Xem mã nguồn của Lý thuyết nút thắt

[[Tập_tin:Tabela_de_nós_matemáticos_01,_crop.jpg|nhỏ|Một số dạng nút thắt ở cấu trúc 2D: nút thường không xoắn (trái, trên cùng) và nút ba thuỳ (ngay dưới nó).]]
[[Tập_tin:TrefoilKnot_01.svg|nhỏ|Sơ đồ 2D một nút thắt ba thuỳ (trefoil knot). Đây là dạng đơn giản nhất trong nhóm nút xoắn.]]

'''Lý thuyết nút thắt''' (knot theory) là lý thuyết trong [[Tô pô|tô pô học]] nghiên cứu về các nút trên phương diện toán học.

== Tổng quan ==

* Mặc dù khái niệm nút (knot) lấy từ khái niệm [[Nút dây|nút thắt]] trong cuộc sống hàng ngày (như nút dây giày, nút thắt dây thừng, nút nơ,...), nhưng ở đây, nút thắt là "nút thắt toán học" (mathematical knots) dùng để chỉ tất cả các dạng có thể có của một đường cong kín trong không gian ba chiều, có thể không xoắn (như một cái nhẫn) hoặc lồng hay xoắn lại một hay nhiều lần, miễn là không giao cắt. Một '''nút thắt toán học''' có bản chất là một đường cong kín, nhưng không có giao điểm).<ref>{{Chú thích web|url=https://www.britannica.com/science/knot-theory|title=Knot theory (MATHEMATICS)|last=Robert Osserman|first=|date=|website=|archive-url=|archive-date=|url-status=|access-date =}}</ref> Lý thuyết này nghiên cứu các thuộc tính tô pô và hệ thống phân loại các "nút thắt toán học".<ref>{{Chú thích web|url=https://www.merriam-webster.com/dictionary/knot%20theory|title=knot theory|last=|first=|date=|website=|archive-url=|archive-date=|url-status=|access-date =}}</ref>
* Trong ngôn ngữ toán học, một nút thắt là một vòng tròn nhúng trong không gian 3 chiều, R<sup>3</sup> (trong tô pô học, khái niệm "vòng tròn" không bị ràng buộc bởi khái niệm "vòng  tròn hình học cổ điển", nhưng đều là đường đồng nhất và khép kín). Hai nút thắt toán học là bằng nhau nếu  nút này có thể biến đổi thành nút kia thông qua biến dạng của chính nó trong R<sup>3</sup> (được gọi là đồng vị xung quanh - ambient isotopy); các phép biến đổi này tương ứng với các thao tác của một chuỗi thắt nút không liên quan đến việc cắt chuỗi hoặc truyền chuỗi qua chính nó.

== Lược sử ==
Các nhà khảo cổ đã phát hiện ra rằng việc thắt nút có từ thời tiền sử. Bên cạnh công dụng thường dùng là để buộc các vật thể lại với nhau, nút thắt còn dùng để ghi nhớ thông tin (như ghi số ngày đã qua ở một địa điểm), nút thắt còn khiến con người thích thú vì tính thẩm mỹ và biểu tượng tâm linh của chúng. Chẳng hạn như [[Nút dây Trung Quốc|nút thắt Trung Quốc]] có niên đại từ nhiều thế kỷ trước Công nguyên; nút thắt vô tận xuất hiện ở Phật giáo Tây Tạng; dạng [[vòng Borromean]] đã xuất hiện nhiều ở các nền văn hóa khác nhau trên thế giới thường biểu trưng cho sức mạnh của sự thống nhất.<gallery>
Tập tin:KellsFol034rXRhoDet3.jpeg|Một phần bức ảnh chụp lại của kinh [[Phúc Âm Kells]] từ 800 TCN (khoảng 1300 năm trước) có thể hiện nút thắt.
Tập tin:P endlessknot.svg|Một kiểu nút thắt vô tận.
Tập tin:Borromean Rings Illusion.png|Vòng nhẫn Borromean.
Tập tin:2x5 Basket Weave Knot.png|Nút thắt Celtic.
</gallery>Tuy nhiên, lý thuyết toán học đầu tiên về nút thắt mới hình thành vào năm 1771 nhờ nhà toán học người Pháp [[Alexandre-Théophile Vandermonde]]. Các nghiên cứu toán học tiếp theo về nút thắt phát triển mạnh hơn ở thế kỷ 19 nhờ [[Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauss]] và lý thuyết của [[William Thomson]] (Lord Kelvin) về [[nguyên tử]], dẫn đến [[Peter Guthrie Tait]] tạo ra các bảng nút thắt đầu tiên giúp người ta phân loại hoàn chỉnh. Từ đó hình thành lý thuyết hoàn chỉnh hơn, trở thành một bộ phận của toán học tôpô ([[topology]]).
[[Tập tin:Peter Guthrie Tait.jpg|nhỏ|Peter Guthrie Tait là người lập bảng thắt nút.]]
Đến thế kỉ XX, [[Max Dehn]], [[J. W. Alexander]] và một số nhà toán học khác đã phát triển lý thuyết này có tính đột phá. Vào những thập niên cuối thế kỉ XX, William Thurston đã đưa hình học hyperbol vào nghiên cứu các nút thắt với định lý hyperbolization. Nhiều nút thắt được hiển thị là nút thắt hyperbol, cho phép sử dụng hình học trong việc xác định các bất biến nút mới, mạnh mẽ. Phát hiện về [[đa thức Jones]] của [[Vaughan Jones]] vào năm 1984 và những đóng góp tiếp theo của [[Edward Witten]] cũng như của [[Maxim Kontsevich]] và những người khác đã tiết lộ mối liên hệ sâu sắc giữa lý thuyết nút và phương pháp toán học trong cơ học thống kê và trường lượng tử học thuyết. Kể từ đó, rất nhiều bất biến nút thắt đã được phát minh, sử dụng các công cụ tinh vi như lý thuyết [[nhóm lượng tử]] (quantum groups) và [[Floer homology]].<ref>{{Chú thích web|url=https://www.ams.org/journals/tran/1991-326-01/S0002-9947-1991-0994161-2/home.html|tựa đề=Hyperbolic invariants of knots and links|tác giả=|họ=Colin Adams, Martin Hildebrand & Jeffrey Weeks|tên=|ngày=|website=|url lưu trữ=|ngày lưu trữ=|ngày truy cập=}}</ref>

== Ứng dụng trong nghiên cứu DNA ==
Đến những năm cuối của thế kỷ XX, một số nhà nghiên cứu cả về toán học và sinh học đã quan tâm nghiên cứu phân tử DNA cũng như một số [[polyme]] khác trên phương diện lý thuyết nút thắt này, góp phần hiệu quả trong nghiên cứu hoạt động của [[Topoisomerase|topôizômerza]] trên DNA. Lý thuyết này cũng đã góp phần rất quan trọng trong việc chế tạo [[máy tính tôpô lượng tử]].
[[Tập tin:Knot Unfolding.gif|nhỏ|Một phân tử [[DNA vòng]] có biến đổi cấu trúc tô pô như một nút thắt toán học.]]

== Xem thêm ==

* [[Lý thuyết ruy băng (DNA)|Lý thuyết ruy băng]]
*[[DNA vòng]]
*RNA vòng
*[[Contact geometry#Legendrian submanifolds and knots]]
* [[Knots and graphs]]
* [[List of knot theory topics]]
* [[Molecular knot]]
* [[Quantum knots]]
* [[Quantum topology]]
* {{section link|Necktie|Types of knot}}

== Tham khảo ==
* {{chú thích|first=Colin|last=Adams|author-link=Colin Adams (mathematician)|title=The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots|publisher=American Mathematical Society|year=2004|isbn=978-0-8218-3678-1}}
* {{chú thích|first=Colin|last=Adams|first2=Martin|last2=Hildebrand|first3=Jeffrey|last3=Weeks|author3-link=Jeffrey Weeks (mathematician)|title=Hyperbolic invariants of knots and links|journal=Transactions of the American Mathematical Society|year=1991|volume=326|pages=1–56|issue=1|jstor=2001854|doi=10.1090/s0002-9947-1991-0994161-2}}
* {{chú thích|first1=Selman|last1=Akbulut|authorlink1=Selman Akbulut|first2=Henry C.|last2=King|title=All knots are algebraic|journal=Comm. Math. Helv.|year=1981|volume=56|pages=339–351|issue=3|doi=10.1007/BF02566217}}
* {{chú thích|first=Dror|last=Bar-Natan|title=On the Vassiliev knot invariants|journal=Topology|volume=34|year=1995|pages=423–472|issue=2|doi=10.1016/0040-9383(95)93237-2}}
* {{chú thích|first=Graham|last=Collins|periodical=Scientific American|title=Computing with Quantum Knots|date=April 2006|bibcode=2006SciAm.294d..56C|volume=294|pages=56–63|doi=10.1038/scientificamerican0406-56|issue=4}}
* {{chú thích|first=Max|last=Dehn|authorlink=Max Dehn|title=Die beiden Kleeblattschlingen|journal=Mathematische Annalen|volume=75|year=1914|pages=402–413}}
* {{chú thích|first=John Horton|last=Conway|author-link=John Horton Conway|chapter=An enumeration of knots and links, and some of their algebraic properties|publisher=Pergamon|year=1970|pages=329–358|title=Computational Problems in Abstract Algebra|oclc=322649|isbn=978-0080129754}}
* {{chú thích|first=Helmut|last=Doll|first2=Jim|last2=Hoste|title=A tabulation of oriented links. With microfiche supplement|journal=Math. Comp.|volume=57|year=1991|pages=747–761|issue=196|doi=10.1090/S0025-5718-1991-1094946-4|bibcode=1991MaCom..57..747D}}
* {{chú thích|first=Erica|last=Flapan|authorlink=Erica Flapan|title=When topology meets chemistry: A topological look at molecular chirality|journal=Outlooks|publisher=Cambridge University Press|year=2000|isbn=978-0-521-66254-3|url=https://books.google.com/books?id=sh3uWYLfozsC}}
* {{chú thích|first=André|last=Haefliger|title=Knotted (4''k''&nbsp;&minus;&nbsp;1)-spheres in 6''k''-space|journal=Annals of Mathematics|series=Second Series|year=1962|volume=75|pages=452–466|issue=3|jstor=1970208|doi=10.2307/1970208}}
* {{chú thích|first=Joel|last=Hass|author-link=Joel Hass|title=Algorithms for recognizing knots and 3-manifolds|journal=Chaos, Solitons and Fractals|year=1998|pages=569–581|volume=9|doi=10.1016/S0960-0779(97)00109-4|issue=4–5|arxiv=math/9712269|bibcode=1998CSF.....9..569H}}
* {{chú thích|first=Jim|last=Hoste|first2=Morwen|last2=Thistlethwaite|authorlink2=Morwen Thistlethwaite|first3=Jeffrey|last3=Weeks|title=The First 1,701,935 Knots|journal=[[Math. Intelligencer]]|volume=20|year=1998|pages=33–48|doi=10.1007/BF03025227|issue=4}}
* {{chú thích|first=Jim|last=Hoste|contribution=The enumeration and classification of knots and links|year=2005|title=Handbook of Knot Theory|place=Amsterdam|publisher=Elsevier|url=http://pzacad.pitzer.edu/~jhoste/HosteWebPages/downloads/Enumeration.pdf}}
* {{chú thích|first=Jerome|last=Levine|authorlink=Jerome Levine|title=A classification of differentiable knots|journal=[[Annals of Mathematics]]|series=Second Series|year=1965|volume=1982|issue=1|pages=15–50|jstor=1970561|doi=10.2307/1970561}}
* {{chú thích|first=Maxim|last=Kontsevich|author-link=Maxim Kontsevich|title=Vassiliev's knot invariants|pages=137–150|journal=I. M. Gelfand Seminar, Adv. Soviet Math.|volume=16|series=2|publisher=American Mathematical Society|place=Providence, RI|year=1993|doi=10.1090/advsov/016.2/04|isbn=9780821841174}}
* {{chú thích|first=W. B. Raymond|last=Lickorish|authorlink=W. B. R. Lickorish|title=An Introduction to Knot Theory|publisher=Springer-Verlag|series=Graduate Texts in Mathematics|year=1997|isbn=978-0-387-98254-0|url=https://books.google.com/books?id=PhHhw_kRvewC}}
* {{chú thích|first=Kenneth|last=Perko|title=On the classification of knots|journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society]]|year=1974|volume=45|pages=262–6|issue=2|jstor=2040074|doi=10.2307/2040074}}
* {{chú thích|first=Dale|last=Rolfsen|title=Knots and Links|publisher=Publish or Perish|location=[[Berkeley, California]]|year=1976|series=Mathematics Lecture Series|volume=7|isbn=978-0-914098-16-4|url=https://books.google.com/books?id=naYJBAAAQBAJ|mr=0515288}}
* {{chú thích|last=Schubert|first=Horst|year=1949|title=Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten|journal=Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl.|pages=57–104|issue=3}}
* {{chú thích|first=Dan|last=Silver|title=Knot theory's odd origins|periodical=American Scientist|volume=94|pages=158–165|year=2006|url=http://www.southalabama.edu/mathstat/personal_pages/silver/scottish.pdf|issue=2|doi=10.1511/2006.2.158|access-date=2019-10-01|archive-date=2015-09-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20150924104035/http://www.southalabama.edu/mathstat/personal_pages/silver/scottish.pdf}}
* {{chú thích|last=Simon|first=Jonathan|year=1986|journal=Topology|volume=25|pages=229–235|title=Topological chirality of certain molecules|doi=10.1016/0040-9383(86)90041-8|issue=2}}
* {{chú thích|last=Sossinsky|first=Alexei|year=2002|title=Knots, mathematics with a twist|publisher=Harvard University Press|isbn=978-0-674-00944-8}}
* {{chú thích|last=Turaev|first=V. G.|title=Quantum invariants of knots and 3-manifolds|journal=De Gruyter Studies in Mathematics|volume=18|publisher=Walter de Gruyter & Co.|place=Berlin|year=1994|isbn=978-3-11-013704-0|title-link=Quantum invariant|arxiv=hep-th/9409028}}
* {{chú thích web|url=http://mathworld.wolfram.com/ReducedKnotDiagram.html|title=Reduced Knot Diagram|last1=Weisstein|first1=Eric W.|date=|work=MathWorld|publisher=Wolfram|access-date =ngày 8 tháng 5 năm 2013}}
* {{chú thích web|url=http://mathworld.wolfram.com/ReducibleCrossing.html|title=Reducible Crossing|last1=Weisstein|first1=Eric W.|date=|work=MathWorld|publisher=Wolfram|access-date =ngày 8 tháng 5 năm 2013}}
* {{chú thích|last=Witten|first=Edward|author-link=Edward Witten|title=Quantum field theory and the Jones polynomial|journal=Comm. Math. Phys.|volume=121|year=1989|pages=351–399|issue=3|doi=10.1007/BF01217730|bibcode=1989CMaPh.121..351W}}
* {{chú thích|first=E. C.|last=Zeeman|author-link=E. C. Zeeman|title=Unknotting combinatorial balls|journal=Annals of Mathematics|series=Second Series|year=1963|volume=78|pages=501–526|issue=3|jstor=1970538|doi=10.2307/1970538}}

=== Lịch sử ===
* {{chú thích|last=Thomson|first=Sir William|authorlink=Lord Kelvin|title=On Vortex Atoms|journal=Proceedings of the Royal Society of Edinburgh|volume=VI|pages=94–105|year=1867|url=http://zapatopi.net/kelvin/papers/on_vortex_atoms.html}}
* {{chú thích|last=Silliman|first=Robert H.|title=William Thomson: Smoke Rings and Nineteenth-Century Atomism|journal=Isis|volume=54|issue=4|pages=461–474|date=December 1963|jstor=228151|doi=10.1086/349764}}
* [http://www.southalabama.edu/mathstat/personal_pages/silver/smoke%20rings.mpg Movie] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150924104038/http://www.southalabama.edu/mathstat/personal_pages/silver/smoke%20rings.mpg |date=2015-09-24 }} of a modern recreation of Tait's smoke ring experiment
* [http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/knots History of knot theory] (on the home page of [[Andrew Ranicki]])

=== Bảng nút thắt ===
* [http://www.indiana.edu/~knotinfo/ '''KnotInfo''': ''Table of Knot Invariants and Knot Theory Resources''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191209121351/http://www.indiana.edu/~knotinfo/ |date=2019-12-09 }}
* {{Knot Atlas|Main Page}} — detailed info on individual knots in knot tables
* [http://knotplot.com/ KnotPlot] — software to investigate geometric properties of knots

== Nguồn trích dẫn ==
{{tham khảo}}

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}
== Liên kết ngoài ==
{{thể loại Commons|Knot theory}}
{{Wiktionary}}
* [http://www.groupoids.org.uk/popmath/cpm/exhib/knotexhib.html "Mathematics and Knots"] This is an online version of an exhibition developed for the 1989 Royal Society "PopMath RoadShow". Its aim was to use knots to present methods of mathematics to the general public.
{{Tô pô}}
{{Kiểm soát tính nhất quán}}

[[Thể loại:Tô pô chung]]
[[Thể loại:Di truyền phân tử]]
[[Thể loại:DNA]]