Xem mã nguồn của Thuật toán

{{1000 bài cơ bản}}[[Tập tin:Euclid_flowchart.svg|phải|nhỏ|[[Lưu đồ]] thuật toán (thuật toán [[Giải thuật Euclid|Euclid]]) để tính ước số chung lớn nhất (ưcln) của hai số ''a'' và ''b'' ở các vị trí có tên A và B. Thuật toán tiến hành bằng các phép trừ liên tiếp trong hai vòng lặp: NẾU phép thử B ≥ A cho kết quả "đúng" (chính xác hơn, ''số'' ''b'' ở vị trí B lớn hơn hoặc bằng ''số'' ''a'' ở vị trí A) thì thuật toán chỉ định B ← B - A (nghĩa là số ''b'' - ''a'' thay thế ''b'' cũ). Tương tự, IF A> B, THEN A ← A - B. Quá trình kết thúc khi (nội dung của) B bằng 0, tạo ra ưcln trong A. (Thuật toán bắt nguồn từ Scott 2009: 13; các ký hiệu và kiểu vẽ từ Tausworthe 1977).]]
Trong [[toán học]] và [[khoa học máy tính]], '''thuật toán''' hay '''giải thuật''' là một [[tập hợp#Lực lượng của tập hợp - Hữu hạn và vô hạn|tập hợp hữu hạn]] các hướng dẫn [[Được xác định rõ|được xác định rõ ràng]], có thể thực hiện được bằng máy tính, thường để giải quyết một lớp vấn đề hoặc để thực hiện một phép tính.<ref>{{Chú thích web|url=https://mathvault.ca/math-glossary/#algo|tựa đề=The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Algorithm|tác giả=|tên=|ngày=ngày 1 tháng 8 năm 2019|website=Math Vault|ngôn ngữ=en-US|url lưu trữ=https://web.archive.org/web/20200228211953/https://mathvault.ca/math-glossary/#algo|ngày lưu trữ=ngày 28 tháng 2 năm 2020|ngày truy cập=ngày 14 tháng 11 năm 2019}}</ref><ref>{{Chú thích web|url=https://www.merriam-webster.com/dictionary/algorithm|tựa đề=Definition oALGORITHM|website=Merriam-Webster Online Dictionary|ngôn ngữ=en|url lưu trữ=https://web.archive.org/web/20200214074446/https://www.merriam-webster.com/dictionary/algorithm|ngày lưu trữ=ngày 14 tháng 2 năm 2020|ngày truy cập=ngày 14 tháng 11 năm 2019}}</ref> Các thuật toán luôn [[tối nghĩa|rõ ràng]] và được sử dụng chỉ rõ việc thực hiện các [[phép tính]], [[Xử lí dữ liệu|xử lý dữ liệu]], [[suy luận tự động]] và các tác vụ khác.

Là một [[phương pháp hiệu quả]], một thuật toán có thể được biểu diễn trong một khoảng không gian và thời gian hữu hạn,<ref>"Any classical mathematical algorithm, for example, can be described in a finite number of English words" (Rogers 1987:2).</ref> và bằng một [[ngôn ngữ hình thức]] được xác định rõ ràng <ref>Well defined with respect to the agent that executes the algorithm: "There is a computing agent, usually human, which can react to the instructions and carry out the computations" (Rogers 1987:2).</ref> để tính toán một [[hàm số]].<ref>"an algorithm is a procedure for computing a ''function'' (with respect to some chosen notation for integers)... this limitation (to numerical functions) results in no loss of generality", (Rogers 1987:1).</ref> Bắt đầu từ trạng thái ban đầu và đầu vào ban đầu (có thể [[Chuỗi trống|trống]]),<ref>"An algorithm has [[zero]] or more inputs, i.e., [[Quantity|quantities]] which are given to it initially before the algorithm begins" (Knuth 1973:5).</ref> các hướng dẫn mô tả một [[Tính toán|phép tính]], khi được [[Thực thi (điện toán)|thực thi]], sẽ tiến hành qua một số <ref>"A procedure which has all the characteristics of an algorithm except that it possibly lacks finiteness may be called a 'computational method{{Single double}} (Knuth 1973:5).</ref> hữu hạn các trạng thái kế tiếp được xác định rõ, cuối cùng tạo ra "đầu ra" <ref>"An algorithm has one or more outputs, i.e. quantities which have a specified relation to the inputs" (Knuth 1973:5).</ref> và chấm dứt ở trạng thái kết thúc cuối cùng. Sự chuyển đổi từ trạng thái này sang trạng thái tiếp theo không nhất thiết phải mang tính [[Lý thuyết tất định|xác định]]; một số thuật toán, được gọi là [[Các thuật toán ngẫu nhiên|thuật toán ngẫu nhiên]], kết hợp đầu vào ngẫu nhiên.<ref>Whether or not a process with random interior processes (not including the input) is an algorithm is debatable. Rogers opines that: "a computation is carried out in a discrete stepwise fashion, without the use of continuous methods or analogue devices... carried forward deterministically, without resort to random methods or devices, e.g., dice" (Rogers 1987:2).</ref>

Khái niệm thuật toán đã tồn tại từ thời cổ đại. [[Số học|Các]] thuật toán [[số học]], chẳng hạn như [[thuật toán chia]], được sử dụng bởi các [[Toán học Babylon|nhà toán học Babylon]] cổ đại vào khoảng 2500 TCN và các [[Toán học Ai Cập cổ đại|nhà toán học Ai Cập]] vào khoảng 1550 TCN.<ref name="Springer Science & Business Media">{{Chú thích sách|title=A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip|last=Chabert|first=Jean-Luc|date=2012|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9783642181924|pages=7–8}}</ref> [[Toán học Hy Lạp|Các nhà toán học Hy Lạp]] sau đó đã sử dụng các thuật toán trong [[sàng Eratosthenes]] để tìm số nguyên tố,<ref name="Hellenistic Mathematics">{{Chú thích web|url=http://www.storyofmathematics.com/hellenistic.html|tựa đề=Hellenistic Mathematics|nhà xuất bản=The Story of Mathematics|url lưu trữ=https://web.archive.org/web/20190911042247/http://www.storyofmathematics.com/hellenistic.html|ngày lưu trữ=ngày 11 tháng 9 năm 2019|ngày truy cập=ngày 14 tháng 11 năm 2019}}</ref> và [[Giải thuật Euclid|thuật toán Euclide]] để tìm [[Ước số chung lớn nhất|ước chung lớn nhất]] của hai số.<ref name="Cooke2005">{{Chú thích sách|title=The History of Mathematics: A Brief Course|url=https://archive.org/details/historyofmathema0000cook_o3g3|last=Cooke|first=Roger L.|date=2005|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-46029-0}}</ref> [[Toán học Hồi giáo Trung Cổ|Các nhà toán học Ả Rập]] như [[al-Kindi]] vào thế kỷ thứ 9 đã sử dụng [[Mật mã học|các]] thuật toán [[Mật mã học|mật mã]] để [[Phân tích mật mã|phá mã]], dựa trên [[Phân tích tần suất|phân tích tần số]].<ref name="Dooley">{{Chú thích sách|title=A Brief History of Cryptology and Cryptographic Algorithms|last=Dooley|first=John F.|date=2013|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9783319016283|pages=12–3}}</ref>

Bản thân từ ''thuật toán (algorithm)'' từ bắt nguồn từ nhà toán học thế kỷ thứ 9 [[Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī|Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī]], tên ông được Latinh hóa thành ''Algoritmi''.<ref>{{Chú thích web|url=http://www.storyofmathematics.com/islamic_alkhwarizmi.html|tựa đề=Al-Khwarizmi - Islamic Mathematics|nhà xuất bản=The Story of Mathematics|url lưu trữ=https://web.archive.org/web/20190725202237/http://www.storyofmathematics.com/islamic_alkhwarizmi.html|ngày lưu trữ=ngày 25 tháng 7 năm 2019|ngày truy cập=ngày 14 tháng 11 năm 2019}}</ref> Việc chính thức hóa một phần những gì sẽ trở thành khái niệm thuật toán hiện đại bắt đầu với nỗ lực giải ''[[Entscheidungsproblem]]'' (vấn đề quyết định) do [[David Hilbert]] đặt ra vào năm 1928. Các công thức hóa sau này được đóng khung như những nỗ lực để xác định " [[Phương pháp hiệu quả|khả năng tính toán hiệu quả]] " <ref>Kleene 1943 in Davis 1965:274</ref> hoặc "phương pháp hiệu quả".<ref>Rosser 1939 in Davis 1965:225</ref> Những công thức hóa đó bao gồm các [[Đệ quy (tin học)|hàm đệ quy]] [[Kurt Gödel|Gödel]] - [[Jacques Herbrand|Herbrand]] - [[Stephen Cole Kleene|Kleene]] của các năm 1930, 1934 và 1935, [[phép tính lambda]] của [[Nhà thờ Alonzo|Alonzo Church]] năm 1936, [[Công thức 1]] của [[Emil Post]] năm 1936 và các [[máy Turing]] của [[Alan Turing]] năm 1936–37 và 1939.

== Định nghĩa không chính thức ==
Một định nghĩa không chính thức có thể là "một tập hợp các quy tắc xác định chính xác một chuỗi hoạt động",<ref>Stone 1973:4</ref> mà sẽ bao gồm tất cả các chương trình máy tính (bao gồm cả các chương trình không thực hiện phép tính số) và (ví dụ) bất kỳ thủ tục [[Bộ máy quan liêu|hành chính]] quy định nào <ref>{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=RJV5DwAAQBAJ|title=The Death Algorithm and Other Digital Dilemmas|last=Simanowski|first=Roberto|date=2018|publisher=MIT Press|isbn=9780262536370|series=Untimely Meditations|volume=14|location=Cambridge, Massachusetts|page=147|translator-last=Chase|translator-first=Jefferson|quote=[...] the next level of abstraction of central bureaucracy: globally operating algorithms.|author-link=Roberto Simanowski|access-date =ngày 27 tháng 5 năm 2019|archive-url=https://web.archive.org/web/20191222120705/https://books.google.com/books?id=RJV5DwAAQBAJ|archive-date=ngày 22 tháng 12 năm 2019}}</ref> hoặc [[công thức nấu ăn]].<ref>{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=-wt1aZrGXLYC|title=The MIT Encyclopedia of the Cognitive Sciences|last=Dietrich|first=Eric|publisher=MIT Press|isbn=9780262731447|editor-last=Wilson|editor-first=Robert Andrew|editor-link=|series=MIT Cognet library|location=Cambridge, Massachusetts|publication-date=2001|page=11|chapter=Algorithm|quote=An algorithm is a recipe, method, or technique for doing something.|access-date =ngày 22 tháng 7 năm 2020|orig-year=1999|editor-last2=Keil|editor-first2=Frank C.}}</ref>

Nói chung, một chương trình chỉ là một thuật toán nếu cuối cùng nó dừng lại <ref>Stone simply requires that "it must terminate in a finite number of steps" (Stone 1973:7–8).</ref> - mặc dù [[Vòng lặp vô hạn|các vòng lặp vô hạn]] đôi khi có thể chấp nhận được.

Một ví dụ nguyên mẫu của một thuật toán là [[Giải thuật Euclid|thuật toán Euclid]], được sử dụng để xác định ước chung lớn nhất của hai số nguyên; một ví dụ được mô tả bằng [[lưu đồ]] ở trên và là ví dụ trong phần sau.

{{Harvard citation text|Boolos|Jeffrey|1974, 1999|ref=CITEREFBoolosJeffrey1999}} đưa ra một định nghĩa không chính thức cho thuật toán như sau:

* Không một con người nào có thể viết đủ nhanh, đủ dài, hoặc đủ nhỏ † († "nhỏ hơn và nhỏ hơn mà không có giới hạn... bạn đang cố viết trên phân tử, trên nguyên tử, trên electron") để liệt kê tất cả các thành viên của vô số thiết lập bằng cách viết ra tên của họ, cái khác, trong một số ký hiệu. Nhưng con người có thể làm điều gì đó hữu ích không kém, trong trường hợp có nhiều [[tập hợp vô hạn]] nhất định: Họ có thể đưa ra các ''chỉ dẫn rõ ràng để xác định phần tử thứ '''n''' của tập hợp'', cho ''n'' hữu hạn tùy ý. Những hướng dẫn như vậy phải được đưa ra khá rõ ràng, dưới hình thức mà ''chúng có thể được tuân theo bởi một máy tính toán'' hoặc bởi một ''con người chỉ có khả năng thực hiện các thao tác rất cơ bản trên các ký hiệu.'' <ref>Boolos and Jeffrey 1974,1999:19</ref>

[[Tập hợp có thể liệt kê đệ quy|"Tập hợp vô hạn liệt kê được"]] là [[Tập hợp có thể liệt kê đệ quy|tập hợp]] mà các phần tử của nó có thể được song ánh tương ứng 1-1 với các số nguyên. Vì vậy, Boolos và Jeffrey đang nói rằng một thuật toán ngụ ý hướng dẫn cho một quá trình "tạo" các số nguyên đầu ra từ một số nguyên "đầu vào" ''tùy ý'' hoặc các số nguyên, theo lý thuyết, có thể lớn tùy ý. Ví dụ: một thuật toán có thể là một [[phương trình đại số]] chẳng hạn như ''y = m + n'' (tức là hai "biến đầu vào" tùy ý ''m'' và ''n'' tạo ra đầu ra ''y''), nhưng các nỗ lực của các tác giả khác nhau để xác định khái niệm cho thấy rằng từ đó ngụ ý nhiều hơn thế này, một cái gì đó theo thứ tự của (cho ví dụ bổ sung):

* Các hướng dẫn chính xác (bằng ngôn ngữ mà "máy tính" hiểu được) <ref>cf Stone 1972:5</ref> để có một quy trình "tốt" <ref>Knuth 1973:7 states: "In practice we not only want algorithms, we want ''good'' algorithms... one criterion of goodness is the length of time taken to perform the algorithm... other criteria are the adaptability of the algorithm to computers, its simplicity, and elegance, etc."</ref> nhanh, hiệu quả, chỉ định các "động thái" của "máy tính" (máy hoặc con người, được trang bị bên trong thông tin và khả năng) <ref>cf Stone 1973:6</ref> để tìm, giải mã và sau đó xử lý các số nguyên / ký hiệu đầu vào tùy ý ''m'' và ''n'', ký hiệu ''+'' và ''='' … và "hiệu quả" <ref>Stone 1973:7–8 states that there must be, "...a procedure that a robot [i.e., computer] can follow in order to determine precisely how to obey the instruction". Stone adds finiteness of the process, and definiteness (having no ambiguity in the instructions) to this definition.</ref>
sản xuất ra, trong một thời gian "hợp lý",<ref>Knuth, loc. cit</ref> đầu ra-số nguyên ''y'' tại một nơi được chỉ định và với định dạng được chỉ định.

Khái niệm ''thuật toán'' cũng được sử dụng để định nghĩa khái niệm về [[Khả năng phân giải (logic)|khả năng giải mã]] — một khái niệm trung tâm để giải thích cách [[Hệ thống chính thức|các hệ thống hình thức]] ra đời bắt đầu từ một tập hợp nhỏ các [[tiên đề]] và quy tắc. Về mặt [[logic]], thời gian mà một thuật toán yêu cầu để hoàn thành không thể đo được, vì nó dường như không liên quan đến kích thước vật lý thông thường. Từ sự không chắc chắn như vậy, đặc trưng cho công việc đang diễn ra, dẫn đến việc không có định nghĩa ''thuật toán'' phù hợp với cả cách sử dụng thuật ngữ này một cách cụ thể (theo một nghĩa nào đó)

== Hình thức hóa ==
Các thuật toán rất cần thiết cho cách máy tính xử lý dữ liệu. Nhiều chương trình máy tính chứa các thuật toán trình bày chi tiết các hướng dẫn cụ thể mà máy tính phải thực hiện — theo một thứ tự cụ thể — để thực hiện một nhiệm vụ cụ thể, chẳng hạn như tính tiền lương của nhân viên hoặc in phiếu điểm của học sinh. Vì vậy, một thuật toán có thể được coi là bất kỳ chuỗi hoạt động nào có thể được mô phỏng bởi một hệ thống [[Giảm turing|hoàn chỉnh Turing]]. Các tác giả khẳng định luận điểm này bao gồm Minsky (1967), Savage (1987) và Gurevich (2000):

* Minsky: "Nhưng chúng tôi cũng sẽ duy trì, với Turing... rằng bất kỳ thủ tục nào có thể" tự nhiên "được gọi là hiệu quả, trên thực tế, có thể được thực hiện bởi một chiếc máy (đơn giản). Mặc dù điều này có vẻ cực đoan, nhưng những lập luận… ủng hộ nó thì khó có thể bác bỏ ”.<ref name="Minsky 1967:105">{{Harvard citation no brackets|Minsky|1967}}</ref>
* Gurevich: “… Lập luận không chính thức của Turing ủng hộ luận điểm của ông ấy biện minh cho luận điểm mạnh mẽ hơn: mọi thuật toán đều có thể được mô phỏng bởi máy Turing… theo Savage [1987], thuật toán là một quá trình tính toán được xác định bởi máy Turing".<ref>Gurevich 2000:1, 3</ref>

Máy Turing có thể xác định các quy trình tính toán không kết thúc. Các định nghĩa không chính thức của thuật toán thường yêu cầu thuật toán luôn kết thúc. Yêu cầu này làm cho nhiệm vụ quyết định xem một thủ tục chính thức có phải là một thuật toán không trong trường hợp chung - do một định lý chính của [[lý thuyết tính toán]] được gọi là [[bài toán dừng]].

Thông thường, khi một thuật toán được liên kết với xử lý thông tin, dữ liệu có thể được đọc từ nguồn đầu vào, được ghi vào thiết bị đầu ra và được lưu trữ để xử lý thêm. Dữ liệu được lưu trữ được coi là một phần của trạng thái bên trong của thực thể thực hiện thuật toán. Trong thực tế, trạng thái được lưu trữ trong một hoặc nhiều [[cấu trúc dữ liệu]].

Đối với một số quá trình tính toán này, thuật toán phải được xác định chặt chẽ: được chỉ định theo cách nó áp dụng trong mọi trường hợp có thể phát sinh. Điều này có nghĩa là mọi bước có điều kiện phải được xử lý một cách có hệ thống, theo từng trường hợp cụ thể; các tiêu chí cho từng trường hợp phải rõ ràng (và có thể tính toán được).

Bởi vì một thuật toán là một danh sách chính xác của các bước chính xác, thứ tự tính toán luôn quan trọng đối với hoạt động của thuật toán. Các hướng dẫn thường được giả định là được liệt kê rõ ràng và được mô tả là bắt đầu "từ trên cùng" và đi "xuống dưới cùng" —một ý tưởng được mô tả chính thức hơn bằng ''[[Luồng điều khiển|luồng kiểm soát]]''.

Cho đến nay, cuộc thảo luận về việc chính thức hóa một thuật toán đã giả định các tiền đề của [[lập trình mệnh lệnh]]. Đây là quan niệm phổ biến nhất - một quan niệm cố gắng mô tả một nhiệm vụ bằng các phương tiện "máy móc", rời rạc. Duy nhất cho quan niệm về các thuật toán chính thức hóa này là phép toán [[Gán (khoa học máy tính)|gán]], đặt giá trị của một biến. Nó bắt nguồn từ trực giác của " [[Trí nhớ|bộ nhớ]] " như một bàn di chuột. Dưới đây là một ví dụ về sự phân công như vậy.

Đối với một số quan niệm thay thế về những gì tạo thành một thuật toán, hãy xem [[lập trình hàm]] và [[lập trình logic]].

=== Diễn đạt thuật toán ===
Các thuật toán có thể được thể hiện bằng nhiều loại ký hiệu, bao gồm [[ngôn ngữ tự nhiên]], [[mã giả]], lưu [[Lưu đồ|đồ]], [[DRAKON|biểu đồ drakon]], [[ngôn ngữ lập trình]] hoặc [[bảng điều khiển]] (được xử lý bởi trình [[Trình thông dịch|thông dịch]]). Các biểu thức ngôn ngữ tự nhiên của các thuật toán có xu hướng dài dòng và mơ hồ, và hiếm khi được sử dụng cho các thuật toán phức tạp hoặc kỹ thuật. Mã giả, lưu đồ, [[DRAKON|biểu đồ drakon]] và bảng điều khiển là những cách có cấu trúc để thể hiện các thuật toán tránh nhiều sự mơ hồ thường gặp trong các câu lệnh dựa trên ngôn ngữ tự nhiên. Các ngôn ngữ lập trình chủ yếu nhằm mục đích thể hiện các thuật toán dưới dạng có thể được thực thi bởi máy tính, nhưng cũng thường được sử dụng như một cách để định nghĩa hoặc tài liệu hóa các thuật toán.

Có thể có nhiều cách biểu diễn khác nhau và người ta có thể thể hiện một chương trình [[máy Turing]] nhất định dưới dạng một chuỗi các bảng máy (xem [[máy trạng thái hữu hạn]], [[Bảng chuyển trạng thái|bảng chuyển đổi trạng thái]] và [[bảng điều khiển]] để biết thêm), dưới dạng lưu đồ và [[DRAKON|biểu đồ drakon]] (xem [[biểu đồ trạng thái]] để biết thêm), hoặc như một dạng [[Ngôn ngữ máy|mã máy]] thô sơ hoặc [[Hợp ngữ|mã lắp ráp]] được gọi là "bộ tứ" (xem [[máy Turing]] để biết thêm).

Các đại diện của thuật toán có thể được phân loại thành ba cấp độ được chấp nhận của mô tả máy Turing, như sau:<ref>Sipser 2006:157</ref>

; 1. Mô tả cấp cao
: “… Văn xuôi để mô tả một thuật toán, bỏ qua các chi tiết triển khai. Ở cấp độ này, chúng tôi không cần phải đề cập đến cách máy quản lý băng hoặc đầu từ của nó."
; 2. Mô tả triển khai
: “… Văn xuôi được sử dụng để xác định cách máy Turing sử dụng đầu vào của nó và cách nó lưu trữ dữ liệu trên băng của nó. Ở cấp độ này, chúng tôi không đưa ra thông tin chi tiết về các trạng thái hoặc chức năng chuyển tiếp. "
; 3. Mô tả chính thức
: Chi tiết nhất, "mức thấp nhất", đưa ra "bảng trạng thái" của máy Turing.

== Thiết kế ==
Thiết kế thuật toán đề cập đến một phương pháp hoặc một quy trình toán học để giải quyết vấn đề và các thuật toán kỹ thuật. Việc thiết kế các thuật toán là một phần của nhiều lý thuyết giải pháp [[Vận trù học|nghiên cứu hoạt động]], chẳng hạn như [[Quy hoạch động|lập trình động]] và [[Thuật toán chia để trị|chia để trị]]. Các kỹ thuật thiết kế và triển khai các thiết kế thuật toán còn được gọi là các mẫu thiết kế thuật toán,<ref>{{Chú thích|title=Algorithm Design: Foundations, Analysis, and Internet Examples|isbn=978-0-471-38365-9}}</ref> với các ví dụ bao gồm mẫu phương pháp mẫu và mẫu trang trí.

Một trong những khía cạnh quan trọng nhất của thiết kế thuật toán nằm ở việc tạo ra thuật toán có thời gian chạy hiệu quả, còn được gọi là [[Kí hiệu O lớn|Big O]] của nó.

Các bước điển hình trong quá trình phát triển thuật toán:

# Định nghĩa vấn đề
# Phát triển một mô hình
# Đặc điểm kỹ thuật của thuật toán
# Thiết kế một thuật toán
# Kiểm tra [[Tính đúng đắn (khoa học máy tính)|tính đúng đắn]] của thuật toán
# Phân tích thuật toán
# Thực hiện thuật toán
# Chương trình thử nghiệm
# Viết tài liệu

== Thực hiện ==
[[Tập tin:TTL_npn_nand.svg|phải|nhỏ|Thuật toán NAND logic được triển khai điện tử trong chip [[Vi mạch họ 7400|7400]]]]Hầu hết các thuật toán được thiết kế để thực hiện như [[Chương trình máy tính|các chương trình máy tính]]. Tuy nhiên, các thuật toán cũng được thực hiện bằng các phương tiện khác, chẳng hạn như trong [[Mạch nơ-ron|mạng nơ-ron sinh học]] (ví dụ, [[não người]] thực hiện [[Số học|phép tính số học]] hoặc côn trùng đang tìm kiếm thức ăn), trong [[mạch điện]] hoặc trong một thiết bị cơ khí.
== Thuật toán máy tính ==
[[Tập tin:Euclid's_algorithm_structured_blocks_1.png|phải|nhỏ|319x319px|Các ví dụ về lưu đồ về [[Định lý chương trình có cấu trúc|cấu trúc Böhm-Jacopini chính tắc]]: SEQUENCE (hình chữ nhật xuống trang), WHILE-DO và IF-THEN-ELSE. Ba cấu trúc được tạo bởi GOTO có điều kiện nguyên thủy ({{code|IF ''test''=true THEN GOTO step xxx}}) (hình thoi), GOTO không điều kiện (hình chữ nhật), các toán tử gán khác nhau (hình chữ nhật) và HALT (hình chữ nhật). Việc lồng các cấu trúc này vào bên trong các khối gán dẫn đến các sơ đồ phức tạp (xem Tausworthe 1977: 100, 114).]]
Trong [[Máy tính|các hệ thống máy tính]], thuật toán về cơ bản là một ví dụ của [[logic]] được viết trong phần mềm bởi các nhà phát triển phần mềm, để có hiệu quả đối với (các) máy tính "đích" nhằm tạo ''ra đầu ra'' từ ''đầu vào'' (có thể là rỗng) nhất định. Một thuật toán tối ưu, thậm chí chạy trong phần cứng cũ, sẽ tạo ra kết quả nhanh hơn thuật toán không tối ưu ([[Thời gian phức tạp|độ phức tạp thời gian]] cao hơn) cho cùng mục đích, chạy trong phần cứng hiệu quả hơn; đó là lý do tại sao các thuật toán, như phần cứng máy tính, được coi là công nghệ.

''Chương trình "thanh lịch" (nhỏ gọn), chương trình "tốt" (nhanh)'': Khái niệm "đơn giản và thanh lịch" xuất hiện không chính thức ở [[Donald Knuth|Knuth]] và chính xác là ở [[Gregory Chaitin|Chaitin]]:

* Knuth: "… chúng tôi muốn ''có các'' thuật toán ''tốt'' theo một khía cạnh thẩm mỹ được xác định lỏng lẻo. Một tiêu chí… là khoảng thời gian thực hiện thuật toán…. Các tiêu chí khác là khả năng thích ứng của thuật toán với máy tính, tính đơn giản và sang trọng của nó, v.v. " <ref>Knuth 1973:7</ref>
* Chaitin: "… một chương trình là 'thanh lịch', theo ý tôi thì đó là chương trình nhỏ nhất có thể để tạo ra kết quả đầu ra mà nó thực hiện" <ref>Chaitin 2005:32</ref>

Chaitin mở đầu cho định nghĩa của mình bằng: "Tôi sẽ cho bạn thấy rằng bạn không thể chứng minh rằng một chương trình là 'thanh lịch {{Single double}} —chẳng hạn như một bằng chứng sẽ giải quyết được [[Bài toán dừng|bài toán tạm dừng]] (ibid).

''Thuật toán so với hàm có thể tính toán bằng một thuật toán'': Đối với một hàm đã cho, nhiều thuật toán có thể tồn tại. Điều này đúng, ngay cả khi không mở rộng tập lệnh có sẵn cho lập trình viên. Rogers nhận xét rằng “Điều quan trọng là phải phân biệt giữa khái niệm ''thuật toán'', tức là thủ tục và khái niệm ''hàm có thể tính toán bằng thuật toán'', tức là ánh xạ được tạo ra bởi thủ tục. Cùng một chức năng có thể có một số thuật toán khác nhau ".<ref>Rogers 1987:1–2</ref>

Thật không may, có thể có sự cân bằng giữa tính tốt (tốc độ) và tính thanh lịch (tính nhỏ gọn) —một chương trình thanh lịch có thể cần nhiều bước để hoàn thành một phép tính hơn một chương trình kém thanh lịch hơn. Ví dụ sử dụng thuật toán Euclid xuất hiện bên dưới.

''Máy tính, các mô hình tính toán'': Máy tính (hay "máy tính" của con người <ref>In his essay "Calculations by Man and Machine: Conceptual Analysis" Seig 2002:390 credits this distinction to Robin Gandy, cf Wilfred Seig, et al., 2002 ''Reflections on the foundations of mathematics: Essays in honor of Solomon Feferman'', Association for Symbolic Logic, A.K. Peters Ltd, Natick, MA.</ref>) là một loại máy bị hạn chế, một "thiết bị cơ khí xác định rời rạc" <ref>cf Gandy 1980:126, Robin Gandy ''Church's Thesis and Principles for Mechanisms'' appearing on pp. 123–148 in [[Jon Barwise|J. Barwise]] et al. 1980 ''The Kleene Symposium'', North-Holland Publishing Company.</ref> làm theo hướng dẫn của nó một cách mù quáng.<ref>A "robot": "A computer is a robot that performs any task that can be described as a sequence of instructions." cf Stone 1972:3</ref> Các mô hình sơ khai của Melzak và Lambek <ref>Lambek's "abacus" is a "countably infinite number of locations (holes, wires etc.) together with an unlimited supply of counters (pebbles, beads, etc). The locations are distinguishable, the counters are not". The holes have unlimited capacity, and standing by is an agent who understands and is able to carry out the list of instructions" (Lambek 1961:295). Lambek references Melzak who defines his Q-machine as "an indefinitely large number of locations... an indefinitely large supply of counters distributed among these locations, a program, and an operator whose sole purpose is to carry out the program" (Melzak 1961:283). B-B-J (loc. cit.) add the stipulation that the holes are "capable of holding any number of stones" (p. 46). Both Melzak and Lambek appear in ''The Canadian Mathematical Bulletin'', vol. 4, no. 3, September 1961.</ref> giảm khái niệm này thành bốn yếu tố: (i) các ''vị trí'' rời rạc, dễ phân biệt, (ii) ''các bộ đếm'' rời rạc, không thể phân biệt được <ref>If no confusion results, the word "counters" can be dropped, and a location can be said to contain a single "number".</ref> (iii) một tác nhân, và (iv) một danh sách các hướng dẫn có ''hiệu quả'' so với khả năng của tác nhân.<ref>"We say that an instruction is ''effective'' if there is a procedure that the robot can follow in order to determine precisely how to obey the instruction." (Stone 1972:6)</ref>

Minsky mô tả một biến thể phù hợp hơn của mô hình "bàn tính" của Lambek trong "Các cơ sở rất đơn giản để [[tính toán]] " của ông.<ref>cf Minsky 1967: Chapter 11 "Computer models" and Chapter 14 "Very Simple Bases for Computability" pp. 255–281 in particular</ref> [[Máy minsky|Máy của Minsky]] tiến hành tuần tự thông qua năm (hoặc sáu, tùy thuộc vào cách đếm) lệnh, trừ khi IF – THEN GOTO có điều kiện hoặc GOTO không điều kiện thay đổi luồng chương trình không theo trình tự. Bên cạnh HALT, máy của Minsky bao gồm ba hoạt động ''gán'' (thay thế, thay thế):<ref>cf Knuth 1973:3.</ref> ZERO (ví dụ: nội dung của vị trí được thay thế bằng 0: L ← 0), SUCCESSOR (ví dụ: L ← L + 1) và DECREMENT (ví dụ: L ← L - 1).<ref>But always preceded by IF–THEN to avoid improper subtraction.</ref> Hiếm khi một lập trình viên phải viết "mã" với một tập lệnh giới hạn như vậy. Nhưng Minsky cho thấy (Melzak và Lambek cũng vậy) rằng cỗ máy của anh ấy là [[Turing hoàn thành|Turing hoàn chỉnh]] với chỉ bốn ''loại'' lệnh chung: GOTO có điều kiện, GOTO vô điều kiện, gán / thay thế / thay thế và HALT. Tuy nhiên, một số hướng dẫn gán khác nhau (ví dụ: DECREMENT, INCREMENT và ZERO / CLEAR / EMPTY cho máy Minsky) cũng được yêu cầu đối với tính năng Turing-completeness; đặc điểm kỹ thuật chính xác của chúng phần nào tùy thuộc vào nhà thiết kế. GOTO vô điều kiện là một sự tiện lợi; nó có thể được xây dựng bằng cách khởi tạo một vị trí chuyên dụng bằng 0, ví dụ như lệnh "Z ← 0"; sau đó lệnh IF Z = 0 THEN GOTO xxx là vô điều kiện.

''Mô phỏng thuật toán: ngôn ngữ máy tính (computor)'': Knuth khuyên người đọc rằng "cách tốt nhất để học một thuật toán là thử nó.. Lấy ngay giấy bút và làm việc với một ví dụ".<ref>Knuth 1973:4</ref> Nhưng những gì về một mô phỏng hoặc thực hiện các điều thực tế? Lập trình viên phải dịch thuật toán sang ngôn ngữ mà trình mô phỏng / máy tính / trình biên dịch có thể thực thi ''một cách hiệu quả''. Stone đưa ra một ví dụ về điều này: khi tính toán căn bậc hai, người tính toán phải biết cách lấy căn bậc hai. Nếu không, thì thuật toán, để có hiệu quả, phải cung cấp một bộ quy tắc để trích xuất căn bậc hai.<ref>Stone 1972:5. Methods for extracting roots are not trivial: see [[Methods of computing square roots]].</ref>

Điều này có nghĩa là lập trình viên phải biết một "ngôn ngữ" có hiệu quả so với tác nhân tính toán mục tiêu (máy tính). Nhưng mô hình nào nên được sử dụng cho mô phỏng? Van Emde Boas nhận xét "ngay cả khi chúng ta đặt [[Lý thuyết độ phức tạp tính toán|lý thuyết phức tạp]] dựa trên [[Lý thuyết độ phức tạp tính toán|lý thuyết]] trừu tượng thay vì máy móc cụ thể, sự tùy tiện trong việc lựa chọn mô hình vẫn còn. Chính tại thời điểm này, khái niệm ''mô phỏng'' đi vào ".<ref>{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/?id=-X39_rA3VSQC|title=Handbook of Theoretical Computer Science: Algorithms and complexity. Volume A|last=Leeuwen|first=Jan|publisher=Elsevier|year=1990|isbn=978-0-444-88071-0|page=85}}</ref> Khi tốc độ đang được đo, tập lệnh quan trọng. Ví dụ, chương trình con trong thuật toán Euclid để tính phần còn lại sẽ thực thi nhanh hơn nhiều nếu lập trình viên có sẵn lệnh " [[Số học mô đun|modulus]] " thay vì chỉ phép trừ (hoặc tệ hơn: chỉ "giảm dần" của Minsky).

''Lập trình có cấu trúc, cấu trúc chuẩn'': Theo luận điểm của [[Luận điểm của Church – Turing|Church – Turing]], bất kỳ thuật toán nào cũng có thể được tính toán bằng một mô hình được gọi là [[Turing hoàn thành|Turing hoàn chỉnh]] và theo các minh chứng của Minsky, tính đầy đủ của Turing chỉ yêu cầu bốn loại lệnh — GOTO có điều kiện, GOTO không điều kiện, phép gán, HALT. Kemeny và Kurtz nhận thấy rằng, trong khi việc sử dụng "vô kỷ luật" GOTO vô điều kiện và IF-THEN GOTO có điều kiện có thể dẫn đến " [[mã spaghetti]] ", một lập trình viên có thể viết các chương trình có cấu trúc chỉ bằng các hướng dẫn này; mặt khác "cũng có thể, và không quá khó, để viết các chương trình có cấu trúc tồi bằng một ngôn ngữ có cấu trúc".<ref>[[John G. Kemeny]] và [[Thomas E. Kurtz]] 1985 ''Back to Basic: The History, Corruption, and Future of the Language'', Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Reading, MA, {{ISBN|0-201-13433-0}}.</ref> Tausworthe tăng cường ba [[Định lý chương trình có cấu trúc|cấu trúc kinh điển Böhm-Jacopini]]:<ref>Tausworthe 1977:101</ref> SEQUENCE, IF-THEN-ELSE và WHILE-DO, với hai [[Định lý chương trình có cấu trúc|cấu trúc]] khác: DO-WHILE và CASE.<ref>Tausworthe 1977:142</ref> Một lợi ích bổ sung của chương trình có cấu trúc là nó tự cho mình các [[bằng chứng về tính đúng đắn]] bằng cách sử dụng [[quy nạp toán học]].<ref>Knuth 1973 section 1.2.1, expanded by Tausworthe 1977 at pages 100ff and Chapter 9.1</ref>

''Các ký hiệu lưu đồ hợp quy'': Phụ tá đồ họa được gọi là [[lưu đồ]], đưa ra cách mô tả và ghi lại một thuật toán (và một chương trình máy tính của một thuật toán). Giống như quy trình chương trình của máy Minsky, lưu đồ luôn bắt đầu ở đầu trang và tiếp tục xuống. Các ký hiệu chính của nó chỉ có bốn: mũi tên có hướng hiển thị luồng chương trình, hình chữ nhật (SEQUENCE, GOTO), hình thoi (IF-THEN-ELSE) và dấu chấm (OR-tie). Các cấu trúc kinh điển Böhm – Jacopini được tạo ra từ những hình dạng nguyên thủy này. Cấu trúc con có thể "lồng" trong hình chữ nhật, nhưng chỉ khi một lối ra duy nhất xảy ra từ cấu trúc thượng tầng. Các ký hiệu và cách sử dụng chúng để xây dựng các cấu trúc chính tắc được thể hiện trong sơ đồ.

== Ví dụ ==

=== Ví dụ thuật toán ===
Một trong những thuật toán đơn giản nhất là tìm số lớn nhất trong danh sách các số có thứ tự ngẫu nhiên. Tìm lời giải yêu cầu nhìn vào mọi số trong danh sách. Từ đó dẫn đến một thuật toán đơn giản, có thể được nêu trong phần mô tả cấp cao bằng văn xuôi tiếng Anh, như:

''Mô tả cấp cao:''

# Nếu không có số nào trong tập hợp thì không có số cao nhất.
# Giả sử số đầu tiên trong tập hợp là số lớn nhất trong tập hợp.
# Với mỗi số còn lại trong tập hợp: nếu số này lớn hơn số lớn nhất hiện tại thì coi số này là số lớn nhất trong tập hợp.
# Khi không còn số nào trong tập hợp để lặp lại, hãy coi số lớn nhất hiện tại là số lớn nhất của tập hợp.

''Bán mô tả chính thức:'' Được viết bằng văn xuôi nhưng gần với ngôn ngữ cấp cao của chương trình máy tính hơn nhiều, sau đây là cách mã hóa chính thức hơn của thuật toán bằng [[mã giả]] hoặc [[mã pidgin]]:

Input: A list of numbers ''L''.
Output: The largest number in the list ''L''.

  '''if''' ''L.size'' = 0 '''return''' null
  ''largest'' ← ''L''[0]
  '''for each''' ''item'' '''in''' ''L'', '''do'''
 '''if''' ''item'' > ''largest'', '''then'''
  ''largest'' ← ''item''
  '''return''' ''largest''

=== Thuật toán Euclid ===
[[Tập tin:Euclid's_algorithm_Book_VII_Proposition_2_2.png|trái|nhỏ|263x263px|Sơ đồ ví dụ về thuật toán Euclid từ TL Heath (1908), có thêm chi tiết. Euclid không vượt quá phép đo thứ ba và không đưa ra ví dụ số. Nic gastus đưa ra ví dụ về 49 và 21: "Tôi lấy số ít hơn trừ đi số lớn hơn; 28 là còn lại; sau đó một lần nữa tôi trừ cho điều này cùng 21 (vì điều này là có thể); còn lại là 7; tôi trừ đi 21, 14 được left; từ đó tôi lại trừ đi 7 (vì điều này là có thể); còn lại là 7, nhưng không thể trừ 7 từ 7. " Heath bình luận rằng "Cụm từ cuối cùng gây tò mò, nhưng ý nghĩa của nó là đủ rõ ràng, cũng như ý nghĩa của cụm từ về kết thúc 'tại một và cùng một số'." (Heath 1908: 300).]]
Thuật toán của [[Euclid]] để tính [[ước số chung lớn nhất]] (ƯCLN) cho hai số xuất hiện dưới dạng Mệnh đề II trong Quyển VII ("Lý thuyết số cơ bản") của tác phẩm ''[[Cơ sở (Euclid)|Cơ sở]]'' của ông.<ref>Heath 1908:300; Hawking's Dover 2005 edition derives from Heath.</ref> Do đó, Euclid đặt ra vấn đề: "Cho hai số không nguyên tố với nhau, hãy tìm số đo chung lớn nhất của chúng". Ông định nghĩa "Một số [là] một vô số bao gồm các đơn vị": một số đếm, một số nguyên dương không bao gồm số không. Để "đo" là đặt một [[chiều dài]] ngắn ''s'' liên tiếp (q lần'')'' lên trên chiều dài ''l'' cho đến khi phần còn lại là ''r'' nhỏ hơn chiều dài ngắn ''s.'' <ref>" 'Let CD, measuring BF, leave FA less than itself.' This is a neat abbreviation for saying, measure along BA successive lengths equal to CD until a point F is reached such that the length FA remaining is less than CD; in other words, let BF be the largest exact multiple of CD contained in BA" (Heath 1908:297)</ref> Nói cách hiện đại, phần dư ''r'' = ''l'' - ''q'' × ''s'', ''q'' là thương số, hoặc phần dư ''r'' là "môđun", phần nguyên còn lại sau phép chia.<ref>For modern treatments using division in the algorithm, see Hardy and Wright 1979:180, Knuth 1973:2 (Volume 1), plus more discussion of Euclid's algorithm in Knuth 1969:293–297 (Volume 2).</ref>

Để phương pháp Euclid thành công, độ dài bắt đầu phải thỏa mãn hai yêu cầu: (i) độ dài không được bằng 0, VÀ (ii) phép trừ phải “hợp lệ”; tức là, một phép thử phải đảm bảo rằng số nhỏ hơn trong hai số bị trừ đi số lớn hơn (hoặc hai số có thể bằng nhau để phép trừ của chúng cho kết quả bằng không).

Chứng minh ban đầu của Euclid bổ sung thêm một yêu cầu thứ ba: hai độ dài không được nguyên tố với nhau. Euclid đã quy định điều này để ông có thể xây dựng một bằng chứng rút [[Phép phản chứng|gọn]] là vô lý rằng số đo chung của hai số trên thực tế là ''lớn nhất''.<ref>Euclid covers this question in his Proposition 1.</ref> Trong khi thuật toán của Nicomachus cũng giống như thuật toán của Euclid, khi các số nguyên tố với nhau, nó mang lại số "1" cho số đo chung của chúng. Vì vậy, chính xác mà nói, sau đây thực sự là thuật toán của Nicomachus.
[[Tập tin:Euclids-algorithm-example-1599-650.gif|phải|nhỏ|350x350px|Biểu thức đồ họa của thuật toán Euclid để tìm ước số chung lớn nhất cho 1599 và 650.<syntaxhighlight lang="text" highlight="1,5">
 1599 = 650×2 + 299
 650 = 299×2 + 52
 299 = 52×5 + 39
 52 = 39×1 + 13
 39 = 13×3 + 0</syntaxhighlight>]]

=== Ngôn ngữ máy tính cho thuật toán Euclid ===
Chỉ một số ''loại'' lệnh được yêu cầu để thực thi thuật toán Euclid — một số phép thử logic (GOTO có điều kiện), GOTO không điều kiện, phép gán (thay thế) và phép trừ.

* ''Vị trí'' được ký hiệu bằng (các) chữ cái viết hoa, ví dụ: S, A, v.v.
* Số lượng (số) khác nhau ở một vị trí được viết bằng (các) chữ cái thường và (thường) được kết hợp với tên của vị trí. Ví dụ, vị trí L ở đầu có thể chứa số ''l'' = 3009.

=== Một chương trình đơn giản cho thuật toán Euclid ===
[[Tập tin:Euclid's_algorithm_Inelegant_program_1.png|phải|nhỏ|349x349px|"Inelegant" là bản dịch của phiên bản thuật toán của Knuth với vòng lặp phần dư dựa trên phép trừ thay thế việc sử dụng phép chia (hoặc lệnh "modulus"). Bắt nguồn từ Knuth 1973: 2–4. Tùy thuộc vào hai số "Không phù hợp" có thể tính toán gcd trong ít bước hơn "Thanh lịch".]]
Thuật toán sau đây được đóng khung như là phiên bản bốn bước của Knuth của Euclid's và Nicomachus, nhưng thay vì sử dụng phép chia để tìm phần dư, nó sử dụng các phép trừ liên tiếp của độ dài ''s'' từ độ dài còn lại ''r'' cho đến khi ''r'' nhỏ hơn ''s''. Mô tả cấp cao, được in đậm, được phỏng theo Knuth 1973: 2–4:

'''ĐẦU VÀO''':

{{Visible anchor|1|el1}} [Into two locations L and S put the numbers ''l'' and ''s'' that represent the two lengths]: INPUT L, S

{{Visible anchor|2|el2}} [Initialize R: make the remaining length ''r'' equal to the starting/initial/input length ''l'']: R ← L

'''E0: [Đảm bảo ''r'' ≥ ''s''.''' ''']'''

{{vanchor|3|el3}} [Ensure the smaller of the two numbers is in S and the larger in R]: IF R > S THEN  the contents of L is the larger number so skip over the exchange-steps 4, 5 and 6:  GOTO step 6 ELSE  swap the contents of R and S.

{{vanchor|4|el4}}  L ← R (this first step is redundant, but is useful for later discussion).

{{vanchor|5|el5}}  R ← S

{{vanchor|6|el6}}  S ← L

'''E1: [Tìm phần dư]''': Cho đến khi độ dài còn lại ''r'' trong R nhỏ hơn độ dài ngắn hơn ''s'' trong S, lặp đi lặp lại phép trừ số đo ''s'' trong S với độ dài còn lại ''r'' trong R.

{{vanchor|7|el7}} IF S > R THEN  done measuring so  GOTO 10 ELSE  measure again,

{{vanchor|8|el8}}  R ← R − S

{{vanchor|9|el9}}  [Remainder-loop]:  GOTO 7.

'''E2: [Phần dư có bằng 0?''' ''']''': HOẶC (i) số đo cuối cùng là chính xác, phần còn lại trong R bằng 0 và chương trình có thể tạm dừng, HOẶC (ii) thuật toán phải tiếp tục: số đo cuối cùng để lại phần dư trong R nhỏ hơn số đo trong S.

{{vanchor|10|el10}} IF R = 0 THEN done so GOTO step 15  ELSE CONTINUE TO step 11,

'''E3: [Đảo vị trí ''s'' và ''r'' ]''': Điểm mấu chốt của thuật toán Euclid. Sử dụng phần dư ''r'' để đo số trước đó nhỏ hơn ''s''; L phục vụ như một kho lưu trữ tạm thời.

{{vanchor|11|el11}} L ← R

{{vanchor|12|el12}} R ← S

{{vanchor|13|el13}} S ← L

{{vanchor|14|el14}} [Repeat the measuring process]:  GOTO 7

'''ĐẦU RA''':

{{vanchor|15|el15}} [Done. S contains the greatest common divisor]:  PRINT S

'''XONG''':

{{vanchor|16|el16}} HALT, END, STOP.

=== Một chương trình đơn giản cho thuật toán Euclid ===
Phiên bản sau của thuật toán Euclid chỉ yêu cầu sáu lệnh cốt lõi để thực hiện mười ba lệnh được yêu cầu bởi "chương trình chưa thanh lịch"; tệ hơn nữa là "chương trình chưa thanh lịch" yêu cầu nhiều loại hướng dẫn hơn. [làm rõ] Bạn có thể tìm thấy sơ đồ của "Thanh lịch" ở đầu bài viết này. Trong ngôn ngữ [[BASIC]] (không có cấu trúc), các bước được đánh số, và lệnh LET [] = [] là lệnh gán được ký hiệu bằng ←.<syntaxhighlight lang="cbmbas">
 5 REM Euclid's algorithm for greatest common divisor
 6 PRINT "Type two integers greater than 0"
 10 INPUT A,B
 20 IF B=0 THEN GOTO 80
 30 IF A > B THEN GOTO 60
 40 LET B=B-A
 50 GOTO 20
 60 LET A=A-B
 70 GOTO 20
 80 PRINT A
 90 END
</syntaxhighlight>''Cách "chương trình thanh lịch" hoạt động'': Thay cho "vòng lặp Euclid" bên ngoài, "Elegant" di chuyển qua lại giữa hai "co-vòng lặp", một vòng lặp A> B tính A ← A - B và một vòng lặp B ≤ A tính toán B ← B - A. Điều này hoạt động bởi vì, khi cuối cùng giá trị nhỏ nhất M nhỏ hơn hoặc bằng dải con S (Chênh lệch = Minuend - Subtrahend), minuend có thể trở thành ''s'' (chiều dài đo mới) và subtrahend có thể trở thành ''r'' mới (độ dài được đo); nói cách khác, "ý nghĩa" của phép trừ đảo ngược.

Phiên bản sau có thể được sử dụng với [[Lập trình hướng đối tượng|các ngôn ngữ hướng đối tượng]]:<syntaxhighlight lang="java">
// Euclid's algorithm for greatest common divisor
int euclidAlgorithm (int A, int B){
 A=Math.abs(A);
 B=Math.abs(B);
 while (B!=0){
   if (A>B) A=A-B;
   else B=B-A;
 }
 return A;
}
</syntaxhighlight>

=== Kiểm tra các thuật toán Euclid ===
Một thuật toán có làm được những gì mà tác giả của nó muốn nó làm không? Một số trường hợp thử nghiệm thường cung cấp một số tin cậy về chức năng cốt lõi. Nhưng các thử nghiệm là không đủ. Đối với các trường hợp thử nghiệm, một nguồn <ref>{{Chú thích web|url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVII/propVII2.html|tựa đề=Euclid's Elements, Book VII, Proposition 2|ngày=|nhà xuất bản=Aleph0.clarku.edu|url lưu trữ=https://web.archive.org/web/20120524074919/http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVII/propVII2.html|ngày lưu trữ=ngày 24 tháng 5 năm 2012|ngày truy cập=ngày 20 tháng 5 năm 2012}}</ref> sử dụng 3009 và 884. Knuth đề xuất 40902, 24140. Một trường hợp thú vị khác là hai số [[Số nguyên tố cùng nhau|nguyên tố cùng nhau]] 14157 và 5950.

Nhưng "trường hợp ngoại lệ" <ref>While this notion is in widespread use, it cannot be defined precisely.</ref> phải được xác định và thử nghiệm. Liệu "Inelegant" có thực hiện đúng khi R> S, S> R, R = S không? Cũng vậy cho chương trình "Thanh lịch": B> A, A> B, A = B? (Có cho tất cả). Điều gì xảy ra khi một số bằng 0, cả hai số đều bằng không? ("Chưa thanh lịch" rơi vào vòng lặp vĩnh viễn trong các trường hợp trên; "Thanh lịch" rơi vào vòng lặp vĩnh viễn khi A = 0.) Điều gì xảy ra nếu người dùng nhập số ''âm'' ? Số phân số? Nếu các số đầu vào, tức là [[Tập xác định|miền của hàm được]] tính toán bởi thuật toán / chương trình, chỉ bao gồm các số nguyên dương bao gồm cả số 0, thì các lỗi ở số 0 chỉ ra rằng thuật toán (và chương trình [[Thực thể (khoa học máy tính)|khởi tạo]] nó) là một [[Hàm bộ phận|hàm riêng phần]] chứ không phải một hàm tổng. Một thất bại đáng chú ý do các ngoại lệ kiểu như vậy là sự cố tên lửa [[Ariane 5 Chuyến bay 501|Ariane 5 Flight 501]] (ngày 4 tháng 6 năm 1996).

''Chứng minh tính đúng đắn của chương trình bằng cách sử dụng quy nạp toán học'': Knuth chứng minh việc áp dụng [[quy nạp toán học]] cho phiên bản "mở rộng" của thuật toán Euclid và ông đề xuất "một phương pháp chung áp dụng để chứng minh tính hợp lệ của bất kỳ thuật toán nào".<ref>Knuth 1973:13–18. He credits "the formulation of algorithm-proving in terms of assertions and induction" to R W. Floyd, Peter Naur, C.A.R. Hoare, H.H. Goldstine and J. von Neumann. Tausworth 1977 borrows Knuth's Euclid example and extends Knuth's method in section 9.1 ''Formal Proofs'' (pp. 288–298).zcsxucdsy</ref> Tausworthe đề xuất rằng thước đo độ phức tạp của một chương trình là độ dài của bằng chứng tính đúng đắn của nó.<ref>Tausworthe 1997:294</ref>

=== Đo lường và cải thiện các thuật toán Euclid ===
''Thanh lịch (nhỏ gọn) so với tốt (tốc độ)'': Chỉ với sáu lệnh cốt lõi, "Thanh lịch" là chiến thắng rõ ràng, so với "Không thanh lịch" với 13 lệnh. Tuy nhiên, "Không thanh lịch" ''nhanh hơn'' (nó đến HALT trong ít bước hơn). [[Phân tích thuật toán]] <ref>cf Knuth 1973:7 (Vol. I), and his more-detailed analyses on pp. 1969:294–313 (Vol II).</ref> chỉ ra lý do tại sao lại như vậy: "Thanh lịch" thực hiện ''hai'' phép thử điều kiện trong mỗi vòng trừ, trong khi "Không thanh lịch" chỉ thực hiện một phép thử. Vì thuật toán (thường) yêu cầu nhiều lần lặp lại, nên ''trung bình'' sẽ lãng phí nhiều thời gian để thực hiện "B = 0?" kiểm tra chỉ cần thiết sau khi phần còn lại được tính toán.

''Các thuật toán có thể được cải thiện không?'': Một khi lập trình viên đánh giá một chương trình "phù hợp" và "hiệu quả" - nghĩa là nó tính toán chức năng mà tác giả của nó dự định - thì câu hỏi sẽ trở thành, liệu nó có thể được cải thiện không?

Có thể cải thiện độ nhỏ gọn của "Không thanh lịch" bằng cách loại bỏ năm bước. Nhưng Chaitin đã chứng minh rằng việc nén một thuật toán không thể được tự động hóa bằng một thuật toán tổng quát;<ref>Breakdown occurs when an algorithm tries to compact itself. Success would solve the Huy [[Halting problem]].
</ref> đúng hơn, nó chỉ có thể được thực hiện [[Heuristic|theo kinh nghiệm]]; tức là, bằng cách tìm kiếm đầy đủ, thử và sai, thông minh, sáng suốt, áp dụng [[suy luận quy nạp]], v.v. Quan sát các bước 4, 5 và 6 được lặp lại trong các bước 11, 12 và 13. So sánh với "Thanh lịch" cung cấp gợi ý rằng các bước này, cùng với các bước 2 và 3, có thể bị loại bỏ. Điều này làm giảm số lượng lệnh cốt lõi từ 13 xuống 8, làm cho nó "thanh lịch" hơn "Thanh lịch", với chín bước.

Tốc độ của "Thanh lịch" có thể được cải thiện bằng cách di chuyển "B = 0?" kiểm tra bên ngoài của hai vòng trừ. Thay đổi này yêu cầu bổ sung ba lệnh (B = 0 ?, A = 0 ?, GOTO). Bây giờ "Thanh lịch" tính toán các số ví dụ nhanh hơn; cho dù điều này luôn đúng đối với bất kỳ A, B và R, S nào cho trước hay không sẽ yêu cầu một phân tích chi tiết.

==Xem thêm==
* [[Độ phức tạp thuật toán]]
* [[Máy truy tìm dữ liệu]]
* [[Thuật toán sắp xếp]]

==Tham khảo==
{{tham khảo}}

==Liên kết ngoài==
{{Wikiquote}}
*{{thể loại Commons nội dòng}}
{{Khoa học Máy tính}}
{{Toán học rời rạc}}
{{Toán học và nghệ thuật}}
{{authority control}}

[[Thể loại:Thuật toán| ]]
[[Thể loại:Toán học rời rạc]]
[[Thể loại:Logic toán]]
[[Thể loại:Bài cơ bản sơ khai]]
[[Thể loại:Khoa học máy tính lý thuyết]]