imported>TheSecondFunnyYellowBot: /* top */ clean up, en:User:Monkbot/task 20: replace {lang-??} templates with {langx|??} ‹Xem Tfd› (Replaced 1);

2025-03-29T05:23:48Z

top: clean up, en:User:Monkbot/task 20: replace {lang-??} templates with {langx|??} ‹Xem Tfd› (Replaced 1);

Trang mới

{{Cấu trúc đại số|Vành}}

Trong [[đại số trừu tượng]], một '''vành chia''', còn được gọi là '''trường không giao hoán''' hay '''trường xiên''' ({{langx|en|skew field}}), là một [[vành]] mà ta có thể thực hiện [[phép chia]]. Cụ thể hơn, nó là một vành khác [[vành không]]{{efn|Trong bài viết này, vành có chứa 1.}} mà mọi phần tử {{mvar|a}} có một [[nghịch đảo phép nhân]], tức một phần tử {{mvar|x}} sao cho {{math|1=''a'' · ''x'' = ''x'' · ''a'' = 1.}}<ref>Võ Thị Ngọc Bích (2012), ''[http://lib.hcmup.edu.vn:8080/eFileMgr/efile_folder/efile_local_folder/2013/3/2013-03-12/tvefile.2013-03-12.7267652475.pdf Định lí Brauer và ứng dụng của nó để mô tả các biểu diễn bất khả qui của một số nhóm hữu hạn] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20240801140207/http://lib.hcmup.edu.vn:8080/eFileMgr/efile_folder/efile_local_folder/2013/3/2013-03-12/tvefile.2013-03-12.7267652475.pdf |date=2024-08-01 }}'', Luận văn thạc sĩ toán học, Mục 1.4</ref> Nói cách khác, một vành là vành chia khi và chỉ khi [[nhóm đơn vị]] của nó bằng tập chứa tất cả các phần tử khác không (ở đây đơn vị chỉ các phần tử khả nghịch).

Vành chia chỉ khác [[Trường (toán học)|trường]] ở chỗ phép nhân không nhất thiết phải có [[tính giao hoán]]. Tuy nhiên, [[định lý Wedderburn bé]] phát biểu rằng mọi vành chia hữu hạn đều có tính giao hoán, tức đều là [[trường hữu hạn]]. Trong quá khứ, vành chia đôi khi được gọi là trường, còn trường lại dược gọi là "trường giao hoán".{{efn|Trong tiếng Anh, cụm từ "skew field" và "sfield" được đề cập bởi Neal McCoy năm 1948,<ref>1948, Rings and Ideals. Northampton, Mass., Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ</ref> và đến năm 1965 đã xuất hiện trong [[OED]]. Cụm từ tiếng Đức {{ill|Schiefkörper|de|vertical-align=sup}} được nhắc đến bởi [[Bartel Leendert van der Waerden|v.d. Waerden]], trong một bài viết năm 1927 của [[Emil Artin|E. Artin]],<ref>Artin, Emil, 1965: Collected Papers. Edited by Serge Lang, John T. Tate. New York et al.: Springer</ref> và được [[Emmy Noether]] dùng làm tên gọi cho một bài giảng năm 1928.<ref>Brauer, Richard, 1932: Über die algebraische Struktur von Schiefkörpern. Journal für die reine und angewandte Mathematik 166.4, 103-252</ref>}}

Mọi vành chia đều là [[vành đơn]], tức không có [[I-đê-an|i-đê-an hai phía]] nào ngoại trừ i-đê-an không và chính nó.

== Quan hệ với trường và đại số tuyến tính ==
Mọi vành chia giao hoán đều là trường. Trong số những vành chia không giao hoán, ví dụ phổ biến nhất là vành [[quaternion]] {{math|'''H'''}}. Nếu ta chỉ cho hệ số [[số hữu tỉ|hữu tỉ]] thay vì [[số thực|thực]] trong vành quaternion, ta được một vành chia khác. Nói chung, nếu {{mvar|R}} là một vành bất kỳ và {{mvar|S}} là một [[mô đun đơn]] (còn gọi là mô đun bất khả quy) trên {{mvar|R}}, thì theo [[bổ đề Schur]], [[vành tự đồng cấu]] của {{mvar|S}} là một vành chia.<ref name="Google Books">{{chú thích sách |last1=Lam |first1=Tsit-Yuen |authorlink1=Tsit Yuen Lam | title=A First Course in Noncommutative Rings | page=33 | website=Google Books | url=https://books.google.com/books/about/A_First_Course_in_Noncommutative_Rings.html?hl=vi&id=f15FyZuZ3-4C |url=https://books.google.com/books?id=f15FyZuZ3-4C&printsec=frontcover&dq=isbn:0387951830&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwiPhZvPxtDjAhWEWc0KHejfD_YQ6AEIKjAA#v=onepage&q=%22division%20ring%22&f=false |edition=2 |series=[[Graduate Texts in Mathematics]] |volume=131 |year=2001 |publisher=Springer |location= |isbn=0-387-95183-0 | zbl=0980.16001 }}</ref>

Phần lớn [[đại số tuyến tính]] có thể được xây dựng và phát biểu sử dụng [[Mô-đun (toán học)|mô đun]] trên một vành chia {{mvar|D}} thay vì [[không gian vectơ]] trên một trường. Khi ấy ta phải xét mô đun trái hoặc phải và cần phân biệt chúng trong các công thức. Trong tọa độ, phần tử của mô đun phải hữu hạn chiều có thể được biểu diễn bởi vectơ cột và thực hiện phép nhân với scalar bên phải, với ma trận (biểu diễn ánh xạ tuyến tính) bên trái; ngược lại, với phần tử của mô đun trái hữu hạn chiều, ta có thể dùng vectơ dòng, rồi nhân scalar bên trái và với ma trận bên phải. Ma trận chuyển vị phải là trên vành chia đối {{math|''D''op}} để quy tắc {{math|1=(''AB'')T = ''B''T''A''T}} vẫn đúng.

Mọi mô đun trên vành chia đều [[Mô đun tự do|tự do]], tức chúng đều có cơ sở, và mọi cơ sở có của mô đun [[Số cơ sở bất biến|có số phần tử bằng nhau]]. Điều ngược lại cũng đúng, và có thể được dùng để định nghĩa vành chia bằng mô đun: Một vành có đơn vị {{mvar|R}} là một vành chia khi và chỉ khi mọi {{mvar|R}}-mô đun đều tự do.<ref>Grillet, Pierre Antoine. Abstract algebra. Vol. 242. Springer Science & Business Media, 2007. Một chứng minh có thể xem ở [http://planetmath.org/ringswhoseeverymoduleisfree đây]</ref>

Ánh xạ tuyến tính giữa mô đun hữu hạn chiều trên vành chia có thể được mô tả bởi [[Ma trận (toán học)|ma trận]]. [[Phép khử Gauss]] vẫn áp dụng được. Hạng của ma trận khi ấy là số chiều của mô đun phải sinh ra bởi các cột, hoặc là số chiều của mô đun trái sinh ra bởi các hàng; giống với không gian vectơ, ta có thể chứng minh chúng bằng nhau.

[[Tâm (lý thuyết vành)|Tâm]] của vành chia có tính giao hoán và là một trường.<ref>Vành đơn giao hoán là trường. Xem Lam (2001), {{Google books|id=f15FyZuZ3-4C|page=39|text=simple commutative rings|title=simple commutative rings}} và {{Google books|id=f15FyZuZ3-4C|page=45|text=center of a simple ring|title=exercise 3.4}}.</ref> Mọi vành chia do đó là một [[đại số chia]] trên tâm của nó. Vành chia có thể được phân loại theo số chiều của chúng trên tâm là hữu hạn hay vô hạn. Mọi trường là một chiều trên tâm. Vành các [[quaternion]] tạo thành một đại số bốn chiều trên tâm, tâm này đẳng cấu với tập số thực.

== Ví dụ ==
* Như đã nói ở trên, mọi [[Trường (toán học)|trường]] là vành chia.
* Các [[quaternion]] tạo thành một vành chia không giao hoán.
* Các quaternion có dạng {{math|''a'' + ''bi'' + ''cj'' + ''dk''}}, trong đó các {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}} và {{mvar|d}} là các phần tử của một trường con của trường số thực, là một vành chia không giao hoán. Khi trường con này là trường các [[số hữu tỉ]], vành chia này được gọi là các ''quaternion hữu tỉ''.
* Xét {{math|σ: '''C''' → '''C'''}} là một [[tự đẳng cấu]] của trường [[số phức]] {{math|'''C'''}}. Gọi {{math|'''C'''((''z'', σ))}} là vành các [[chuỗi Laurent chính quy]] với hệ số phức, trong đó phép nhân được định nghĩa như sau: thay vì cho các hệ số giao hoán với ẩn {{mvar|z}}, với {{math|α ∈ '''C'''}}, đặt {{math|1=''z''{{ssup|''i''}}α := σ{{ssup|''i''}}(α)''z''{{ssup|''i''}}}} với mỗi chỉ số {{math|''i'' ∈ '''Z'''}}. Nếu {{mvar|σ}} là một tự đẳng cấu không tầm thường (ví dụ như [[số phức liên hợp|phép liên hợp]]), thì vành các chuỗi Laurent tương ứng là một vành chia không giao hoán, còn gọi là ''vành chuỗi Laurent không giao hoán''.<ref>Lam (2001), p. 10</ref>

== Định lý ==
=== Định lý Wedderburn bé ===

'''[[Định lý Wedderburn bé]]''' phát biểu rằng mọi vành chia hữu hạn giao hoán, do đó cũng là [[trường giao hoán]]. Một chứng minh đơn giản được đưa ra bởi [[Ernst Witt]].

=== Định lý Frobenius ===
'''[[Định lý Frobenius (đại số chia thực)|Định lý Frobenius]]''' nói rằng những đại số chia kết hợp hữu hạn duy nhất trên số thực là chính các số thực, số phức, và các [[quaternion]].

== Khái niệm liên quan ==
Vành chia từng được gọi là "trường" trong quá khứ, còn trường được gọi là "trường giao hoán".

Vành và đại số chia ở đây có tính kết hợp đối với phép nhân. Tuy nhiên những [[Đại số chia#Đại số chia không nhất thiết kết hợp|đại số chia không kết hợp]] như các [[octonion]] cũng được quan tâm.

Một [[Gần-trường (toán học)|gần trường]] là một cấu trúc đại số tương tự như vành chia, ngoại trừ nó chỉ có một trong hai tính chất phân phối. Một vành bình thường có hai tính phân phối: trái và phải.

== Xem thêm ==
*[[Định thức Hua]]

== Ghi chú ==
{{notelist}}

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}

== Đọc thêm ==
* {{chú thích sách | last=Cohn | first=P.M. | authorlink=Paul Cohn | title=Skew fields. Theory of general division rings | zbl=0840.16001 | series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications | volume=57 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1995 | isbn=0-521-43217-0 | url=https://archive.org/details/skewfieldstheory0000cohn }}

==Liên kết ngoài==
* [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3627 Chứng minh của định lý Wedderburn tại Planet Math]
* [https://math.stackexchange.com/q/75866 Grillet ''Abstract Algebra'', phần VIII.5. Tính chất của vành chia qua mô đun tự do của chúng.]

[[Thể loại:Các thuộc tính vành]]
[[Thể loại:Lý thuyết vành]]

Vành chia - Lịch sử thay đổi

imported>TheSecondFunnyYellowBot: /* top */ clean up, en:User:Monkbot/task 20: replace {lang-??} templates with {langx|??} ‹Xem Tfd› (Replaced 1);