Xem mã nguồn của Phần tử hút

Trong [[toán học]], '''phần tử hút''' (hoặc '''phần tử triệt tiêu''', hoặc là '''phần tử hấp thụ''') là một loại phần tử đặc biệt trong [[tập hợp (toán học)|tập]] được định nghĩa cùng một [[phép toán hai ngôi]] trên tập đó. Kết quả của việc hợp phần tử hút với phần tử bất kỳ trong tập hợp dưới phép toán hai ngôi là chính phần tử đó. Trong lý thuyết [[nửa nhóm]], phần tử hút còn được gọi là '''[[Nửa nhóm#phần tử đơn vị và phần tử không|phần tử không]]'''<ref>J.M. Howie, pp. 2–3</ref><ref name=kkm>M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev pp. 14–15</ref> bởi không thể nào nhầm với [[phần tử không|các thuật ngữ khác của không]].

== Định nghĩa ==
Gọi {{nowrap|(''S'', •)}} là tập hợp ''S'' cùng phép toán hai ngôi đóng • trên đó (hay còn được gọi là [[magma (đại số)|magma]]). '''phần tử hút''' là phần tử ''z'' sao cho với mọi ''s'' thuộc ''S'', {{nowrap|1=''z'' • ''s'' = ''s'' • ''z'' = ''z''}}. Từ đây ta có hai định nghĩa:<ref name=kkm/> '''phần tử hút trái''' là các phần tử chỉ yêu cầu {{nowrap|1=''z'' • ''s'' = ''z''}}, và '''phần tử hút phải''' là các phần tử chỉ yêu cầu {{nowrap|1=''s'' • ''z'' = ''z''}}.

Phần tử hút có ý nghĩa quan trọng trong [[lý thuyết nửa nhóm]], đặc biệt là trong nửa nhóm nhân của [[nửa vành]]. Trong trường hợp nửa vành cùng 0, định nghĩa của phần tử hút đôi khi được cho phép bỏ qua 0, nếu không thì 0 sẽ là phần tử hút duy nhất.<ref>J.S. Golan p. 67</ref>

==Các tính chất==
* Nếu magma có cả phần tử hút trái ''z'' và phần tử hút phải ''z''′, thì nó có phần tử hút, bởi {{nowrap|1=''z'' = ''z'' • ''z''′ = ''z''′}}.
* Mỗi magma chỉ có tối đa một phần hút.

==Các ví dụ==
*Ví dụ cơ bản nhất của phần tử hút đến từ đại số cơ bản, trong đó mọi số nhân với 0 thì đều bằng 0. Do đó số 0 là phần tử hút.
*Phần tử không của [[vành (toán học)|vành]] là phần tử hút. Cho {{mvar|r}} thuộc vành {{mvar|R}}, <math>r0 = r(0+0) = r0 + r0</math>, nên <math>0 = r0</math>, bởi phần tử không là phần tử {{mvar|a}} duy nhất sao cho <math>r=r-a</math> với bất kỳ {{mvar|r}} thuộc vành {{mvar|R}}. Tính chất này cũng đúng cho cấu trúc [[rng (toán học)|rng]] bởi trong đó chỉ không yêu cầu phần tử đơn vị.
* Số học [[dấu phẩy động]] được định nghĩa theo tiêu chuẩn IEEE-754 chứa giá trị đặc biệt được gọi là Not-a-Number ("NaN", hay ''không phải là số''). Nó là phần tử hút của mọi phép toán, nghĩa là {{nowrap|1=''x'' + NaN = NaN + ''x'' = NaN}}, {{nowrap|1=''x'' − NaN = NaN − ''x'' = NaN}}, vv...
* Tập của các [[phép toán hai ngôi]] trên tập ''X'' cùng với [[phép hợp quan hệ]] tạo thành một [[monoid]] cùng phần tử không, trong đó phần tử không là [[quan hệ rỗng]] ([[tập rỗng]]).
* Các ví dụ khác:
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
! Miền
! colspan=2 | Phép toán
! colspan=2 | Phần tử hút
|-
| [[Số thực]]
| ⋅ || Phép nhân
| [[0 (số không)|0]] ||
|-
| [[Số nguyên]]
|   || [[Ước chung lớn nhất]]
| 1 ||
|-
| [[Ma trận (toán học)|Ma trận]] vuông <math>n \times n</math>
| || [[Phép nhân ma trận]]
| || [[Ma trận không|Ma trận các số không]]
|-
| rowspan=2 | [[Đường số thực mở rộng]]
|    || Minimum/infimum
| −∞ ||
|-
|    || Maximum/supremum
| +∞ ||
|-
| Các [[Set (mathematics)|Set]]
| ∩ || Phép giao
| ∅ || [[Tập hợp rỗng]]
|-
| Các tập con của tập ''M''
| ∪     || Phép hợp
| ''M'' ||
|-
| rowspan=2 | [[Đại số Boole]]
| ∧ || [[Phép hội|Phép và]]
| ⊥ || Sai
|-
| ∨ || [[Phép tuyển|Phép hoặc]]
| ⊤ || Đúng
|}

==Xem thêm==
*[[Lũy đẳng (lý thuyết vành)]]{{snd}}phần tử <math>x</math> của vành sao cho <math>x^2=x</math>
*[[Phần tử đơn vị]]
*[[Nửa nhóm vô hiệu]]

==Chú thích==
{{tham khảo|30em}}

==Tham khảo==
*{{chú thích sách|last= Howie|first= John M.|title=Fundamentals of Semigroup Theory|url= https://archive.org/details/fundamentalsofse0000howi|year=1995|publisher=[[Clarendon Press]]|isbn=0-19-851194-9}}
* M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, ''Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs'', De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, {{ISBN|3-11-015248-7}}.
* {{chú thích sách |title=Semirings and Their Applications |first=Jonathan S. |last=Golan |year=1999 |publisher=Springer |isbn=0-7923-5786-8}}

==Liên kết ngoài==
* [http://planetmath.org/absorbingelement Absorbing element] at PlanetMath

[[Thể loại:Lý thuyết nửa nhóm]]
[[Thể loại:Phép toán hai ngôi]]
[[Thể loại:Tính chất đại số của phần tử]]