Hàm tri

Hàm tri.

Hàm tri hay còn gọi là hàm tam giác là một hàm số toán học được định nghĩa như sau:

$\begin{array}{cc}\mathrm{tri}(t)=\wedge (t)& \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}max(1-|t|,0)\\ & =\{\begin{array}{cc}1-|t|,& |t|<1\\ 0,& \text{khác}\end{array}\end{array}$

Hoặc tương đương với tích chập của 2 hàm rect đơn vị giống nhau:

$\begin{array}{cc}\mathrm{tri}(t)=\mathrm{rect}(t)\ast \mathrm{rect}(t)& \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\tau )\cdot \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t-\tau )d\tau \\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\tau )\cdot \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\tau -t)d\tau .\end{array}$

Tích chập của 2 hàm rect là 1 hàm tri.

Hàm tri cũng có thể được biểu diễn bởi hàm rect và hàm trị tuyệt đối:

$\mathrm{tri}(t)=\mathrm{rect}(t/2)(1-\left|t\right|)$

Hàm số này được sử dụng nhiều trong xử lý tín hiệu và kỹ thuật truyền thông.

Mở rộng

Với các giá trị $a\ne 0$ :

$\begin{array}{cc}\mathrm{tri}(t/a)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\tau )\cdot \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\tau -t/a)d\tau \\ & =\{\begin{array}{cc}1-|t/a|,& |t|<|a|\\ 0,& \text{khác}.\end{array}\end{array}$

Biến đổi Fourier

Biển đổi Fourier dễ dàng bằng cách sử dụng công thức tích chập của 2 hàm rect:

$\begin{array}{cc}ℱ\{\mathrm{tri}(t)\}& =ℱ\{\mathrm{rect}(t)\ast \mathrm{rect}(t)\}\\ & =ℱ\{\mathrm{rect}(t)\}\cdot ℱ\{\mathrm{rect}(t)\}\\ & =ℱ\{\mathrm{rect}(t){\}}^2\\ & ={\mathrm{s}\mathrm{i}}^2(f).\end{array}$

với si là hàm sinc không chuẩn.

Tham khảo

• Signalübertragung (ấn bản thứ 6.). Springer Verlag. 1995. ISBN 3-540-54824-6. {{Chú thích sách}}: |first= thiếu |last= (trợ giúp)