Xem mã nguồn của Nhóm lũy linh

'''Nhóm lũy linh''' cùng với [[nhóm giải được]] là các cấu trúc cơ bản của [[đại số trừu tượng]].

== Định nghĩa ==
=== Chuỗi tâm trên ===
Tồn tại một nhóm <math>G</math> là ''lũy linh'' nếu nó có các chuỗi tâm trên ổn định sau khi hữu hạn toàn bộ nhóm (tức là tồn tại một số tự nhiên <math>c</math> sao cho <math>Z_c(G) = G</math>. Sau đây chúng ta định nghĩa <math>Z_i(G)</math> bằng phương pháp quy nạp:

Tâm <math>Z_i(G)</math> là tạo ảnh của tâm <math>Z(G/Z_{i - 1}(G))</math> dưới các ánh xạ thương từ <math>G</math> đến <math>G/Z_{i - 1}(G)</math> và <math>Z_0(G)</math> là nhóm con chuẩn tắc của <math>G</math>.

=== Chuỗi tâm dưới ===
<math>G</math> là lũy linh nếu tồn tại một số tự nhiên <math>c</math> sao cho <math>[[[..[G, G], G], G],...G]</math> là chuẩn tắc với <math>G</math> được nhắc lại <math>c + 1</math> lần. <math>[, ]</math> là [[giao hoán tử]] của các tập con của <math>G</math>.

=== Chuỗi tâm ===
<math>G</math> là lũy linh nếu tồn tại số tự nhiên <math>c</math> và một dãy con hữu hạn:

<math>G = H_1 \ge H_2 \ge... \ge H_{c + 1} = \left \{e \right \}</math> và mỗi <math>H_i</math> là [[nhóm con chuẩn tắc]] của <math>G</math> và <math>H_i / H_{i + 1}</math> là [[Tâm (nhóm)|tâm]] của <math>G / H_{i + 1}</math>.

=== Nhóm con chéo bình thường của tích Descartes của nhóm (tạm dịch) ===
Tập <math>\left \{(g, g): g \in G \right \}</math> là nhóm con của tích Descartes <math>G \times G</math> với mọi <math>c \in \mathbb{N}</math>.

=== Tích giao hoán tử chuẩn-trái chuẩn tắc (tạm dịch) ===
Tồn tại độ dài subnormal (không dịch được) <math>c \in \mathbb{N}</math> sao cho <math>[[...[[x_1, x_2], x_3],...], x_{c + 1}]</math> nhận giá trị của [[phần tử đơn vị]] với mọi <math>x_i \in G</math>.

=== Tích giao hoán tử chuẩn-"bất kỳ hướng" chuẩn tắc (tạm dịch) ===
Tồn tại số <math>c</math> như trên sao cho mọi tích giao hoán tử bao gồm <math>c</math> tích giao hoán tử.

Trong trường hợp <math>c = 3</math>, biểu thức

<math>[[x_1, x_2], [x_3, x_4]], [[[x_1, x_2], x_3], x_4]], [x_1, [x_2, [x_3, x_4]]]</math>,

<math>[[x_1, [x_2, x_3]], x_4], [x_1, [[x_2, x_3], x_4]</math> đều nhận giá trị của phần tử đơn vị.

=== Tích giao hoán tử chuẩn-trái chuẩn tắc tổng quát ===
Giống tích giao hoán tử chuẩn-trái chuẩn tắc nhưng tổng quát hơn.

== Ví dụ ==
* Nhóm chuẩn tắc là lũy linh trên ''lớp lũy linh'' cấp <math>0</math>.
* Mọi [[nhóm Abel]] là lũy linh trên lớp lũy linh cấp <math>1</math>.
* Nhóm D8 là lũy linh nhưng không Abel.
* Nhóm quaternion lũy linh nhưng không Abel.

== Tính chất ==
* ''Giả tốt''.
* Nếu <math>G</math> lũy linh, nhóm con <math>H</math> cũng lũy linh.
* Nếu <math>G</math> lũy linh và có nhóm con bình thường <math>H</math> thì nhóm thương <math>G / H</math> cũng lũy linh.
* Nếu <math>G_i, i = 1, 2,..., n</math> lũy linh, tích Descartes <math>\Pi_{i = 1}^n G_i</math> cũng lũy linh. 
* Nếu <math>G</math> lũy linh và tồn tại các nhóm con bình thường <math>N_1, N_2,..., N_n</math> thì tích ''trong'' của chúng cũng lũy linh.
* Nếu <math>G_1, G_2</math> là nhóm isoclinic và <math>G_1</math> lũy linh, nhóm <math>G_2</math> cũng lũy linh.

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}
* ''Homology in group theory'', by Urs Stammbach, Lecture Notes in Mathematics, Volume 359, Springer-Verlag, New York, 1973, vii+183 pp. [http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183537230 review]
* {{chú thích sách |author=Suprunenko, D. A. |title=Matrix Groups |url=https://archive.org/details/matrixgroups0000supr |publisher=American Mathematical Society |location=Providence, Rhode Island |year=1976 |pages= |isbn=0-8218-1341-2 |oclc= |doi= |access-date =}}
* {{chú thích sách |author=Hungerford, Thomas Gordon |title=Algebra |url=https://archive.org/details/algebra0000hung_f8t3 |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin |year=1974 |pages= |isbn=0-387-90518-9 |oclc= |doi= |access-date =}}
* {{chú thích sách |author=Palmer, Theodore W. |title=Banach algebras and the general theory of *-algebras |url=https://archive.org/details/banachalgebrasge0001palm |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge, UK |year=1994 |pages= |isbn=0-521-36638-0 |oclc= |doi= |access-date =}}
* {{chú thích sách |author=Friedrich Von Haeseler |title=Automatic Sequences (De Gruyter Expositions in Mathematics, 36) |url=https://archive.org/details/automaticsequenc0000haes |publisher=Walter de Gruyter |location=Berlin |year=2002 |pages= |isbn=3-11-015629-6 |oclc= |doi= |access-date =}}
* {{chú thích sách |last= Isaacs |first= I. Martin |title= Finite group theory|year=2008|publisher=American Mathematical Society|isbn=0-8218-4344-3}}
* {{chú thích sách |author=Zassenhaus, Hans |title=The theory of groups |url=https://archive.org/details/theoryofgroups0000zass |publisher=Dover Publications |location=New York |year=1999 |pages= |isbn=0-486-40922-8 |oclc= |doi= |access-date =}}
* {{chú thích sách |author=Bechtell, Homer |title=The theory of groups |url=https://archive.org/details/theoryofgroups0000bech |publisher=Addison-Wesley |location= |year=1971 |pages= |isbn= |oclc= |doi= |access-date =}}
* {{chú thích sách |author=Tabachnikova, Olga; Smith, Geoff |title=Topics in Group Theory (Springer Undergraduate Mathematics Series) |url=https://archive.org/details/topicsingroupthe0000smit |publisher=Springer |location=Berlin |year=2000 |pages= |isbn=1-85233-235-2 |oclc= |doi= |access-date =}}

[[Thể loại:Nhóm lũy linh]]
[[Thể loại:Thuộc tính nhóm]]