Định lý Bolzano

Định lý giá trị trung gian, còn có tên là định lý Bolzano (đặt theo tên nhà toán học Tiệp Khắc Bernhard Bolzano (1781-1848)). là định lý cơ bản trong giải tích, liên quan đến các hàm số liên tục trên một khoảng. Định lí phát biểu rằng:

"Nếu hàm số $f$ liên tục trên đoạn $[a,b]$ và $f(a)\ne f(b)$ thì với mọi giá trị $y$ nằm giữa $f(a)$ và $f(b)$, tồn tại ít nhất một giá trị $c\in (a,b)$ sao cho $f(c)=y$."

Người ta áp dụng định lý này để chỉ ra sự tồn tại của nghiệm phương trình và tìm nghiệm một cách gần đúng.

Phát biểu

Cho hàm số thực $f$ xác định và liên tục trên một khoảng $I$, thì $f(I)$ cũng là một khoảng

Phát biểu tương đương

Với mọi hàm số f xác định và liên tục trên [a, b] → ℝ, và với mọi u nằm giữa f(a) và f(b),

luôn tồn tại ít nhất một giá trị c nằm trong khoảng [a,b] sao cho f(c)=u

Trường hợp đặc biệt

Nếu f(a) và f(b) không cùng dấu, thì luôn tồn tại ít nhất một giá trị c nằm giữa a và b sao cho f(c) = 0