Xem mã nguồn của Số phong phú

{{short description|Số nhỏ hơn tổng các ước chân chính của nó}}
[[Tập tin:Abundant number Cuisenaire rods 12.png|thumb|275px|Mô tả bằng các [[thanh Cuisenaire]] về độ dư thừa của số 12]]

Trong [[lý thuyết số]], '''Số phong phú''' hay '''số dư thừa''' là số sao cho tổng các [[chia hết|ước thực sự]] của số đó lớn hơn chính nó. Số 12 là số phong phú đầu tiên, các ước thực sự của nó là 1, 2, 3, 4 và 6 và tổng của chúng là 16. Phần mà tổng lớn hơn giá trị được gọi là '''độ dư'''. Ví dụ như 12 có độ dư bằng 4.

==Định nghĩa==
Số ''n'' sao cho tổng các ước [[Chia hết|''σ''(''n'')]] > 2''n'', hoặc tương đương ([[tổng ước số thực sự]]) ''s''(''n'') > ''n''.

Độ dư là giá trị của ''σ''(''n'') − ''2n'' (hoặc ''s''(''n'') − ''n'').

==Các ví dụ==

Danh sách 28 số phong phú đầu tiên:

:12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, ... {{OEIS|id=A005101}}.

Ví dụ 30 có các ước thực sự của nó là 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15. Tổng các ước này là 42 > 30 và độ dư của 30 là 42 - 30 = 12.

==Tính chất==
*Số phong phú lẻ đầu tiên là số 945.
*Số phong phú nhỏ nhất không chia hết bởi 2 hoặc 3 là số 5391411025, các [[ước số nguyên tố]] phân biệt của nó bao gồm 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, và 29 {{OEIS|id=A047802}}. Một thuật toán được đưa ra bởi Iannucci trong 2005 cho phép tìm số phong phú nhỏ nhất không chia hết bởi ''k'' [[số nguyên tố]] đầu tiên.<ref>{{citation|author=D. Iannucci|title=On the smallest abundant number not divisible by the first ''k'' primes|journal=[[Bulletin of the Belgian Mathematical Society]]|volume=12|issue=1|year=2005|pages=39–44|url=http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bbms/1113318127}}</ref> Nếu <math>A(k)</math> biểu thị số phong phú nhỏ nhất không chia hết bởi ''k'' số nguyên tố đầu tiên thì với mọi <math>\epsilon>0</math> ta có:
::<math> (1-\epsilon)(k\ln k)^{2-\epsilon}<\ln A(k)<(1+\epsilon)(k\ln k)^{2+\epsilon} </math> 
:với ''k'' đủ lớn.
*Mỗi bội của [[số hoàn hảo]] (trừ chính số đó ra) là phong phú.<ref name=Tat134>Tattersall (2005) p.134</ref>  Ví dụ như mỗi bội của 6 và lớn hơn 6 là số phong phú vì <math>1 + \tfrac{n}{2} + \tfrac{n}{3} + \tfrac{n}{6} = n + 1.</math>
*Bội của số phong phú cũng là số phong phú.<ref name=Tat134/>  Ví dụ, bội của 20 (bao gồm cả 20) phong phú là bởi <math>\tfrac{n}{2} + \tfrac{n}{4} + \tfrac{n}{5} + \tfrac{n}{10} + \tfrac{n}{20}= n + \tfrac{n}{10}.</math>
* Do đó, có vô số số phong phú [[số chẵn|chẵn]] và [[số lẻ|lẻ]].
* Số phong phú không phải là bội của một số phong phú hay số hoàn hảo (tức là các ước thực sự của nó đều là số thiếu hụt) được gọi là [[số dồi dào nguyên thủy|số phong phú nguyên thủy]].
* Số phong phú mà độ dư của nó lớn hơn bất cứ số nào nhỏ hơn được gọi là số rất phong phú, còn nếu s(n)/n  lớn hơn mọi số nhỏ hơn n thì n thay vì đó được gọi là  [[số siêu dồi dào|số siêu phong phú]].
*Mọi [[số nguyên]] lớn hơn 20161 có thể viết thành tổng của hai số phong phú.<ref>{{Cite OEIS|sequencenumber=A048242|name=Numbers that are not the sum of two abundant numbers}}</ref>
*Số phong phú không phải là [[số nửa hoàn hảo]] được gọi là [[số lạ]].<ref name=Tat144>Tatersall (2005) p.144</ref>  Số phong phú với độ dư 1 được gọi là [[số gần hoàn thiện dư]], mặc dù chưa số nào được tìm thấy.

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}
* {{chú thích sách | title=Elementary Number Theory in Nine Chapters | url=https://archive.org/details/elementarynumber0000jame | first=James J. | last=Tattersall | edition=2nd | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2005 | isbn=978-0-521-85014-8 | zbl=1071.11002 }}

== Liên kết ngoài ==
* [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=AbundantNumber The Prime Glossary: Abundant number]
* {{MathWorld |urlname=AbundantNumber |title=Abundant Number}}
* {{PlanetMath |urlname=AbundantNumber |title=Abundant number |id=7869}}

[[Thể loại:Hàm ước số]]
[[Thể loại:Chuỗi số nguyên]]