imported>Qesefe: thêm ảnh

2026-05-29T10:47:50Z

thêm ảnh

Trang mới

{{about|Phép toán tử tương đương (còn gọi là Khi và chỉ khi)|quan hệ giữa hai mệnh đề|Tương đương logic}}
[[Tập tin:Venn1001.svg|thế=Sơ đồ Venn cho phép toán tử Tương đương|nhỏ|Sơ đồ Venn cho phép toán tử Tương đương]]
{{Thanh bên toán tử logic}}
Trong logic học, hai mệnh đề P và Q '''tương đương''' với nhau nếu P và Q đồng thời có cùng một giá trị chân lý; nghĩa là P và Q cùng đúng hoặc cùng sai, hay P đúng '''khi và chỉ khi''' Q đúng. Ta viết: P ⇔ Q. Trong đó, "⇔" gọi là dấu liên hệ tương đương.

Ngoài ra, phép [[toán tử]] này có ý nghĩa [[Tương đương logic|tương đương]] với '''hàm XNOR''' (phủ định loại trừ).<ref>{{Chú thích sách |last=Rosen |first=Kenneth H. |title=Discrete mathematics and its applications |url=https://archive.org/details/discretemathemat0000rose_8ed |date=2019 |publisher=McGraw-Hill |isbn=978-1-259-67651-2 |edition=8th |location=New York, NY}}</ref>

==Logic toán==
Trong logic toán, [[bảng chân lý]] của một quan hệ tương đương như sau:

{|class="wikitable"
|-
| P || Q || P ⇔ Q
|-
| Đúng || Đúng || Đúng
|-
| Đúng || Sai || Sai
|-
| Sai || Đúng || Sai
|-
| Sai || Sai || Đúng
|}

Dễ thấy, mối quan hệ tương đương P ⇔ Q chẳng qua là (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P) ((P kéo theo Q) và (Q kéo theo P)).

Nói cách khác, hai mệnh đề ''P'' và ''Q'' tương đương nhau khi và chỉ khi mệnh đề này [[kéo theo (logic)|kéo theo]] mệnh đề kia và ngược lại.

Trong trường hợp này, hai phát biểu "P ⇒ Q" và "Q ⇒ P" gọi là [[đảo đề]] của nhau.

Để chứng minh mối quan hệ tương đương P ⇔ Q, ta phải chứng minh mối quan hệ kéo theo P ⇒ Q và chiều ngược lại.

Chú ý rằng (P ⇔ Q) ⇔ (Q ⇔ P)

Trong [[ngôn ngữ]] tự nhiên, để diễn đạt mối liên hệ tương đương giữa ''P'' và ''Q'', người ta có nhiều cách nói:
* ''P'' đúng '''khi và chỉ khi''' ''Q'' đúng.
* Để cho ''P'' đúng, điều kiện cần và đủ là ''Q'' đúng.
* '''Điều kiện cần và đủ''' để ''P'' đúng là ''Q'' đúng.
* ''P'' đúng là một điều kiện cần và đủ để ''Q'' đúng.
* ''P'' tương đương với ''Q''.

==Tính chất==
* P ⇔ P (tính phản xạ)
* (P ⇔ Q) ⇒ (Q ⇔ P) (tính đối xứng)
* ((P ⇔ Q) ⇔ R) ⇔ (P ⇔ (Q ⇔ R)) (tính kết hợp)
* ¬¬P ⇔ P (tương đương với [[nguyên lý triệt tam]])
* (P ⇔ Q) ⇔ (¬P ⇔ ¬Q) (''contraposition'')

Ví dụ
* Ta có
::<math>\forall n\in \mathbb N, n\geq 2, \forall x\in\mathbb R - \{1\}, (x+1)^n=(x-1)^n\Leftrightarrow \frac{(x+1)^n}{(x-1)^n}=1</math>
* Mối quan hệ "tương đương" ∀x, y∈ℝ (x=y ⇔ x2=y2) (bình phương lên) là '''sai''' vì thí dụ 22=(-2)2 không kéo theo được 2=-2
* Mối quan hệ tương đương sau là đúng
::<math>\forall x\in [-1, +\infty], x-1\geq \sqrt{x+1} \Leftrightarrow ((x-1)^2\geq x+1\quad \wedge \quad x-1\geq 0)</math> (bình phương lên)
Khi bình phương lên, ta mất thông tin "x-1 lớn hơn hoặc bằng một căn bậc hai" nên nó không âm, vậy để đạt được tương đương, ở mệnh đề sau ta phải bổ sung x-1>=0.

Nhận xét:

Chứng minh bằng các quan hệ tương đương không phải lúc nào cũng đơn giản, nhiều khi cần phải chứng minh riêng lẻ từng đảo đề tương ứng.

Phát biểu rằng "quan hệ tương đương P ⇔ Q là đúng" '''không có nghĩa là''' "''P'' và ''Q'' đều đúng", '''mà là''' "khi một trong hai mệnh đề là đúng (hoặc sai), mệnh đề còn lại cũng đúng (hoặc sai) đồng thời".

==Quan hệ tương đương giữa nhiều mệnh đề==
Xem xét ba mệnh đề ''P'', ''Q'' và ''R''.

Để chứng minh các mối quan hệ tương đương P ⇔ Q ⇔ R, chỉ cần chứng minh các quan hệ kéo theo sau:
::P ⇒ Q, Q ⇒ R và R ⇒ P.
Giả sử các quan hệ P ⇒ Q, Q ⇒ R và R ⇒ P đã được thiết lập.

Để chứng minh rằng Q ⇒ P, ta dùng hai quan hệ Q ⇒ R và R ⇒ P.

Tương tự, từ R ⇒ P và P ⇒ Q suy ra R ⇒ Q.

Cuối cùng P ⇒ R, do P ⇒ Q và Q ⇒ R.

Cách chứng minh như trên gọi là chứng minh vòng.

Ta có thể tổng quát hóa đối với ''n'' mệnh đề P1, P2… Pn.

Để chứng minh các mối quan hệ tương đương P1 ⇔ P2 ⇔… ⇔ Pn, chỉ cần chứng minh các quan hệ kéo theo:
::P1 ⇒ P2, P2 ⇒ P3… Pn-1 ⇒ Pn và Pn ⇒ P1.

==Tham khảo==
{{tham khảo}}{{Toán tử logic}}
[[Thể loại:Toán tử lôgíc]]
[[Thể loại:Logic]]
[[Thể loại:Thuật ngữ toán học]]

Khi và chỉ khi - Lịch sử thay đổi

imported>Qesefe: thêm ảnh