Xem mã nguồn của Tâm (nhóm)

{{Về-phân biệt|khái niệm tâm của một nhóm|Nhóm đối xứng tâm}}
Trong [[đại số trừu tượng]], '''tâm''' của một [[Nhóm (toán học)|nhóm]] {{Math|''G''}} là [[Tập hợp (toán học)|tập hợp]] các phần tử [[Tính giao hoán|giao hoán]] với mọi phần tử của {{Math|''G''}}. Nó được ký hiệu là {{Math|Z(''G'')}}, từ tiếng Đức ''[[wiktionary:Zentrum|Zentrum]],'' có nghĩa là ''trung tâm''. Ta có

: {{Math|Z(''G'') {{=}} {''z'' ∈ ''G'' ∣ ∀''g'' ∈ ''G'', ''zg'' {{=}} ''gz''}}}.

Tâm là một [[nhóm con chuẩn tắc]], {{Math|Z(''G'') ⊲ ''G''}}.

== Tính chất ==
Tâm của ''G'' luôn là một [[nhóm con]] của {{Math|''G''}}. Tức là:

# {{Math|Z(''G'')}} chứa [[phần tử đơn vị]] của {{Math|''G''}}, bởi vì phần tử đơn vị giao hoán với mọi phần tử {{Math|''g''}}, theo định nghĩa: {{Math|''eg'' {{=}} ''g'' {{=}} ''ge''}}, trong đó {{Math|''e''}} là đơn vị; 
# Nếu {{Math|''x''}} và {{Math|''y''}} thuộc {{Math|Z(''G'')}}, thì {{Math|''xy''}} cũng vậy, do tính kết hợp: {{Math|(''xy'')''g'' {{=}} ''x''(''yg'') {{=}} ''x''(''gy'') {{=}} (''xg'')''y'' {{=}} (''gx'')''y'' {{=}} ''g''(''xy'')}} với mọi {{Math|''g'' ∈ ''G''}}; tức là {{Math|Z(''G'')}} đóng dưới phép toán nhóm; 
# Nếu {{Math|''x''}} thuộc {{Math|Z(''G'')}} thì {{Math|''x''{{sup|−1}}}} cũng thế {{Math|(''gx'' {{=}} ''xg'') ⇒ (''x''{{sup|−1}}''gxx''{{sup|−1}} {{=}} ''x''{{sup|−1}}''xgx''{{sup|−1}}) ⇒ (''x''{{sup|−1}}''g'' {{=}} ''gx''{{sup|−1}})}}.

== Lớp liên hợp và nhóm tâm hóa ==
{{Xem thêm|Lớp liên hợp}}
{{Xem thêm|Nhóm tâm hóa}}

== Tính liên hợp ==
Xét ánh xạ sau, {{math|''f'': ''G'' → Aut(''G'')}}, từ {{math|''G''}} tới [[nhóm tự đẳng cấu]] của {{math|''G''}} định nghĩa bởi {{math|1=''f''(''g'') = ''ϕ''{{sub|''g''}}}}, và {{math|''ϕ''{{sub|''g''}}}} là [[Đẳng cấu nhóm#Tự đẳng cấu nhóm|tự đẳng cấu]] của {{math|''G''}} định nghĩa bởi:
:{{math|1=''f''(''g'')(''h'') = ''ϕ''{{sub|''g''}}(''h'') = ''ghg''{{sup|−1}}}}.

Hàm {{math|''f''}} là một [[đồng cấu nhóm]], và [[nhân (đại số)|nhân]] của nó là tâm của {{math|''G''}}, còn ảnh của nó được gọi là [[nhóm tự đẳng cấu trong]] của {{math|''G''}}, ký hiệu là {{math|Inn(''G'')}}. Theo [[định lý đẳng cấu đầu tiên]] ta có,
:{{math|''G''/Z(''G'') ≃ Inn(''G'')}}.

[[Cokernel]] (Đối nhân) của ánh xạ này là nhóm {{math|Out(''G'')}} chứa các [[tự đẳng cấu ngoài]], và chúng tạo thành [[chuỗi chính]]{{cần dẫn nguồn}}
:{{math|1 ⟶ Z(''G'') ⟶ ''G'' ⟶ Aut(''G'') ⟶ Out(''G'') ⟶ 1}}.

== Ví dụ==

* Tâm của [[nhóm Abel]], {{math|''G''}}, là toàn bộ nhóm {{math|''G''}}.
* Tâm của [[nhóm Heisenberg]] {{math|''H''}}, là tập các ma trận dưới dạng: <math display="block"> \begin{pmatrix}
   1 & 0 & z\\
   0 & 1 & 0\\
   0 & 0 & 1
 \end{pmatrix}</math>
* Tâm của [[nhóm đơn]] [[nhóm phi abel|phi abel]] là nhóm tầm thường (nhóm bao gồm duy nhất một phần tử là phần tử đơn vị).
* Tâm của nhóm [[nhị diện]], {{math|D{{sub|''n''}}}}, tầm thường với mọi số nguyên lẻ {{math|''n'' ≥ 3}}. Đối với các số nguyên chẵn {{math|''n'' ≥ 4}},  Tâm bao gồm phần tử đơn vị cùng với phép quay 180° của hình.
* Tâm của [[nhóm Quarternion]], {{math|1=Q{{sub|8}} = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} }}, là tập {{math|{1, −1}<nowiki/>}}.
* Tâm của [[nhóm đối xứng (lý thuyết nhóm)]], {{math|''S''{{sub|''n''}}}}, tầm thường với {{math|''n'' ≥ 3}}.
* Tâm của [[nhóm thay phiên]], {{math|''A''{{sub|''n''}}}}, tầm thường với {{math|''n'' ≥ 4}}.

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}

* {{Chú thích sách|title=A First Course in Abstract Algebra|url=https://archive.org/details/firstcourseinabs0000fral_o1w6|last=Fraleigh|first=John B.|publisher=Pearson|year=2014|isbn=978-1-292-02496-7|edition=7|author-link=}} 
* Lathsamivong Kikeo (2011), ''Tâm và nhóm con giao hoán tử của một số lớp nhóm'', Luận văn thạc sĩ toán học

{{sơ khai}}

[[Thể loại:Lý thuyết nhóm]]