Xem mã nguồn của Hàm phân thức

Trong [[toán học]], '''hàm phân thức''' là một [[hàm số]] được viết dưới dạng [[tỉ số]] của hai [[đa thức|hàm đa thức]].

==Các định nghĩa==
Một hàm một [[biến số|biến]] <math></math> được gọi là một hàm phân thức khi và chỉ khi nó có thể viết được dưới dạng

:<math> f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} </math>

Trong đó <math>P\,</math> và <math>Q\,</math> là các [[đa thức]] đối với <math>x\,</math> và <math>Q\,</math> không phải là một [[đa thức không]]. [[Tập xác định]] của <math>f\,</math> là tập hợp các điểm <math>x\,</math> mà tại đó mẫu thức <math>Q(x)\,</math> khác 0.

Tất cả các đa thức đều là phân thức với <math>Q(x) = 1</math>. Một hàm số không viết được dưới dạng trên thì không phải là một phân thức (ví dụ, <math>f(x) = \sin(x)</math>).

Một biểu thức có dạng <math> \frac{P(x)}{Q(x)}</math> được gọi là một ''biểu thức phân thức''. Trong [[đại số trừu tượng]], <math>x</math> không bắt buộc là biến số.

Một ''phương trình phân thức'' là một phương trình trong đó hai biểu thức phân thức bằng nhau. Các biểu thức đó cũng phải tuân theo các quy tắc trong [[phân số]]. Phương trình này có thể được giải bằng [[Luật ba (toán học)|luật ba]].

==Các ví dụ==
{{multiple image
 | header = Các ví dụ về hàm phân thức
 | align = right
 | direction = vertical
 | width = 300
 | image1 = RationalDegree2byXedi.svg
 | alt1 = Rational function of degree 2

 | caption1 = Hàm phân thức bậc 2: <math>y = \frac{x^2-3x-2}{x^2-4}</math> 
 | image2 = RationalDegree3.svg
 | alt2 = Rational function of degree 3
 | caption2 = Hàm phân thức bậc 3: <math>y = \frac{x^3-2x}{2(x^2-5)}</math>
}}

Hàm phân thức <math>f(x) = \frac{x^3-2x}{2(x^2-5)}</math> không xác định tại <math>x^2=5 \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{5}</math>.

Hàm phân thức <math>f(x) = \frac{x^2 + 2}{x^2 + 1}</math> xác định với mọi [[số thực]], nhưng không phải với mọi [[số phức]], vì nếu ''x'' là [[căn bậc hai]] của <math>-1</math> (ví dụ như [[đơn vị ảo]]), thì sẽ dẫn tới chia cho 0: <math>f(i) = \frac{i^2 + 2}{i^2 + 1} = \frac{-1 + 2}{-1 + 1} = \frac{1}{0}</math>, không xác định.

Hàm phân thức <math>f(x) = \frac{x^3-2x}{2(x^2-5)}</math>, khi x tiến tới vô cùng, thì tiệm cận với đường thẳng <math>\frac{x}{2}</math>.

Một [[hàm hằng]] ví dụ như ''f''(''x'') = π là một hàm phân thức vì một hằng số cũng là một đa thức.

Hàm phân thức <math>f(x) = \frac{x}{x}</math> bằng 1 với mọi ''x'' khác 0, trong đó ''x'' = 0 là một [[điểm kì dị bỏ được]].

Tổng, tích, hoặc thương (trừ trường hợp chia cho đa thức không) của hai hàm phân thức cũng là một hàm phân thức.

==Chuỗi Taylor==
Các hệ số của một [[chuỗi Taylor]] của một hàm phân thức bất kì thỏa [[phương trình hồi quy|phương trình hồi quy tuyến tính]], phương trình này được tìm bằng cách đặt hàm phân thức bằng với chuỗi Taylor và gộp các [[số hạng đồng dạng]] với nhau.

Ví dụ

:<math>\frac{1}{x^2 - x + 2} = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k.</math>

Nhân hai vế với mẫu thức và phân phối

:<math>1 = (x^2 - x + 2) \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k</math>

:<math>1 = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^{k+2} - \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^{k+1} + 2\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k.</math>

Chỉnh lại chỉ số của tổng để được các số hạng có số mũ bằng nhau, ta có

:<math>1 = \sum_{k=2}^{\infty} a_{k-2} x^k - \sum_{k=1}^{\infty} a_{k-1} x^k + 2\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k.</math>

Gộp các số hạng đồng dạng với nhau

:<math>1 = 2a_0 + (2a_1 - a_0)x + \sum_{k=2}^{\infty} (a_{k-2} - a_{k-1} + 2a_k) x^k.</math>

Do đẳng thức trên đúng với mọi ''x'' nằm trong bán kính hội tụ của chuỗi Taylor ban đầu, ta cho các hệ số bằng với nhau. Do [[số hạng không đổi]] của vế trái phải bằng vế phải, ta có

:<math>a_0 = \frac{1}{2}.</math>

Do không có số hạng có mũ nào ở bên trái nên các [[hệ số]] của chúng ở vế phải đều bằng 0, do đó
:<math>a_1 = \frac{1}{4}</math>

:<math>a_{k} = \frac{1}{2} (a_{k-1} - a_{k-2})\quad for\ k \ge 2.</math>

Ngược lại, một dãy số bất kì thỏa mãn một phương trình [[hồi quy tuyến tính]] nào đó sẽ xác định một hàm phân thức khi cho chúng làm các hệ số trong một chuỗi Taylor. Điều này rất hữu ích khi giải một phương trình hồi quy, vì bằng phương pháp [[phân thức đơn giản|đơn giản phân thức]] ta có thể viết một hàm phân thức bất kì dưới dạng tổng của các số hạng có dạng ''1 / (ax + b)''.

==Tham khảo==
{{tham khảo}}
*{{chú thích|last1=Press|first1=WH|last2=Teukolsky|first2=SA|last3=Vetterling|first3=WT|last4=Flannery|first4=BP|year=2007|title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing|edition=3rd|publisher=Cambridge University Press|publication-place=New York|isbn=978-0-521-88068-8|chapter=Section 3.4. Rational Function Interpolation and Extrapolation|chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=124|access-date=2012-07-25|archive-date=2012-03-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20120319193721/http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=124|url-status=dead}}

==Liên kết ngoài==
* [http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/wiki/index.php/Rational_functions Dynamic visualization of rational functions with JSXGraph]

[[Thể loại:Đại số]]