Xem mã nguồn của Giả thuyết Goormaghtigh

Trong [[toán học]], '''giả thuyết Goormaghtigh''' là [[giả thuyết]] trong [[lý thuyết số]] được đặt tên theo nhà toán học người [[Bỉ]] [[René Goormaghtigh]]. Giả thuyết phát biểu rằng nghiệm [[số nguyên|nguyên]] không tầm thường duy nhất của [[phương trình Diophantine mũ]] sau

:<math>\frac{x^m - 1}{x-1} = \frac{y^n - 1}{y-1}</math>

thoả mãn <math>x>y>1</math> và <math>n,m>2</math> là

:<math>\frac{5^3-1}{5-1} = \frac{2^5-1}{2-1} = 31</math>

và

:<math>\frac{90^3-1}{90-1} = \frac{2^{13}-1}{2-1} = 8191.</math>

==Các kết quả nhỏ==
{{harvtxt|Davenport|Lewis|Schinzel|1961}} đã chứng tỏ rằng, với mỗi cặp số mũ <math>m</math> và <math>n</math> được cố định trước, phương trình này chỉ có hữu hạn số nghiệm. Tuy nhiên bài chứng minh này lại dựa trên [[định lý Siegel trên các điểm nguyên]]. {{harvtxt|Nesterenko|Shorey|1998}} chứng minh thêm rằng, nếu <math>m-1=dr</math> và <math>n-1=ds</math> với <math>d \ge 2</math>, <math>r \ge 1</math>, và <math>s \ge 1</math>, thì <math>\max(x,y,m,n)</math> bị chặn bởi hằng số [[kết quả hữu hiệu trong lý thuyết số|tính được hiệu quả]] phụ thuộc <math>r</math> và <math>s</math>. {{harvtxt|Yuan|2005}} đã chứng minh rằng khi <math>m=3</math> và <math>n</math> lẻ, phương trình này không có nghiệm nguyên <math>(x,y,n)</math> nào khác ngoài hai nghiệm kể trên.

Trong 1980, [[Ramachandran Balasubramanian|Balasubramanian]] và Shorey đã chứng minh rằng chỉ có hữu hạn số nghiệm <math>(x,y,m,n)</math> cho phương trình với các [[ước nguyên tố]] <math>x</math> và <math>y</math> nằm trong một tập hữu hạn cho trước và ta có thể tính hiệu quả kết quả này.
{{harvtxt|He|Togbé|2008}} chứng minh rằng khi cố định <math>x</math> và <math>y</math>, thì phương trình này chỉ có tối đa một nghiệm.
Nếu chỉ cố định một trong ''x'' (hoặc ''y''), thì phương trình có tối đa 15 nghiệm, và chỉ có tối đa 2 trừ khi ''x'' là [[luỹ thừa nguyên tố]] nhân với [[luỹ thừa hai]], có tối đa 3 nghiệm khi nằm trong tập hữu hạn {15, 21, 30, 33, 35, 39, 45, 51, 65, 85, 143, 154, 713}. Hơn nữa, phương trình chỉ có tối đa một nghiệm khi phần lẻ của ''n'' là số bình phương đủ trừ trường hợp ''n'' có tối đa hai ước nguyên tố phân biệt hoặc ''n'' nằm trong tập hữu hạn {315, 495, 525, 585, 630, 693, 735, 765, 855, 945, 1035, 1050, 1170, 1260, 1386, 1530, 1890, 1925, 1950, 1953, 2115, 2175, 2223, 2325, 2535, 2565, 2898, 2907, 3105, 3150, 3325, 3465, 3663, 3675, 4235, 5525, 5661, 6273, 8109, 17575, 39151}.

==Ứng dụng cho số repunit==
Giả thuyết Goormaghtigh tương đương với phát biểu sau: số 31 (111 trong [[cơ số]] 5, 11111 trong cơ số 2) và số 8191 (111 trong cơ số 90, 1111111111111 trong cơ số 2) là hai số [[repunit]] duy nhất có ít nhất 3 chữ số trong hai hệ cơ số khác nhau.

==Xem thêm==
*[[Giả thuyết Feit–Thompson]]

==Tham khảo==
{{tham khảo}}
* Goormaghtigh, Rene. L’Intermédiaire des Mathématiciens 24 (1917), 88
* {{cite journal | first1=Y. | last1=Bugeaud | first2=T.N. | last2=Shorey | title=On the diophantine equation <math>\tfrac{x^m-1}{x-1}=\tfrac{y^n-1}{y-1}</math> | journal=Pacific Journal of Mathematics | volume=207 |issue=1 | year=2002 | pages=61–75 | doi=10.2140/pjm.2002.207.61 | url=http://msp.org/pjm/2002/207-1/pjm-v207-n1-p04-s.pdf | doi-access=free }}
* {{cite journal | first1=R. | last1=Balasubramanian | author1-link=Ramachandran Balasubramanian | first2=T.N. | last2=Shorey | title=On the equation <math>a(x^{m}-1)/(x-1)=b(y^{n}-1)/(y-1)</math> | journal=Mathematica Scandinavica | volume=46 | year=1980 | pages=177–182 | zbl=0434.10013 | doi=10.7146/math.scand.a-11861|mr=0591599| doi-access=free }}
* {{cite journal | first1=H. | last1=Davenport | first2=D. J. | last2=Lewis | first3=A. | last3=Schinzel | title=Equations of the form <math>f(x)=g(y)</math> | journal=Quad. J. Math. Oxford | volume=2 | year=1961 | pages=304&ndash;312 | doi=10.1093/qmath/12.1.304 | mr=0137703 }}
* {{chú thích sách|first=Richard K. |last=Guy|author-link=Richard K. Guy|title=Unsolved Problems in Number Theory  |url=https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr | edition=3rd | publisher=[[Springer-Verlag]]|date=2004|page=[https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr/page/242 242]|isbn=0-387-20860-7 | zbl=1058.11001}}
* {{cite journal | first1=Bo | last1=He | first2=Alan | last2=Togbé | title=On the number of solutions of Goormaghtigh equation for given <math>x</math> and <math>y</math> | journal=Indag. Math. |series=New Series | volume=19 | year=2008 | pages=65&ndash;72 | doi=10.1016/S0019-3577(08)80015-8 | mr=2466394 | doi-access=free }}
* {{cite journal | first1=Yu. V. | last1=Nesterenko | author-link=Yuri Valentinovich Nesterenko |first2=T. N. | last2=Shorey | title=On an equation of Goormaghtigh | journal=Acta Arithmetica | volume=LXXXIII | issue=4 | year=1998 | pages=381–389 | url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa83/aa8345.pdf | zbl=0896.11010 | doi=10.4064/aa-83-4-381-389 | mr=1610565| doi-access=free }}
* {{chú thích sách | last1=Shorey | first1=T.N. | last2=Tijdeman | first2=R. | author2-link=Robert Tijdeman | title=Exponential Diophantine equations | series=Cambridge Tracts in Mathematics | volume=87 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1986 | isbn=0-521-26826-5 | zbl=0606.10011 | pages=203–204}}
* {{cite journal | first=Pingzhi | last=Yuan | title=On the diophantine equation <math>\tfrac{x^3-1}{x-1}=\tfrac{y^n-1}{y-1}</math> | journal=J. Number Theory | volume=112 | year=2005 | pages=20&ndash;25 | doi=10.1016/j.jnt.2004.12.002 | mr=2131139 | doi-access=free }}

[[Thể loại:Phương trình Diophantine]]
[[Thể loại:Vấn đề mở trong lý thuyết số]]
[[Thể loại:Phỏng đoán]]