Xem mã nguồn của Bài toán Brocard

{{distinguish|giả thuyết Brocard}}
{{unsolved|toán học|2=Phương trình <math>n!+1=m^2</math> có nghiệm nguyên nào khác không ngoài <math>n=4,5,7</math>?}}
'''Bài toán Brocard''' là bài toán mở trong [[toán học]] yêu cầu tìm các giá trị [[số nguyên|nguyên]] của <math>n</math> và <math>m</math> sao cho
<math display=block>n!+1 = m^2,</math>
với <math>n!</math> là [[giai thừa]]. Nó được đưa bởi [[Henri Brocard]] trong hai bài báo vào 1876 và 1885,{{r|broc1|broc2}} và độc lập trong 1913 bởi [[Srinivasa Ramanujan]].{{r|ramanujan}}

== Số Brown==
Các cặp <math>(n,m)</math> giải bài toán Brocard được đặt tên '''cặp số Brown''' bởi [[Clifford A. Pickover]] trong quyển sách năm 1995 của ông: ''Chìa khóa tới vô cực'', sau khi biết được bài toán từ Kevin S. Brown.{{r|pickover}} Hiện vào tháng 5 năm 2021, chỉ có 3 cặp số Brown được biết:
(4,5), (5,11), và (7,71)
dựa trên các đẳng thức sau:

4! + 1 = 5<sup>2</sup> = 25,

5! + 1 = 11<sup>2</sup> = 121

7! + 1 = 71<sup>2</sup> = 5041

[[Paul Erdős]] phỏng đoán rằng không nghiệm nguyên nào khác tồn tại. Tìm kiếm bằng máy tính lên tới 10<sup>15</sup> cũng không thấy nghiệm nào khác tồn tại.{{r|bergal|matson|epsgli}}

==Quan hệ với giả thuyết abc==
Từ [[giả thuyết abc]] sẽ ra được chỉ có hữu hạn số Brown.{{r|overholt}}
Tổng quát hơn, từ giả thuyết ta cũng sẽ chứng minh được

<math>n!+A = k^2</math>

có hữu hạn số nghiệm với bất kỳ số nguyên <math>A</math>,{{r|dabrowski}} và

<math>n! = P(x)</math>

có hữu hạn số nghiệm nguyên với bất kì đa thức <math>P(x)</math> với bậc không nhỏ hơn 2 và hệ số nguyên.{{r|luca}}

==Tham khảo==
{{tham khảo|refs=

<ref name=bergal>{{citation
 | last1 = Berndt | first1 = Bruce C.
 | last2 = Galway | first2 = William F.
 | doi = 10.1023/A:1009873805276
 | issue = 1
 | journal = Ramanujan Journal
 | mr = 1754629
 | pages = 41–42
 | title = On the Brocard–Ramanujan Diophantine equation {{math|''n''! + 1 {{=}} ''m''<sup>2</sup>}}
 | url = https://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/galway.pdf
 | volume = 4
 | year = 2000| s2cid = 119711158
 }}</ref>

<ref name=broc1>{{citation
 | last = Brocard | first = H.
 | title = Question 166
 | journal = Nouv. Corres. Math. | volume = 2 | pages = 287 | year = 1876}}</ref>

<ref name=broc2>{{citation
 | last = Brocard | first = H.
 | title = Question 1532
 | journal = Nouv. Ann. Math. | volume = 4 | pages = 391 | year = 1885}}</ref>

<ref name=dabrowski>{{citation
 | last = Dąbrowski | first = Andrzej
 | issue = 3
 | journal = Nieuw Archief voor Wiskunde
 | mr = 1430045
 | pages = 321–324
 | title = On the Diophantine equation {{math|''x''! + A {{=}} ''y''<sup>2</sup>}}
 | volume = 14
 | year = 1996}}</ref>

<ref name=epsgli>{{citation
 | last1 = Epstein | first1 = Andrew
 | last2 = Glickman | first2 = Jacob
 | title = C++ Brocard GitHub Repository
 | url = https://github.com/jhg023/brocard
 | year = 2020}}</ref>

<ref name=luca>{{citation
 | last = Luca | first = Florian
 | issue = 2
 | journal = Glasnik Matematički
 | mr = 1951531
 | pages = 269–273
 | title = The Diophantine equation {{math|''P''(''x'') {{=}} ''n''!}} and a result of M. Overholt
 | url = https://web.math.hr/glasnik/37.2/37(2)-04.pdf
 | volume = 37(57)
 | year = 2002}}</ref>

<ref name=matson>{{citation
 | last = Matson | first = Robert
 | title = Brocard's Problem 4th Solution Search Utilizing Quadratic Residues
 | url = http://unsolvedproblems.org/S99.pdf
 | journal = Unsolved Problems in Number Theory, Logic and Cryptography
 | year = 2017
 | access-date = 2017-05-07
 | archive-date = 2018-10-06
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20181006100943/http://unsolvedproblems.org/S99.pdf
 | url-status = dead}}</ref>

<ref name=overholt>{{citation
 | last = Overholt | first = Marius
 | doi = 10.1112/blms/25.2.104
 | issue = 2
 | journal = The Bulletin of the London Mathematical Society
 | mr = 1204060
 | page = 104
 | title = The Diophantine equation {{math|''n''! + 1 {{=}} m<sup>2</sup>}}
 | volume = 25
 | year = 1993}}</ref>

<ref name=pickover>{{citation
 | last = Pickover | first = Clifford A. | author-link = Clifford A. Pickover
 | page = 170
 | publisher = John Wiley & Sons
 | title = Keys to Infinity
 | year = 1995}}</ref>

<ref name=ramanujan>{{citation
 | last = Ramanujan | first = Srinivasa
 | editor1-last = Hardy | editor1-first = G. H.
 | editor2-last = Aiyar | editor2-first = P. V. Seshu
 | editor3-last = Wilson | editor3-first = B. M.
 | contribution = Question 469
 | contribution-url = https://books.google.com/books?id=h1G2CgAAQBAJ&pg=PA327
 | isbn = 0-8218-2076-1
 | location = Providence, Rhode Island
 | mr = 2280843
 | page = 327
 | publisher = AMS Chelsea Publishing
 | title = Collected papers of Srinivasa Ramanujan
 | year = 2000}}</ref>

}}

==Đọc thêm==
*{{citation
 | last = Guy | first = R. K. | authorlink = Richard K. Guy
 | contribution = D25: Equations involving factorial <math>n</math>
 | title = Unsolved Problems in Number Theory
 | edition = 3rd
 | location = New York | publisher = Springer-Verlag
 | pages = 301–302
 | year = 2004}}

==Liên kết ngoài==
* {{mathworld2|title=Brocard's Problem|urlname=BrocardsProblem|title2=Brown Numbers|urlname2=BrownNumbers}}
* {{citation|last=Copeland|first=Ed|title=Brown Numbers|url=http://www.numberphile.com/videos/brown_numbers.html|work=Numberphile|publisher=[[Brady Haran]]|access-date=2013-04-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20141109235028/http://www.numberphile.com/videos/brown_numbers.html|archive-date=2014-11-09|url-status=dead}}

[[Thể loại:Phương trình Diophantine]]
[[Thể loại:Srinivasa Ramanujan]]
[[Thể loại:Giai thừa]]
[[Thể loại:Vấn đề mở trong lý thuyết số]]