E (số)

1. REDIRECT Bản mẫu:Hatnote Bản mẫu:R from move

Tập tin:Hyperbola E.svg

Đồ thị của hàm số Bản mẫu:Math. Bản mẫu:Mvar là số duy nhất lớn hơn 1 sao cho diện tích phần được tô màu bằng 1.

Số Bản mẫu:Mvar là một hằng số toán học có giá trị gần bằng 2,71828 và là cơ số của logarit tự nhiên và hàm mũ. Số này đôi khi còn được gọi là số Euler theo tên của nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler, tuy nhiên cách gọi này có thể gây nhầm lẫn với các số trong dãy số Euler hoặc hằng số Euler–Mascheroni, một hằng số khác ký hiệu là Bản mẫu:Math. Ngoài ra Bản mẫu:Mvar cũng có thể được gọi là hằng số Napier theo tên của nhà toán học người Scotland, John Napier. Hằng số được nhà toán học người Thụy Sĩ Jacob Bernoulli khám phá lần đầu tiên khi nghiên cứu về lãi kép.

Số Bản mẫu:Mvar có tầm quan trọng lớn trong toán học cùng với số 0, 1, [[Pi|Bản mẫu:Pi]] và [[Đơn vị ảo|Bản mẫu:Mvar]]. Cả năm số này cùng xuất hiện trong phương trình đồng nhất thức Euler Bản mẫu:Math và đóng vai trò trọng tâm, xuyên suốt trên khắp lĩnh vực toán học. Tương tự như hằng số Bản mẫu:Pi, Bản mẫu:Mvar là một số vô tỉ (không thể biểu diễn thành tỉ số giữa hai số nguyên) và là số siêu việt (không phải là nghiệm của một phương trình đa thức khác không với hệ số hữu tỉ). Giá trị của Bản mẫu:Mvar đến 30 chữ số thập phân là: Bản mẫu:Block indent

Định nghĩa

Số Bản mẫu:Mvar là giới hạn

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n,$

một biểu thức xuất hiện trong tính toán lãi kép.

Bản mẫu:Mvar là tổng của chuỗi vô hạn

$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\cdots .$

Bản mẫu:Mvar là số dương Bản mẫu:Mvar duy nhất sao cho đồ thị hàm số Bản mẫu:Math có hệ số góc bằng 1 tại Bản mẫu:Math.

Ta có $e=\exp (1),$ trong đó $\exp$ là hàm mũ (tự nhiên), hàm số duy nhất bằng với đạo hàm của chính nó và thỏa mãn phương trình $\exp (0)=1.$ Do đó, Bản mẫu:Mvar cũng chính là cơ số của logarit tự nhiên, hàm ngược của hàm mũ tự nhiên.

Số Bản mẫu:Mvar còn được đặc trưng bởi tích phân

${\int }_1^e\frac{dx}{x}=1.$

Bản mẫu:Mvar có một số cách biểu diễn khác nữa; xem thêm trong mục Bản mẫu:Slink.

Lịch sử

Số Bản mẫu:Mvar được liên hệ lần đầu tiên vào năm 1618 ở bảng phụ lục trong công trình của John Napier về logarit, nhưng bảng đó lại không nhắc đến trực tiếp về hằng số mà chỉ liệt kê danh sách giá trị của [[Logarit tự nhiên|logarit cơ số Bản mẫu:Mvar]]. Bảng này được cho là do William Oughtred biên soạn. Đến năm 1661, Christiaan Huygens đã nghiên cứu cách tính logarit bằng phương pháp hình học và tính toán ra được một số giống với logarit cơ số 10 của Bản mẫu:Mvar, nhưng ông không xem Bản mẫu:Mvar là đại lượng đáng quan tâm.

Jacob Bernoulli lần đầu tiên giới thiệu hằng số Bản mẫu:Mvar vào năm 1683 để giải quyết bài toán tính lãi kép liên tục. Trong lời giải của ông, Bản mẫu:Mvar xuất hiện dưới dạng giới hạn

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n,$

trong đó Bản mẫu:Mvar là số chu kỳ tính lãi kép trong một năm (ví dụ, Bản mẫu:Math nếu tính lãi hằng tháng).

Ký hiệu đầu tiên được sử dụng cho hằng số là chữ Bản mẫu:Math trong thư của Gottfried Leibniz gửi Christiaan Huygens vào năm 1690 và 1691.

Leonhard Euler bắt đầu sử dụng chữ Bản mẫu:Mvar làm ký hiệu cho hằng số vào khoảng năm 1727 hoặc 1728 trong một bài báo không được xuất bản về sức nổ của súng thần công, cũng như trong thư gửi Christian Goldbach vào ngày 25 tháng 11 năm 1731. Chữ Bản mẫu:Mvar lần đầu hiện diện ở một tác phẩm đã xuất bản trong cuốn Mechanica (1736) của Euler. Không rõ lý do mà Euler chọn chữ cái Bản mẫu:Mvar là gì. Dù một số nhà nghiên cứu sử dụng chữ Bản mẫu:Mvar trong những năm tiếp theo, nhưng chữ Bản mẫu:Mvar có độ phổ biến cao hơn và dần trở thành tiêu chuẩn về sau này.

Euler là người đã chứng tỏ Bản mẫu:Mvar là tổng của chuỗi vô hạn

$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots ,$

với Bản mẫu:Math là giai thừa của Bản mẫu:Mvar. Sự tương đương giữa hai cách biểu diễn theo giới hạn và chuỗi vô hạn có thể được chứng minh qua định lý nhị thức.

Ứng dụng

Lãi kép

Tập tin:Compound Interest with Varying Frequencies.svg

Kết quả khi nhận lãi suất 20% mỗi năm trên khoản đầu tư 1.000 đô la theo nhiều chu kỳ tính lãi khác nhau. Đường giới hạn trên cùng là đồ thị $y=1000e^{0,2t}$, trong đó Bản mẫu:Mvar tính bằng đô la, Bản mẫu:Mvar tính bằng năm và 0,2 = 20%.

Jacob Bernoulli lần đầu tiên tìm ra hằng số Bản mẫu:Mvar vào năm 1683 khi nghiên cứu một bài toán về lãi kép:Bản mẫu:Blockquote

Nếu lãi được tính hai lần trong năm thì lãi suất cho mỗi 6 tháng sẽ là 50%, do đó 1 tỷ đồng ban đầu được nhân hai lần cho 1,5 để có 1,00 × 1,5² = 2,25 tỷ vào cuối năm. Khi tính lãi theo quý thì ta có 1,00 × 1,25⁴ = 2,4414... tỷ, còn tính lãi theo tháng được 1,00 × (1 + 1/12)¹² = 2,613035... tỷ. Nếu có Bản mẫu:Math chu kỳ tính lãi thì lãi suất trên chu kỳ sẽ là Bản mẫu:Math và số dư vào cuối năm sẽ là 1,00 × Bản mẫu:Math tỷ đồng.

Bernoulli nhận thấy dãy số này tiến dần về một giới hạn với Bản mẫu:Mvar càng lớn và chu kỳ tính lãi càng nhỏ. Phép tính lãi theo tuần (Bản mẫu:Math) được 2,692597... tỷ đồng, còn tính lãi theo ngày (Bản mẫu:Math) thì được 2,714567... tỷ, chỉ nhiều hơn khoảng 22 triệu. Giới hạn khi Bản mẫu:Mvar tăng lên chính là một con số được gọi là hằng số Bản mẫu:Mvar. Điều này có nghĩa là khi tính lãi liên tục thì số dư của tài khoản sẽ tiệm cận đến 2,7182818... tỷ đồng. Tổng quát hơn, một tài khoản có số dư ban đầu là 1 tỷ và nhận lãi suất hằng năm là Bản mẫu:Mvar thì sau Bản mẫu:Mvar năm sẽ nhận được Bản mẫu:Math tỷ đồng khi tính lãi liên tục. Ở đây Bản mẫu:Mvar là một số thực bằng với lãi suất phần trăm hằng năm, theo đó với lãi suất 5% thì Bản mẫu:Math.

Phép thử Bernoulli

Tập tin:Bernoulli trial sequence.svg

Biểu đồ xác suất Bản mẫu:Mvar để một biến cố độc lập với xác suất xảy ra là Bản mẫu:Math không xảy ra sau Bản mẫu:Mvar phép thử Bernoulli, cùng với so sánh giữa Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Mvar. Có thể thấy khi Bản mẫu:Mvar tăng thì xác suất để một biến cố với xác suất xảy ra Bản mẫu:Math không xảy ra sau Bản mẫu:Mvar lần thử tiệm cận rất nhanh về Bản mẫu:Math.

Số Bản mẫu:Mvar cũng có ứng dụng trong lý thuyết xác suất theo cách thức không có liên hệ rõ ràng với tăng trưởng theo cấp số nhân. Giả sử một người chơi một máy đánh bạc Bản mẫu:Mvar lần và xác suất để thắng là một phần Bản mẫu:Mvar. Khi Bản mẫu:Mvar tăng lên, xác suất để người đó thua tất cả Bản mẫu:Mvar lần chơi dần tiệm cận về Bản mẫu:Math hay xấp xỉ 36,79%. Với Bản mẫu:Math thì xác suất này đã là 1/2,789509... (khoảng 35,85%).

Đó là một ví dụ về phép thử Bernoulli. Với mỗi lần chơi máy đánh bạc thì người chơi ở trên sẽ có một phần Bản mẫu:Mvar xác suất chiến thắng. Phép chơi Bản mẫu:Mvar lần được mô hình hóa bằng phân phối nhị thức, vốn có liên hệ mật thiết với định lý nhị thức và tam giác Pascal. Xác suất để thắng Bản mẫu:Mvar lần trên Bản mẫu:Mvar lần chơi là:

$Pr[k\text{lần thắng trên}n]=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\left(\frac{1}{n}\right)}^k{(1-\frac{1}{n})}^{n-k}.$

Đặc biệt, xác suất để người chơi không thắng lần nào (Bản mẫu:Math) là

$Pr[0\text{lần thắng trên}n]={(1-\frac{1}{n})}^n.$

Giới hạn của biểu thức trên khi Bản mẫu:Mvar tiến về vô cực là Bản mẫu:Math.

Tăng trưởng và phân rã theo cấp số mũ

Tăng trưởng theo cấp số nhân là quá trình gia tăng số lượng theo thời gian với tốc độ ngày càng lớn. Điều này xảy ra khi tốc độ thay đổi tức thời (hay đạo hàm) của một đại lượng theo thời gian tỉ lệ thuận với giá trị của đại lượng đó. Khi mô tả dưới dạng hàm số, đại lượng đang tăng theo cấp số nhân là một hàm lũy thừa theo thời gian mà trong đó biến đại diện cho thời gian là số mũ (trái với các loại tăng trưởng khác, ví dụ như tăng trưởng bậc hai). Nếu hằng số tỉ lệ thuận là âm thì đại lượng đó sẽ giảm dần theo thời gian và được gọi là đang phân rã theo cấp số mũ. Định luật về tăng trưởng theo cấp số nhân có thể được viết theo hai dạng biểu thức tương đương về mặt toán học sử dụng cơ số khác nhau, mà ở đây số Bản mẫu:Mvar là một cơ số thường gặp và có thể sử dụng để viết cho ngắn gọn:

$x(t)=x_0\cdot e^{kt}=x_0\cdot e^{t/\tau }.$

Trong đẳng thức trên, Bản mẫu:Math là giá trị ban đầu của đại lượng Bản mẫu:Mvar, Bản mẫu:Mvar là hằng số tăng trưởng và Bản mẫu:Math là thời gian để giá trị của đại lượng tăng lên gấp Bản mẫu:Mvar lần.

Phân phối chuẩn tắc

Phân phối chuẩn với trung bình bằng 0 và độ lệch chuẩn bằng 1 được gọi là phân phối chuẩn tắc và được cho bởi hàm mật độ xác suất

$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2}.$

Ràng buộc phương sai bằng 1 (hay độ lệch chuẩn bằng 1) dẫn đến phân số Bản mẫu:Sfrac trong số mũ, còn ràng buộc tổng diện tích dưới đường cong Bản mẫu:Math bằng 1 dẫn đến hệ số $1/\sqrt{2\pi }$. Hàm số này đối xứng quanh Bản mẫu:Math, tại đó nó đạt giá trị lớn nhất là $1/\sqrt{2\pi }$, đồng thời có các điểm uốn tại Bản mẫu:Math.

Xáo trộn

Một ứng dụng khác của Bản mẫu:Mvar, vốn cũng do Jacob Bernoulli và Pierre Raymond de Montmort khám phá một phần, nằm trong bài toán về xáo trộn hay còn gọi là bài toán trả mũ. Có Bản mẫu:Mvar vị khách được mời đến một bữa tiệc và họ phải trả mũ của mình cho quản gia. Quản gia sẽ đặt số mũ này vào Bản mẫu:Mvar hộp, mỗi hộp được ghi tên của một vị khách duy nhất. Nhưng quản gia lại không hỏi trước tên của các vị khách nên việc xếp mũ vào hộp được thực hiện một cách ngẫu nhiên. Bài toán của de Montmort là tìm xác suất để không có chiếc mũ nào được xếp vào đúng hộp. Xác suất này (ký hiệu Bản mẫu:Math) là:

$p_n=1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{(-1{)}^n}{n!}=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}.$

Khi Bản mẫu:Mvar tiến đến vô hạn thì Bản mẫu:Math tiệm cận về Bản mẫu:Math. Ngoài ra, số cách xếp mũ vào hộp để có kết quả thuận lợi cho biến cố nói trên là Bản mẫu:Math (làm tròn đến hàng đơn vị) với mọi số nguyên dương Bản mẫu:Math.

Bài toán kế hoạch tối ưu

Giá trị lớn nhất của $\sqrt[x]{x}$ xảy ra tại Bản mẫu:Math. Một cách tương đương, với mọi cơ số Bản mẫu:Math thì giá trị lớn nhất của $x^{-1}{\log }_{b}x$ xảy ra tại Bản mẫu:Math (bài toán Steiner, được đề cập bên dưới).

Tính chất trên giúp ích cho bài toán cắt một đoạn dây có độ dài Bản mẫu:Mvar thành Bản mẫu:Mvar đoạn bằng nhau. Giá trị của Bản mẫu:Mvar để tích các độ dài này lớn nhất là

$n=\lfloor \frac{L}{e}\rfloor$ hoặc $\lceil \frac{L}{e}\rceil .$

Đại lượng $x^{-1}{\log }_{b}x$ chính là phép đo lượng thông tin trích xuất được từ một biến cố xảy ra với xác suất Bản mẫu:Math (xấp xỉ 36,8% khi Bản mẫu:Math), vì vậy cách chia tối ưu tương tự như trên cũng hiện diện trong các bài toán kế hoạch tối ưu như bài toán thư ký.

Tiệm cận

Số Bản mẫu:Mvar xuất hiện một cách tự nhiên khi liên hệ với nhiều bài toán liên quan đến tiệm cận. Một ví dụ là công thức Stirling về tiệm cận của hàm giai thừa có sự xuất hiện của cả hai số Bản mẫu:Mvar và [[Pi|Bản mẫu:Pi]]:

$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n.$

Kéo theo đó

$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.$

Entropy

Hằng số Bản mẫu:Mvar có vai trò đặc biệt đối với lý thuyết về entropy trong khuôn khổ lý thuyết xác suất và lý thuyết ergodic. Ý tưởng cơ bản ở đây là xét một phân hoạch của không gian xác suất thành một số hữu hạn các tập hợp đo được Bản mẫu:Math, với entropy là lượng thông tin thu được liên quan đến phân phối xác suất bằng cách thực hiện một phép lấy mẫu ngẫu nhiên (hay "thí nghiệm"). Entropy của phân hoạch đó là

$H(\xi )=-\sum _{i=1}^{k}p(A_i)\ln p(A_i).$

Hàm số Bản mẫu:Math chỉ lượng entropy đóng góp bởi một phần tử bất kỳ của phân hoạch Bản mẫu:Math. Hàm này đạt giá trị lớn nhất khi Bản mẫu:Math. Điều này tức là lượng entropy đóng góp từ biến cố Bản mẫu:Math sẽ đạt lớn nhất khi Bản mẫu:Math, còn các kết quả có khả năng xảy ra lớn hơn hoặc bé hơn sẽ đóng góp ít hơn vào tổng entropy.

Tính chất

Vi tích phân

Tập tin:Exp derivative at 0.svg

Đồ thị của hàm Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Math (đường kẻ chấm), Bản mẫu:Math (đường màu xanh) và Bản mẫu:Math (đường nét đứt). Chúng đều đi qua điểm Bản mẫu:Math, nhưng đường màu đỏ (hệ số góc là Bản mẫu:Math) chỉ là tiếp tuyến của hàm Bản mẫu:Math tại đó.

Tập tin:Ln+e.svg

Giá trị của hàm logarit tự nhiên tại đối số Bản mẫu:Mvar hay Bản mẫu:Math bằng Bản mẫu:Math

Cơ sở chủ yếu cho sự ra đời của số Bản mẫu:Mvar (nhất là trong vi tích phân) là từ các phép tính vi phân và tích phân với hàm mũ và logarit. Tổng quát, hàm mũ Bản mẫu:Math có đạo hàm được cho bởi giới hạn:

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}{a}^x& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^x{a}^h-a^x}{h}\\ & =a^x\cdot \left(\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^h-1}{h}\right).\end{array}$

Giới hạn trong ngoặc ở bên phải không phụ thuộc vào biến Bản mẫu:Mvar và có giá trị chính là logarit cơ số Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Mvar. Vì vậy, khi đặt giá trị của Bản mẫu:Mvar bằng Bản mẫu:Mvar thì giới hạn trên bằng Bản mẫu:Math, từ đó ta suy ra đồng nhất thức đơn giản sau:

$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x.$

Vì vậy, hàm mũ cơ số Bản mẫu:Mvar rất phù hợp để làm việc với vi tích phân. Lựa chọn số Bản mẫu:Mvar thay vì bất kỳ số nào khác làm cơ số của hàm mũ giúp các phép tính liên quan đến đạo hàm trở nên dễ dàng hơn nhiều.

Một cách tiếp cận khác đến từ việc xét đạo hàm của logarit cơ số Bản mẫu:Math (Bản mẫu:Math) với Bản mẫu:Math:

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}{\log }_{a}x& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{{\log }_a(x+h)-{\log }_a(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{{\log }_a(1+h/x)}{x\cdot h/x}\\ & =\frac{1}{x}{\log }_a(\underset{u\to 0}{lim}(1+u{)}^{\frac{1}{u}})\\ & =\frac{1}{x}{\log }_{a}e,\end{array}$

trong đó đặt Bản mẫu:Math. Logarit cơ số Bản mẫu:Math của Bản mẫu:Mvar bằng 1 nếu Bản mẫu:Math bằng Bản mẫu:Mvar, do đó

$\frac{d}{dx}{\log }_{e}x=\frac{1}{x}.$

Logarit với cơ số đặc biệt này được gọi là logarit tự nhiên và được ký hiệu là Bản mẫu:Math. Logarit tự nhiên hành xử tốt dưới phép vi phân do ta không cần phải dùng đến giới hạn chưa biết trong quá trình tính toán.

Như vậy, có hai cách để tìm một số Bản mẫu:Math đặc biệt như thế. Cách thứ nhất là cho đạo hàm của hàm mũ Bản mẫu:Math bằng với Bản mẫu:Math rồi giải phương trình để tìm Bản mẫu:Mvar. Cách thứ hai là cho đạo hàm của logarit cơ số Bản mẫu:Mvar bằng Bản mẫu:Math và giải tương tự. Dù là cách nào đi nữa, ta cũng đi tới việc lựa chọn một cơ số thích hợp nhất để làm việc với vi tích phân. Có thể thấy nghiệm Bản mẫu:Mvar tìm được từ hai cách đã nêu thực chất là giống nhau và cùng bằng số Bản mẫu:Mvar.

Tập tin:Area under rectangular hyperbola.svg

Đồ thị hyperbol $xy=1$, trong đó cả năm vùng được tô màu đều có diện tích bằng 1

Chuỗi Taylor của hàm mũ Bản mẫu:Math được suy ra từ tính chất rằng hàm số này có đạo hàm bằng chính nó và có giá trị bằng 1 tại Bản mẫu:Math:

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}.$

Khi thay Bản mẫu:Math thì ta có định nghĩa của Bản mẫu:Mvar dưới dạng tổng của một chuỗi vô hạn.

Hàm logarit tự nhiên có thể định nghĩa là tích phân của Bản mẫu:Math từ 1 đến Bản mẫu:Mvar, còn hàm mũ có thể định nghĩa là hàm ngược của logarit tự nhiên. Số Bản mẫu:Mvar là giá trị của hàm mũ tại Bản mẫu:Math, hay nói tương đương là số sao cho logarit tự nhiên bằng 1. Theo đó, Bản mẫu:Mvar là số thực dương duy nhất sao cho

${\int }_1^e\frac{1}{t}dt=1.$

Vì Bản mẫu:Math là hàm số duy nhất (xê xích một phép nhân hằng số Bản mẫu:Mvar) bằng với đạo hàm của chính nó,

$\frac{d}{dx}K{e}^x=K{e}^x,$

nên hàm số này cũng có nguyên hàm bằng chính nó:

$\int K{e}^{x}dx=K{e}^x+C.$

Một cách tương đương, họ các hàm số

$y(x)=K{e}^x$

với Bản mẫu:Mvar là số thực hay số phức bất kỳ, là toàn bộ nghiệm của phương trình vi phân

$y^{\prime }=y.$

Bất đẳng thức

Đồ thị của hàm mũ Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math cắt đường thẳng Bản mẫu:Math lần lượt tại Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math. Số Bản mẫu:Mvar là cơ số duy nhất của hàm mũ sao cho đồ thị Bản mẫu:Math cắt đường thẳng tại giao điểm duy nhất Bản mẫu:Math. Ta có thể thấy giá trị của Bản mẫu:Mvar nằm giữa 2 và 4.

Bản mẫu:Mvar là số thực duy nhất thỏa mãn

${(1+\frac{1}{x})}^x<e<{(1+\frac{1}{x})}^{x+1}$

với mọi số dương Bản mẫu:Math.

Đồng thời, ta cũng có bất đẳng thức

$e^x\ge x+1$

với mọi số thực Bản mẫu:Math, và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Bản mẫu:Math. Hơn nữa, Bản mẫu:Math là cơ số duy nhất của hàm mũ để bất đẳng thức Bản mẫu:Math đúng với mọi Bản mẫu:Math. Đó là một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Bernoulli.

Hàm tựa mũ

Tập tin:Xth root of x.svg

Giá trị lớn nhất của Bản mẫu:Math đạt được tại Bản mẫu:Math.

Bài toán Steiner yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của hàm số

$f(x)=x^{\frac{1}{x}}.$

Giá trị lớn nhất này đạt được tại Bản mẫu:Math. (Ta có thể kiểm chứng rằng đạo hàm của Bản mẫu:Math bằng 0 chỉ ở giá trị này của Bản mẫu:Mvar.) Để chứng minh, từ bất đẳng thức Bản mẫu:Math ở trên, đặt Bản mẫu:Math rồi rút gọn thì ta có Bản mẫu:Math. Do đó Bản mẫu:Math với mọi số dương Bản mẫu:Mvar.

Tương tự, Bản mẫu:Math là điểm sao cho hàm số

$f(x)=x^x$

đạt giá trị nhỏ nhất.

Tetration vô hạn

$x^{x^{x^{{\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}}}}$ hay ${}^{\mathrm{\infty }}x$

hội tụ khi và chỉ khi Bản mẫu:Math (nằm giữa 0,06599 và 1,4447). Kết quả này được chứng minh từ một định lý của Leonhard Euler.

Lý thuyết số

Số thực Bản mẫu:Mvar là một số vô tỉ. Euler chứng minh được điều này bằng cách cho thấy liên phân số của số Bản mẫu:Mvar có thể được mở rộng ra vô hạn. (Xem thêm cách chứng minh của Fourier.) Hơn nữa, theo định lý Lindemann–Weierstrass thì Bản mẫu:Mvar là một số siêu việt, có nghĩa là nó không phải là nghiệm của bất kỳ phương trình đa thức khác không với hệ số hữu tỉ. Charles Hermite chứng minh được tính chất này vào năm 1873. Số Bản mẫu:Mvar là một trong số ít các số siêu việt mà người ta đã biết giá trị chính xác của độ đo tính vô tỉ (Bản mẫu:Math).

Một bài toán chưa có lời giải cho đến nay là liệu hai số Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Pi có độc lập về mặt đại số hay không. Việc giải quyết bài toán này phụ thuộc vào giả thuyết Schanuel, một phát biểu tổng quát hóa của định lý Lindemann–Weierstrass hiện vẫn chưa được chứng minh.

Có phỏng đoán cho rằng Bản mẫu:Mvar là số bình thường, có nghĩa là khi Bản mẫu:Math được biểu diễn trên bất kỳ hệ đếm cơ số nào thì các chữ số có thể có trong hệ đếm đó được phân phối đều (xuất hiện với xác suất bằng nhau trong bất kỳ dãy số nào với độ dài cho trước). Một phỏng đoán khác cho rằng Bản mẫu:Mvar không thể được biểu diễn dưới dạng tích phân của một hàm số đại số trên tập xác định đại số (hằng số Bản mẫu:Pi có tính chất này).

Số phức

Hàm mũ Bản mẫu:Math có thể được viết thành chuỗi Taylor

$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$

Vì tính chất hội tụ với mọi giá trị phức của Bản mẫu:Math nên chuỗi trên có thể được sử dụng để mở rộng khái niệm của hàm số Bản mẫu:Math cho số phức. Kết hợp với chuỗi Taylor cho [[Hàm lượng giác|Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math]], ta suy ra được công thức Euler đúng với mọi số phức Bản mẫu:Mvar:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Trường hợp đặc biệt với Bản mẫu:Math là đồng nhất thức Euler:

$e^{i\pi }+1=0,$

vốn được xem là ví dụ tiêu biểu nhất về vẻ đẹp của toán học do nó cho thấy mối liên hệ sâu sắc giữa những con số cơ bản nhất trong toán học. Đồng nhất thức Euler được áp dụng trực tiếp để chứng minh Bản mẫu:Pi là số siêu việt và cho thấy bài toán cầu phương hình tròn là không thể giải được. Từ đồng nhất thức trên, ta cũng suy ra trong nhánh đơn trị chính của logarit,

$\ln (-1)=i\pi .$

Ngoài ra, khi áp dụng các công thức lũy thừa, ta có

$(\cos x+i\sin x{)}^n={\left(e^{ix}\right)}^n=e^{inx}=\cos (nx)+i\sin (nx)$

với mọi số nguyên Bản mẫu:Mvar, cũng chính là công thức De Moivre.

Hai biểu thức biểu diễn Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math theo hàm mũ có thể được suy ra từ chuỗi Taylor ở trên:

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i},\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}.$

Biểu thức Bản mẫu:Math đôi khi còn được viết tắt là Bản mẫu:Math.

Biểu diễn

Số Bản mẫu:Mvar có thể được biểu diễn theo nhiều cách khác nhau, dưới dạng chuỗi vô hạn, tích vô hạn, liên phân số hay giới hạn của một dãy. Ngoài giới hạn và chuỗi đã cho ở trên, Bản mẫu:Mvar còn có dạng liên phân số

$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,\mathrm{...},1,2n,1,\mathrm{...}]$ (dãy số A003417 trong bảng OEIS)

hoặc được viết thành

$e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots }}}}}}}.$

Tích vô hạn sau có giá trị bằng Bản mẫu:Mvar:

$e=\frac{2}{1}{\left(\frac{4}{3}\right)}^{1/2}{\left(\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}\right)}^{1/4}{\left(\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}\right)}^{1/8}\cdots .$

Nhiều cách biểu diễn khác của Bản mẫu:Mvar dưới dạng chuỗi, dãy số, liên phân số và tích vô hạn cũng đã được chứng minh.

Biểu diễn ngẫu nhiên

Ngoài các biểu thức giải tích chính xác, Bản mẫu:Mvar còn có thể được tính gần đúng thông qua kỹ thuật ngẫu nhiên. Một trong những kỹ thuật đó bắt nguồn từ việc cho trước một dãy vô hạn các biến độc lập ngẫu nhiên Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math,... lấy từ phân phối đều trên [0, 1]. Gọi Bản mẫu:Mvar là số Bản mẫu:Mvar nhỏ nhất để tổng của Bản mẫu:Mvar quan sát đầu tiên lớn hơn 1:

$V=min\{n\mid X_1+X_2+\cdots +X_n>1\}.$

Khi đó giá trị kỳ vọng của Bản mẫu:Mvar là Bản mẫu:Mvar hay Bản mẫu:Math.

Số chữ số đã biết

Số chữ số đã biết của Bản mẫu:Mvar đã tăng lên đáng kể từ khi máy tính được phát minh do sự gia tăng hiệu suất máy tính và nhiều cải tiến về thuật toán.

Số chữ số thập phân đã biết của Bản mẫu:Mvar

Năm	Số chữ số	Tính toán thực hiện bởi
1690	1	Jacob Bernoulli
1714	13	Roger Cotes
1748	23	Leonhard Euler
1853	137	William Shanks
1871	205	William Shanks
1884	346	J. Marcus Boorman
1926	707	Derrick Henry Lehmer
1944	808	Peder Pedersen
1949	2.010	John von Neumann (trên ENIAC)
1961	100.265	Daniel Shanks và John Wrench
1978	116.000	Steve Wozniak trên Apple II

Từ khoảng năm 2010, sự ra đời của máy tính để bàn hiện đại tốc độ cao đã làm tăng tính khả thi của quá trình tính toán hàng nghìn tỷ chữ số của Bản mẫu:Mvar trong một khoảng thời gian chấp nhận được. Tính đến ngày 24 tháng 12 năm 2023, Bản mẫu:Mvar đã được tính đến 35 nghìn tỷ chữ số thập phân.

Tính toán chữ số

Một cách để tìm các chữ số của Bản mẫu:Mvar là thông qua chuỗi

$e=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}.$

Có một kỹ thuật tính toán nhanh hơn sử dụng hai hàm đệ quy Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math định nghĩa như sau:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{p(a,b)}{q(a,b)})=\{\begin{array}{cc}(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{b}),& \text{nếu }b=a+1\text{,}\\ (\genfrac{}{}{0ex}{}{p(a,m)q(m,b)+p(m,b)}{q(a,m)q(m,b)}),& \text{nếu ngược lại, trong đó }m=\lfloor (a+b)/2\rfloor .\end{array}$

Biểu thức

$1+\frac{p(0,n)}{q(0,n)}$

cho giá trị là tổng từng phần thứ Bản mẫu:Mvar của chuỗi nói trên. Phương pháp này sử dụng phép chia đôi để tính Bản mẫu:Mvar với số phép toán số học một chữ số ít hơn và giảm độ phức tạp bit xuống. Kết hợp kỹ thuật trên cùng các phương pháp nhân số nguyên dựa trên biến đổi Fourier nhanh giúp quá trình tính toán chữ số của Bản mẫu:Mvar được thực hiện rất nhanh chóng.

Trong văn hóa máy tính

Trong sự xuất hiện của văn hóa Internet, nhiều tổ chức và cá nhân đã đôi lúc tỏ lòng kính trọng và tôn vinh số Bản mẫu:Mvar. Một trong những ví dụ đầu tiên là khi nhà khoa học máy tính Donald Knuth cho số phiên bản của phần mềm Metafont do ông phát triển tiến dần về số Bản mẫu:Mvar. Các phiên bản lần lượt là 2, 2.7, 2.71, 2.718,... Một ví dụ khác là hồ sơ IPO của Google năm 2004, trong đó công ty đặt mục tiêu huy động được đúng 2.718.281.828 đô la Mỹ, tức là Bản mẫu:Mvar tỷ đô la làm tròn đến hàng đơn vị.

Google cũng đã từng làm một biển quảng cáo đặt tại trung tâm thung lũng Silicon và sau đó tại Cambridge, Massachusetts, Seattle, Washington và Austin, Texas, trong đó ghi "{first 10-digit prime found in consecutive digits of Bản mẫu:Mvar}.com" (tạm dịch "{số nguyên tố có 10 chữ số đầu tiên trong dãy chữ số liên tiếp của Bản mẫu:Mvar}.com"). Số nguyên tố có 10 chữ số đầu tiên trong Bản mẫu:Mvar là 7427466391, bắt đầu từ chữ số thứ 99. Khi giải được bài toán và truy cập vào website được quảng cáo (hiện không còn tồn tại) thì người giải được dẫn đến một bài toán khó hơn là tìm số thứ năm trong dãy số 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391. Dãy số này bao gồm các số có 10 chữ số thuộc dãy chữ số liên tiếp của Bản mẫu:Mvar có tổng các chữ số bằng 49. Số thứ năm cần tìm trong dãy là 5966290435, bắt đầu từ chữ số thứ 127. Sau khi giải bài toán thứ hai thì người truy cập được dẫn đến trang web Google Labs để có cơ hội nộp sơ yếu lý lịch.

Phiên bản chính thức cuối cùng của trình thông dịch Python 2 là 2.7.18, một mã số phiên bản gần giống nhất với giá trị xấp xỉ của Bản mẫu:Mvar.

Xem thêm

• Pi

Liên kết ngoài

• [[gutenberg:127|Số Bản mẫu:Mvar tới 1 triệu chữ số thập phân]] và 2 và 5 triệu chữ số thập phân
• Bản mẫu:Mvar Approximations trên Wolfram MathWorld
• Earliest Uses of Symbols for Constants Bản mẫu:Webarchive. Cập nhật ngày 23 tháng 6 năm 2017
• "The story of Bản mẫu:Mvar" của Robin Wilson tại Đại học Gresham ngày 28 tháng 2 năm 2007
• Bản mẫu:Mvar Search Engine (tìm kiếm 2 tỷ chữ số trong Bản mẫu:Mvar, Bản mẫu:Pi và Bản mẫu:Radic)