Định lý Fuhrmann

Trong hình học Euclid, định lý Fuhrmann phát biểu như sau: Cho lục giác lồi $A B C D E F$ nội tiếp.^[1]^[2] Khi đó: $A D . B E . C F = A B . C D . E F + A F . B C . D E + A B . D E . C F + B C . E F . A D + C D . A F . B E$

Chứng minh

Định lý Fuhrmann được chứng minh bằng cách sử dụng định lý Ptoleme cho các tứ giác ABDE, BCDF, ADEF, ABEF

$A D . B E = A B . D E + A E . B D$ ,

$B D . C F = B C . D F + B F . C D$ ,

$A E . D F = A D . E F + A F . D E$ ,

$A E . B F = A B . E F + A F . B E$ .

Nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với $C F$ , chúng ta có: $A D . B E . C F = A B . D E . C F + A E . B D . C F .$

Tiếp theo chúng ta thay thế BD.CF bởi $B C . D F + B F . C D$ trong hệ số thứ hai ở vế phải ta có: $A D . B E . C F = A B . D E . C F + A E . B C . D F + A E . B F . C D .$

Sử dụng phương trình thứ ba và bốn ta thay thế $A E . D F$ bởi $A D . E F + A F . D E$ , và $A E . B F$ bởi $A B . E F + A F . B E$ . Định lý được chứng minh.^[3]

Xem thêm

Tham khảo

Trang Bản mẫu:Tham khảo/styles.css không có nội dung.

^ Fuhrmann, W. Synthetische Beweise Planimetrischer Sätze. Berlin, p. 61, 1890.
^ Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 65-66, 1929.
^ Fuhrmann's theorem