imported>TheSecondFunnyYellowBot: /* top */ Thay thế bản mẫu trùng lặp, lỗi thời, Task 15: language icon template(s) replaced (1×);

2025-09-29T14:02:15Z

top: Thay thế bản mẫu trùng lặp, lỗi thời, Task 15: language icon template(s) replaced (1×);

Trang mới

[[Tập tin:Rectangular function.svg|nhỏ|phải|Hàm rect.]]
'''Hàm chữ nhật''' hay '''hàm rect''' là một hàm toán học liên tục được định nghĩa như sau:<ref name="wolfram">{{chú thích web |url= http://mathworld.wolfram.com/RectangleFunction.html|title= Rectangle Function|author= Weisstein, Eric W.|date= ngày 15 tháng 8 năm 2011|work= Wolfram MathWorld|publisher= Wolfram|access-date =ngày 15 tháng 8 năm 2011}}</ref>
:<math>\operatorname{rect}(t) = \sqcap(t) = \begin{cases}
0 & \text{khi } |t| > \frac{1}{2} \\[3pt]
\frac{1}{2} & \mbox{khi } |t| = \frac{1}{2} \\[3pt]
1 & \text{khi } |t| < \frac{1}{2}.
\end{cases} </math>

Ngoài ra, trong nhiều lĩnh vực đặc biệt là lĩnh vực [[xử lý tín hiệu]], hàm rect còn được định nghĩa theo cách khác như sau:<ref>{{in lang|de}}{{chú thích sách| first = Hans Dieter Lüke | title = Signalübertragung | publisher = Springer Verlag | year = 1995 | edition = 6. | page = 2 | ISBN = 3-540-54824-6 }}</ref>

:<math>\operatorname{rect_d}(t) = \begin{cases}
1 & \text{khi } |t| \le \frac{1}{2} \\[3pt]
0 & \text{khi } |t| > \frac{1}{2}.
\end{cases} </math>

==Biến đổi Fourier==
[[Biến đổi Fourier liên tục]] của hàm rect là một [[hàm sinc]]:
:<math>
\begin{align}
\mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}
&=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt
=\frac{\sin(\pi f)}{\pi f} = \mathrm{sinc}(\pi f)= \mathrm{si}(f).
\end{align}
</math>

và:
:<math>\mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i \omega t} \, dt
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right).</math>
==Mối quan hệ với hàm tri==
[[Tích chập]] của 2 hàm rect là 1 [[hàm tri]].
:<math>\mathrm{tri}(t) = \mathrm{rect}(t) * \mathrm{rect}(t).\,</math>

==Ứng dụng trong xác suất==
Sử dụng hàm rect như là một [[hàm mật độ xác suất]], nó là 1 trường hợp đặc biệt của [[phân phối đều liên tục]] với <math>a,b=-\frac{1}{2},\frac{1}{2}</math>.

[[Hàm đặc trưng]]:
:<math>\varphi(k) = \frac{\sin(k/2)}{k/2},\,</math>
[[Hàm sinh mômen]]:
:<math>M(k)=\frac{\mathrm{sinh}(k/2)}{k/2},\,</math>
với <math>\mathrm{sinh}(t)</math> là một [[hàm hypebolic]].

==Biểu diễn bằng hàm hữu tỉ==
Hàm rect có thể được biểu diễn dưới dạng là giới hạn của 1 [[hàm phân thức|hàm hữu tỉ]]:
:<math>\sqcap(t) = \lim_{n\rightarrow \infty, n\in \mathbb(Z)} \frac{1}{(2t)^{2n}+1}</math>
===Chứng minh===
*Trường hợp <math>|t|<\frac{1}{2}</math>. Với mọi [[số nguyên]] <code>n</code> thì <code>(2t)2n</code> luôn luôn dương. Do <code>2t<1</code> cho nên <code>(2t)2n→0</code> khi <code>n→∝</code>.
:Suy ra:
:<math>\lim_{n\rightarrow \infty, n\in \mathbb(Z)} \frac{1}{(2t)^{2n}+1} = \frac{1}{0+1} = 1, |t|<\frac{1}{2}</math>
*Trường hợp <math>|t|>\frac{1}{2}</math>. Với mọi [[số nguyên]] <code>n</code> thì <code>(2t)2n</code> luôn luôn dương. Do <code>2t>1</code> cho nên <code>(2t)2n→∝</code> khi <code>n→∝</code>.
:Suy ra:
:<math>\lim_{n\rightarrow \infty, n\in \mathbb(Z)} \frac{1}{(2t)^{2n}+1} = \frac{1}{+\infty+1} = 0, |t|>\frac{1}{2}</math>
*Trường hợp <math>|t| = \frac{1}{2}</math>.
:Dễ dàng ta có:
:<math>\lim_{n\rightarrow \infty, n\in \mathbb(Z)} \frac{1}{(2t)^{2n}+1} = \lim_{n\rightarrow \infty, n\in \mathbb(Z)} \frac{1}{1^{2n}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}</math>
Từ đó có thể định nghĩa hàm rect như sau:
:<math>\therefore \mathrm{rect}(t) = \sqcap(t) = \lim_{n\rightarrow \infty, n\in \mathbb(Z)} \frac{1}{(2t)^{2n}+1} = \begin{cases}
0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\
1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2}. \blacksquare\\
\end{cases}</math>

==Chú thích==
{{Tham khảo}}

[[Thể loại:Hàm toán học]]
[[Thể loại:Hàm đặc biệt]]

Hàm rect - Lịch sử thay đổi

imported>TheSecondFunnyYellowBot: /* top */ Thay thế bản mẫu trùng lặp, lỗi thời, Task 15: language icon template(s) replaced (1×);