Xem mã nguồn của Công thức De Moivre

Trong [[toán học]], '''công thức de Moivre''' (hay '''định thức de Moivre, đẳng thức de Moivre''', [[tiếng Anh]]: ''de Moivre's formula'') phát biểu rằng với mọi số thực ''{{mvar|x}}'' và số nguyên ''{{mvar|n}}'', đẳng thức sau luôn xảy ra, với ''{{mvar|i}}'' là [[đơn vị ảo]] ({{math|''i''<sup>2</sup> {{=}} −1}}):

: <math>\big(\cos x + i \sin x\big)^n = \cos nx + i \sin nx</math>

Công thức được đặt theo tên của nhà toán học [[Abraham de Moivre]], mặc dù ông chưa bao giờ đề cập nó trong các tác phẩm của mình.<ref>{{Chú thích sách|title=College Algebra and Trigonometry|last=Lial|first=Margaret L.|last2=Hornsby|first2=John|last3=Schneider|first3=David I.|last4=Callie J.|first4=Daniels|publisher=Pearson/Addison Wesley|year=2008|isbn=9780321497444|edition=4th|location=Boston|page=792}}</ref> Công thức này có giá trị chủ yếu ở việc liên kết các [[số phức]] với [[công thức lượng giác]]. Bằng việc khai triển biểu thức ở vế trái sau đó sử dụng điều kiện để hai số phức bằng nhau, công thức de Moivre có thể được sử dụng để khai triển {{math|cos ''nx''}} và {{math|sin ''nx''}} dưới dạng đơn giản hơn là đa thức của {{math|cos ''x''}} và {{math|sin ''x''}}.

Như nội dung của công thức, đẳng thức này không được áp dụng hoàn toàn cho trường hợp ''{{mvar|n}}'' không phải là số nguyên.

== Ví dụ ==
Với <math> x = 30^\circ</math> và <math> n = 2</math>, công thức de Moivre có thể được áp dụng như sau:<math display="block">\left(\cos(30^\circ) + i \sin(30^\circ)\right)^2 = \cos(2 \cdot 30^\circ) + i \sin (2 \cdot 30^\circ),</math>hoặc tương đương với<math display="block">\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2}.</math>Trong ví dụ này, có thể kiểm tra được đẳng thức có đúng hay không bằng cách khai triển phép bình phương ở vế trái.

== Mối quan hệ với công thức Euler ==
Công thức de Moivre là hệ quả cho [[công thức Euler]] - công thức thiết lập mối quan hệ giữa các [[hàm lượng giác]] và hàm mũ với số mũ phức:

<math display="block">e^{ix} = \cos x + i\sin x,</math>

Sử dụng tính chất của phép lũy thừa, có thể sử dụng công thức Euler để suy ra công thức de Moivre, bằng cách viết như sau:

<math>\left( e^{ix} \right)^n = e^{inx}, </math>

sử dụng công thức Euler cho vế trái, vế trái tương đương với <math>\left(\cos x + i\sin x\right)^n</math>, vế phải sẽ tương đương với:

<math>e^{inx} = \cos nx + i\sin nx.</math>
== Chứng minh bằng quy nạp ==
Công thức de Moivre có thể được chứng minh bằng cách sử dụng phép quy nạp cho các [[số tự nhiên]], từ đó mở rộng ra các số nguyên. Với số nguyên ''{{mvar|n}}'' cho trước, gọi mệnh đề sau đây là {{math|S(''n'')}}:

<math>(\cos x + i \sin x)^n = \cos nx + i \sin nx.</math>

Với {{math|''n'' > 0}}, phép [[quy nạp toán học]] bắt đầu từ đây. {{math|S(1)}} là một mệnh đề đúng, từ đó giả sử {{math|S(''k'')}} là mệnh đề đúng với số ''{{mvar|k}}'' nguyên nào đó, điều này tương đương với:

<math>\left(\cos x + i \sin x\right)^k = \cos kx + i \sin kx. </math>

Xét mệnh đề {{math|S(''k'' + 1)}}:

<math>\begin{alignat}{2}
 \left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1} & = \left(\cos x+i\sin x\right)^{k} \left(\cos x+i\sin x\right)\\
 & = \left(\cos kx + i\sin kx \right) \left(\cos x+i\sin x\right) &&\qquad \text{do S(k) là mệnh đề đúng}\\
 & = \cos kx \cos x - \sin kx \sin x + i \left(\cos kx \sin x + \sin kx \cos x\right)\\
 & = \cos ((k+1)x) + i\sin ((k+1)x) &&\qquad \text{sử dụng công thức lượng giác}
\end{alignat}</math>

Từ đó dẫn tới khi {{math|S(''k'')}} đúng, {{math|S(''k'' + 1)}} cũng đúng, từ đó theo phép quy nạp toán học, công thức này đúng với mọi số tự nhiên. {{math|S(0)}} cũng là mệnh đề đúng do {{math|cos(0''x'') + ''i'' sin(0''x'') {{=}} 1 + 0''i'' {{=}} 1}}. Với các số nguyên âm. xét một số nguyên âm {{math|−''n''}} là số đối của ''{{mvar|n}}'', khi đó:

<math>\begin{align}
 \left(\cos x + i\sin x\right)^{-n} & = \big( \left(\cos x + i\sin x\right)^n \big)^{-1} \\
 & = \left(\cos nx + i\sin nx\right)^{-1} \\
 & = \cos(-nx) + i\sin (-nx). \qquad (*) \\
\end{align}</math>

phương trình (*) là một phương trình đúng nhờ có tính chất:
<math>z^{-1} = \frac{\bar z}{|z|^2},</math> ở đó {{math|''z'' {{=}} cos ''nx'' + ''i'' sin ''nx''}}.

Từ đó, {{math|S(''n'')}} đúng với mọi số nguyên ''{{mvar|n}}''

== Công thức hạ bậc của sin và cosin ==
Để hai [[số phức]] có thể bằng nhau, phần thực và phần ảo của chúng đều phải đôi một bằng nhau. Nếu như ''{{mvar|x}}'', hay {{math|cos ''x''}} và {{math|sin ''x''}} đều là những số thực, khi đó chúng đều có thể được sử dụng để thiết lập mối quan hệ bằng nhau bằng việc sử dụng [[định lý nhị thức]]. Công thức này được phát biểu lần đầu tiên vào thế kỷ thứ 16 bởi nhà toán học người Pháp [[François Viète]]:

<math>\begin{align}
\sin nx &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (\cos x)^k\,(\sin x)^{n-k}\,\sin\frac{(n-k)\pi}{2} \\
\cos nx &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (\cos x)^k\,(\sin x)^{n-k}\,\cos\frac{(n-k)\pi}{2}.
\end{align}</math>

Ở vế phải của cả hai đồng nhất thức, hệ số tự do hoặc là 1, -1 hay 0. Hai đồng nhất thức này đúng kể cả khi ''{{mvar|x}}'' là một số phức. Dưới đây là hai ví dụ cho trường hợp {{math|''n'' {{=}} 2}} và {{math|''n'' {{=}} 3}}:

<math>\begin{alignat}{2}
 \cos 2x &= \left(\cos x\right)^2 +\left(\left(\cos x\right)^2-1\right)        &{}={}& 2\left(\cos x\right)^2-1       \\
 \sin 2x &= 2\left(\sin x\right)\left(\cos x\right)                            &     &                                \\
 \cos 3x &= \left(\cos x\right)^3 +3\cos x\left(\left(\cos x\right)^2-1\right) &{}={}& 4\left(\cos x\right)^3-3\cos x \\
 \sin 3x &= 3\left(\cos x\right)^2\left(\sin x\right)-\left(\sin x\right)^3    &{}={}& 3\sin x-4\left(\sin x\right)^3.
\end{alignat}</math>

Bản chất vế trái của đồng nhất thức với {{math|cos ''nx''}} là giá trị của {{math|''T''<sub>''n''</sub>(cos ''x'')}} - một [[đa thức Chebyshev]].

== Số mũ không nguyên ==
Công thức de Moivre không chắc chắn đúng khi số mũ không nguyên, do khi một số phức được lũy thừa hóa với số mũ không nguyên, có [[Lũy thừa|nhiều hơn một kết quả]] được thu lại. Ví dụ, với {{math|''n'' {{=}} {{sfrac|1|2}}}}, công thức de Moivre khi được áp dụng cho ra kết quả:

* Với {{math|''x'' {{=}} 0}}, công thức tương đương {{math|1=1<sup>1/2</sup>&nbsp;=&nbsp;1}} và, 
* Với {{math|''x'' {{=}} 2{{pi}}}}, công thức lại tương đương với {{math|1=1<sup>1/2</sup>&nbsp;=&nbsp;−1}}

Điều này xảy ra do {{math|1<sup>1/2</sup>}} vừa bằng 1, vừa bằng -1, nên công thức không đúng trong trường hợp này.

== Phát biểu đồng dạng ==

=== Hàm lượng giác hyperbolic ===
Do {{math|cosh ''x'' + sinh ''x'' {{=}} ''e<sup>x</sup>''}}, một phát biểu đồng dạng cũng xuất hiện với các [[hàm hyperbol]], rằng với mọi số nguyên ''{{mvar|n}}'':

<math display="block">(\cosh x + \sinh x)^n = \cosh nx + \sinh nx.</math>

Nếu ''{{mvar|n}}'' là một [[số hữu tỉ]], khi đó {{math|cosh ''nx'' + sinh ''nx''}} sẽ là một giá trị của {{math|(cosh ''x'' + sinh ''x'')<sup>''n''</sup>}}<ref>{{chú thích tạp chí|last=Mukhopadhyay|first=Utpal|date=August 2006|title=Some interesting features of hyperbolic functions|journal=Resonance|volume=11|issue=8|pages=81–85|doi=10.1007/BF02855783|s2cid=119753430}}</ref>

=== Mở rộng với số phức ===
Công thức với số phức <math>z=x+iy</math> vẫn có dạng:

<math>( \cos z + i \sin z)^n = \cos {nz} + i \sin {nz}.</math>, khi mà:

<math>\begin{align} \cos z = \cos(x + iy) &= \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y\, , \\
\sin z = \sin(x + iy) &= \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y\, . \end{align}</math>

=== Ma trận vuông 2x2 ===
Xét ma trận <math>A=\begin{pmatrix}\cos\phi & \sin\phi \\ -\sin\phi & \cos\phi \end{pmatrix}</math>, khi đó:

<math>\begin{pmatrix}\cos\phi & \sin\phi \\ -\sin\phi & \cos\phi \end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}\cos n\phi & \sin n\phi \\ -\sin n\phi & \cos n\phi \end{pmatrix}</math>

Đẳng thức này có thể được chứng minh bằng phép quy nạp như công thức de Moivre.

== Chú thích ==
{{tham khảo|30em}}

[[Thể loại:Số phức]]