Kéo theo (logic)

Sơ đồ Venn cho phép kéo theo với hai toán hạng.

Phép kéo theo, hay còn gọi là điều kiện vật chất (tiếng Anh: material conditional) hoặc hàm IMPLY, là một toán tử logic thường được ký hiệu bằng $\to$ hoặc $\Rightarrow$ và đọc là "nếu...thì". Với hai mệnh đề $A$ và $B$ , phép kéo theo $A \to B$ chỉ có giá trị sai khi $A$ đúng mà $B$ sai, và đúng trong mọi trường hợp còn lại.^[1]

Tuy nhiên, cách định nghĩa này không khớp với cách sử dụng cụm "nếu...thì" trong ngôn ngữ thông dụng, nên phép kéo theo không được coi là cách phân tích phù hợp cho các câu điều kiện trong ngôn ngữ tự nhiên.^[1]

Lịch sử

Trong tác phẩm Arithmetices Principia: Nova Methodo Exposita (1889), Peano ký hiệu mệnh đề "Nếu $A$ thì $B$ " bằng $A$ Ɔ $B$ , với ký hiệu Ɔ là chữ C viết ngược.^[2] Đến năm 1918, Hilbert đổi sang ký hiệu $A \to B$ .^[3] Russell theo Peano dùng $A \supset B$ trong Principia Mathematica (1910–1913), và ký hiệu này tiếp tục được Gentzen và Heyting sử dụng, trước khi Heyting chuyển sang $A \to B$ . Bourbaki dùng $A \Rightarrow B$ vào năm 1954.^[4]^[5]

Tính chất

Bảng chân trị phép kéo theo
$A$	$B$	$A \to B$
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Phép kéo theo được ký hiệu bằng $\to$ trong logic học, và $\supset$ hoặc $\Rightarrow$ cũng được dùng tùy tác giả. Nó có thể được định nghĩa bằng các toán tử đơn giản hơn như phủ định và tuyển hoặc hội:^[6]

$A \to B \equiv \neg A \lor B \equiv \neg (A \land \neg B)$

Trong logic cổ điển, phép kéo theo có một số tính chất quan trọng:^[6]

Phản vị (Contraposition): $(A \to B) \equiv (\neg B \to \neg A)$
Bắc cầu (Transitivity): $(A \to B), (B \to C) ⊢ A \to C$
Modus ponens: Nếu $A \to B$ đúng và $A$ đúng, thì $B$ đúng. $A \to B, A ⊢ B$
Modus tollens: Nếu $A \to B$ đúng và $B$ sai, thì $A$ sai. $A \to B, \neg B ⊢ \neg A$
Chân lý hiển nhiên (vacuous truth): Nếu $A$ sai thì $A \to B$ đúng bất kể $B$ là gì. Tương tự, nếu $B$ đúng thì $A \to B$ luôn đúng bất kể $A$ là gì.

Phép kéo theo không có tính giao hoán: $A \to B \equiv̸ B \to A$ , và không có tính kết hợp: $(A \to B) \to C \equiv̸ A \to (B \to C)$ .^[6]

Quan hệ với các toán tử khác

Trong logic cổ điển, các toán tử logic khác cũng có thể được biểu diễn chỉ qua $\to$ và hằng sai $⊥$ :^[6]

Phủ định: $\neg A \equiv A \to ⊥$
Hội: $A \land B \equiv (A \to (B \to ⊥)) \to ⊥$
Tuyển: $A \lor B \equiv (A \to ⊥) \to B$

Ngôn ngữ tự nhiên

Trong tiếng Việt cũng như tiếng Anh, cấu trúc "nếu...thì" trong ngôn ngữ thông dụng thường không tương ứng chính xác với phép kéo theo trong logic. Sự khác biệt rõ nhất đến từ tính chất chân lý hiển nhiên: theo định nghĩa của phép kéo theo, bất kỳ mệnh đề $A \to B$ nào cũng đúng khi $A$ sai, bất kể $B$ là gì. Điều này dẫn đến các câu như "Nếu Mặt Trăng làm bằng pho mát thì 2 + 2 = 4" hay "Nếu tôi có một đồng xu trong túi thì Paris nằm ở Pháp" đều đúng về mặt logic, dù người nghe thông thường sẽ coi hai câu này là vô nghĩa vì hai vế không có quan hệ nhân quả nào với nhau.^[1] Tương tự, bất kỳ mệnh đề nào có hậu quả $B$ đúng cũng sẽ cho $A \to B$ đúng bất kể $A$ là gì. Các vấn đề này được gọi là nghịch lý của điều kiện vật chất.^[1]

Một số nhà nghiên cứu, đặc biệt là triết gia Paul Grice và Frank Cameron Jackson, lập luận rằng các nguyên tắc ngữ dụng có thể giải thích những khoảng cách này: câu điều kiện vẫn biểu đạt phép kéo theo về mặt ngữ nghĩa, nhưng truyền tải thêm thông tin qua các chuẩn mực hội thoại; chẳng hạn người nói được kỳ vọng sẽ đưa ra phát ngôn có ích và liên quan, nên khi họ nói "nếu A thì B", người nghe ngầm hiểu rằng A và B phải có liên hệ thực sự với nhau.^[7]^[8] Tuy nhiên, phần lớn nghiên cứu ngữ nghĩa học hình thức hiện đại (formal semantics, ngành nghiên cứu ý nghĩa của ngôn ngữ tự nhiên bằng các công cụ toán học) không coi phép kéo theo là phân tích đầy đủ cho câu điều kiện, và đề xuất các mô hình thay thế dựa trên logic tình thái (lý luận về khả năng và tất yếu) hay lý thuyết xác suất.^[1]^[9]^[10]

Trong tâm lý học, thực nghiệm bài toán chọn lựa Wason do nhà tâm lý học Peter Wason thiết kế năm 1968 minh họa rõ điều này. Người tham gia được cho xem bốn thẻ bài, mỗi thẻ có một chữ cái ở một mặt và một con số ở mặt kia, đang hiển thị lần lượt là: E, K, 4, 7. Họ được yêu cầu kiểm tra quy tắc: "Nếu một thẻ có nguyên âm ở một mặt thì mặt kia phải là số chẵn." Câu hỏi đặt ra là phải lật những thẻ nào để kiểm tra quy tắc này?^[11]

Theo phép kéo theo, chỉ cần lật thẻ E (kiểm tra xem mặt kia có phải số chẵn không, nếu không thị quy tắc bị vi phạm) và thẻ 7 (kiểm tra xem mặt kia có phải nguyên âm không, nếu có thì quy tắc bị vi phạm). Thẻ K không cần lật vì quy tắc không nói gì về phụ âm. Thẻ 4 cũng không cần lật vì quy tắc chỉ nói nguyên âm kéo theo số chẵn, còn phụ âm có kéo theo số chẵn không thì không quan trọng nên dù mặt kia có chữ cái gì cũng không ảnh hưởng. Tuy nhiên, chưa đến 10% người tham gia chọn đúng—đa số lật thẻ E và 4, tức là chỉ tìm kiếm bằng chứng xác nhận quy tắc thay vì bằng chứng bác bỏ nó.^[12]^[13]

Tham khảo

^ ^a ^b ^c ^d ^e Edgington, Dorothy (2008). "Conditionals". Trong Zalta, Edward N. (biên tập). The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University.
^ Van Heijenoort, Jean, biên tập (1967). From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Harvard University Press. tr. 84–87. ISBN 0-674-32449-8.
^ Hilbert, D. (1918). Prinzipien der Mathematik (Lecture Notes edited by Bernays, P.).
^ Bourbaki, N. (1954). Théorie des ensembles. Paris: Hermann & Cie, Éditeurs. tr. 14.
^ Miller, Jeff (2020). "Earliest Uses of Symbols for Set Theory and Logic". Maths History (University of St Andrews). University of St Andrews.
^ ^a ^b ^c ^d Mendelson, Elliott (2015). Introduction to Mathematical Logic (ấn bản thứ 6). Boca Raton: CRC Press. ISBN 978-1-4822-3778-8.
^ Grice, Paul (1975). "Logic and conversation". Trong Cole, P.; Morgan, J. (biên tập). Syntax and semantics. Quyển 3: Speech acts. New York: Academic Press. tr. 41–58.
^ Jackson, Frank (1979). "On Assertion and Indicative Conditionals". Philosophical Review. Quyển 88 số 4. tr. 565–589. doi:10.2307/2184845.
^ Gillies, Anthony S. (2017). "Conditionals". Trong Hale, Bob; Wright, Crispin; Miller, Alexander (biên tập). A Companion to the Philosophy of Language. Wiley Blackwell. tr. 401–436. doi:10.1002/9781118972090.ch17. ISBN 978-1-118-97209-0.
^ Von Fintel, Kai (2011). "Conditionals". Trong von Heusinger, Klaus; Maienborn, Claudia; Portner, Paul (biên tập). Semantics: An international handbook of meaning. de Gruyter Mouton. tr. 1515–1538. doi:10.1515/9783110255072.1515. ISBN 978-3-11-018523-2.
^ Wason, Peter Cathcart (tháng 8 năm 1968). "Sage Journals: Discover world-class research". Sage Journals (bằng tiếng Anh). doi:10.1080/14640746808400161.
^ Oaksford, M.; Chater, N. (1994). "A rational analysis of the selection task as optimal data selection". Psychological Review. Quyển 101 số 4. tr. 608–631. doi:10.1037/0033-295X.101.4.608.
^ Stenning, Keith; van Lambalgen, Michiel (2004). "A little logic goes a long way: basing experiment on semantic theory in the cognitive science of conditional reasoning". Cognitive Science. Quyển 28 số 4. tr. 481–529. doi:10.1016/j.cogsci.2004.02.002.

[:sep-1] Edgington, Dorothy (2008). "Conditionals". Trong Zalta, Edward N. (biên tập). The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University.

[2] Van Heijenoort, Jean, biên tập (1967). From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Harvard University Press. tr. 84–87. ISBN 0-674-32449-8.

[3] Hilbert, D. (1918). Prinzipien der Mathematik (Lecture Notes edited by Bernays, P.).

[4] Bourbaki, N. (1954). Théorie des ensembles. Paris: Hermann & Cie, Éditeurs. tr. 14.

[5] Miller, Jeff (2020). "Earliest Uses of Symbols for Set Theory and Logic". Maths History (University of St Andrews). University of St Andrews.

[:0-6] Mendelson, Elliott (2015). Introduction to Mathematical Logic (ấn bản thứ 6). Boca Raton: CRC Press. ISBN 978-1-4822-3778-8.

[grice2-7] Grice, Paul (1975). "Logic and conversation". Trong Cole, P.; Morgan, J. (biên tập). Syntax and semantics. Quyển 3: Speech acts. New York: Academic Press. tr. 41–58.

[jackson2-8] Jackson, Frank (1979). "On Assertion and Indicative Conditionals". Philosophical Review. Quyển 88 số 4. tr. 565–589. doi:10.2307/2184845.

[gillies-9] Gillies, Anthony S. (2017). "Conditionals". Trong Hale, Bob; Wright, Crispin; Miller, Alexander (biên tập). A Companion to the Philosophy of Language. Wiley Blackwell. tr. 401–436. doi:10.1002/9781118972090.ch17. ISBN 978-1-118-97209-0.

[vonfintel-10] Von Fintel, Kai (2011). "Conditionals". Trong von Heusinger, Klaus; Maienborn, Claudia; Portner, Paul (biên tập). Semantics: An international handbook of meaning. de Gruyter Mouton. tr. 1515–1538. doi:10.1515/9783110255072.1515. ISBN 978-3-11-018523-2.

[11] Wason, Peter Cathcart (tháng 8 năm 1968). "Sage Journals: Discover world-class research". Sage Journals (bằng tiếng Anh). doi:10.1080/14640746808400161.

[oaksford2-12] Oaksford, M.; Chater, N. (1994). "A rational analysis of the selection task as optimal data selection". Psychological Review. Quyển 101 số 4. tr. 608–631. doi:10.1037/0033-295X.101.4.608.

[stenning2-13] Stenning, Keith; van Lambalgen, Michiel (2004). "A little logic goes a long way: basing experiment on semantic theory in the cognitive science of conditional reasoning". Cognitive Science. Quyển 28 số 4. tr. 481–529. doi:10.1016/j.cogsci.2004.02.002.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

x t s Các toán tử logic thông dụng
Hằng đúng/Đúng $⊤$
NAND logic (cổng NAND) $↑$ Kéo theo đảo $\leftarrow$ Kéo theo (cổng IMPLY) $\to$ Tuyển (cổng OR) $\lor$
Phủ định (cổng NOT) $\neg$ Tuyển loại (cổng XOR) $\leftrightarrow̸$ Tương đương (cổng XNOR) $\leftrightarrow$ Phát biểu (Buffer điện tử)
NOR logic (cổng NOR) $↓$ Không kéo theo (cổng NIMPLY) $↛$ Không kéo theo đảo $↚$ Hội (cổng AND) $\land$
Mâu thuẫn/Sai $⊥$
Cổng thông tin Triết học