Định lý Stokes

Định lí Stokes hay định lí Kelvin-Stokes (được đặt tên dựa theo hai nhà toán học George Gabriel Stokes và Lord Kelvin) là định lí cho trường vector trong không gian Euclid ba chiều. Phiên bản cổ điển của định lí Stokes có thể được rút gọn trong một câu là

Tích phân đường của một trường vector bằng tích phân mặt của rotation trường vector đó.

Định lí Stokes cổ điển là một trường hợp riêng của định lí Stokes tổng quát, do trường vector có thể coi là 1-dạng vi phân và rotation là 2-dạng (đạo hàm ngoài) của trường vector đó.

Nội dung định lí

Minh họa của định lý Kelvin-Stokes, với mặt $\Sigma$, đường biên $\partial \Sigma ,$ vec tơ "chuẩn" n.

Với $\Sigma$ là mặt trơn, định hướng trong không gian ba chiều ${ℝ}^3$ với biên $\partial \Sigma \equiv \Gamma$, nếu trường vector $F:{ℝ}^3\to {ℝ}^3$ có các đạo hàm riêng liên tục trên miền chứa $\Sigma$, khi đó

${\iint }_{\Sigma }\mathrm{\nabla }\times 𝐅\cdot d𝜮={\oint }_{\partial \Sigma }𝐅\cdot d\Gamma ,$

Cụ thể hơn, với $\wedge$ là kí hiệu tích chập, định lí Stokes có thể được viết lại dưới dạng

$\underset{\Sigma }{\iint }\{(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dy\wedge dz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dz\wedge dx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dx\wedge dy\}$  $=\underset{\partial \Sigma }{\oint }\{Pdx+Qdy+Rdz\}$

với $F:(x,y,z)⟼(P(x,y,z);Q(x,y,z);R(x,y,z)).$

Vấn đề lớn nhất khi phát biểu chính xác định lí Stokes là xem xét biên của mặt đã cho. Những mặt như bông tuyết Von Koch có biên không khả tích Riemann, thậm chí kể cả tích phân Lebesque cũng không thể được định nghĩa trên một mặt không Lipschitz. Một kĩ thuật để xử lí là sử dụng lí thuyết độ đo hình học, tuy nhiên trong bài viết này sẽ sử dụng định nghĩa sơ cấp và trực giác hơn, dựa trên việc biên của mặt có thể được coi như là một tập con của ${ℝ}^2$.

Một phát biểu chi tiết hơn sẽ được đề cập ở những phần sau của bài viết. Cho $\gamma :[a;b]\to {ℝ}^2$ là một đường cong Jordan trơn từng khúc, đóng; khi này định lý đường cong Jordan chia ${ℝ}^2$thành 2 phần, một phần $D$ compact và phần không compact, phần $D$ compact bị chặn bởi $\gamma$.

Bây giờ, giả sử $\psi :D\to {ℝ}^3$ là một ánh xạ trơn từng khúc trên một lân cận của $D$ và $\Sigma =\psi (D),\Gamma (t)=\psi (\gamma (t))$là biên của $\Sigma$, kí hiệu là $\partial \Sigma$. Khi này, với $F$ là một trường vector trơn trên ${ℝ}^3$ thì

${\iint }_{\Sigma }\mathrm{\nabla }\times 𝐅\cdot d𝜮={\oint }_{\partial \Sigma }𝐅\cdot d\Gamma ,$

với "." là tích vô hướng trên ${ℝ}^3$.