math>M</math> là không gian Euclid địa phương), ta có thể định nghĩa khoảng cách Riemann giữa hai điểm <math>p,q\in M</math> như là [[Infimum và supremum|infimum]] của các độ dài cung nối <math>p</math> và <math>q</math>.<ref>Lee (1997), tr. 94, ''The Riemannian Distance Function''</ref> Không gian metric cảm sinh có chung tô pô với <math>M</math>.<ref>Lee (1997), tr. 94, Lemma 6.2</ref>

== Liên thông Levi-Civita ==
Ứng với mỗi đa tạp Riemann <math>(M,g)</math>, tồn tại một [[Liên kết (phân thớ véc tơ)|liên thông tuyến tính]] <math>\nabla_g</math> trên <math>TM</math> được gọi là liên thông Levi-Civita.<ref>Đoàn Quỳnh (2000), tr. 337</ref><ref>Lee (1997), tr. 68, Theorem 5.4</ref>

== Xem thêm ==

* [[Hình học Riemann|HÌnh học Riemann]]
* Đa tạp Finsler
* Ten-xơ metric

== Tham khảo ==
{{tham khảo|30em}}
==Thư mục==

* Lee, John, 1997, ''Introduction to Riemannian Manifolds,'' Springer, ISBN 0-387-98271-X
* Đoàn Quỳnh, 2000, ''Hình học vi phân'', Nhà xuất bản giáo dục
* Khu Quốc Anh và đồng nghiệp (2011), ''Lí thuyết liên thông và Hình học Riemann'', Nhà xuất bản Đai học sư phạm Hà Nội

== Liên kết ngoài ==

* {{SpringerEOM|id=R/r082180|title=Riemannian metric|author=L.A. Sidorov}}
{{Đa tạp}}
{{Kiểm soát tính nhất quán}}

[[Thể loại:Đa tạp]]