Ma trận Cauchy

Trong toán học, một ma trận Cauchy, được đặt tên theo tên nhà toán học Augustin-Louis Cauchy, là một ma trận m×n với các phần tử a_ij ở dạng

$a_{ij}=\frac{1}{x_i-y_j};x_i-y_j\ne 0,1\le i\le m,1\le j\le n$

với $x_i$ và $y_j$ là các phần tử thuộc Trường (đại số) $ℱ$, và $(x_i)$ và $(y_j)$ là các dãy đơn ánh (chúng không chứa các phần tử lặp lại; các phần tử là riêng biệt nhau).

Ma trận Hilbert là trường hợp đặc biệt của ma trận Cauchy với

$x_i-y_j=i+j-1.$

Mỗi ma trận con của ma trận Cauchy cũng là một ma trận Cauchy.

Định thức Cauchy

Các số $a_1,a_2,\dots ,a_n,b_1,b_2,\dots ,b_n$ là các số thực cho trước sao cho $a_i+b_j≠0\mathrm{\forall }i,j$.

Định thức Cauchy (Cô-si) được định nghĩa như sau:

$D=\left|\begin{array}{cccc}\frac{1}{a_1+b_1}& \frac{1}{a_1+b_2}& \dots & \frac{1}{a_1+b_n}\\ \frac{1}{a_2+b_1}& \frac{1}{a_2+b_2}& \dots & \frac{1}{a_2+b_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{1}{a_n+b_1}& \frac{1}{a_n+b_2}& \dots & \frac{1}{a_n+b_n}\end{array}\right|$

Tính được:

$D=\frac{\prod _{i≠j}(a_j-a_i)\prod _{i≠j}(b_j-b_i)}{\prod _{i,j}(a_i+b_j)}$

Xem thêm

• Bất đẳng thức Cauchy
• Thuật ngữ đại số tuyến tính
• Ma trận Toeplitz

Tham khảo

• A. Gerasoulis (1988). "A fast algorithm for the multiplication of generalized Hilbert matrices with vectors" (PDF). Mathematics of Computation. Quyển 50 số 181. tr. 179–188. doi:10.2307/2007921.
• I. Gohberg, T. Kailath, V. Olshevsky (1995). "Fast Gaussian elimination with partial pivoting for matrices with displacement structure" (PDF). Mathematics of Computation. Quyển 64 số 212. tr. 1557–1576. doi:10.1090/s0025-5718-1995-1312096-x.{{Chú thích tạp chí}}: Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
• P. G. Martinsson, M. Tygert, V. Rokhlin (2005). "An $O(N{\log }^{2}N)$ algorithm for the inversion of general Toeplitz matrices" (PDF). Computers & Mathematics with Applications. Quyển 50. tr. 741–752. doi:10.1016/j.camwa.2005.03.011.{{Chú thích tạp chí}}: Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
• S. Schechter (1959). "On the inversion of certain matrices" (PDF). Mathematical Tables and Other Aids to Computation. Quyển 13 số 66. tr. 73–77. doi:10.2307/2001955.