Định lý Ceva

Định lý Ceva là một định lý phổ biến trong hình học cơ bản. Cho một tam giác ABC, các điểm D, E, và F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, và AB sao cho không có điểm nào hoặc có đúng 2 điểm nằm ngoài tam giác ABC. Định lý phát biểu rằng các đường thẳng AD, BE và CF là những đường thẳng đồng quy khi và chỉ khi:

$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1$

Ngoài ra, định lý Ceva còn được phát biểu một cách tương đương trong lượng giác rằng: AD,BE,CF đồng quy khi và chỉ khi

$\frac{\sin \mathrm{\angle }BAD}{\sin \mathrm{\angle }CAD}\times \frac{\sin \mathrm{\angle }ACF}{\sin \mathrm{\angle }BCF}\times \frac{\sin \mathrm{\angle }CBE}{\sin \mathrm{\angle }ABE}=1$.

Tập tin:Ceva's theorem 1.svg

Định lý Ceva

Một đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác gọi là đường thẳng Ceva ứng với đỉnh đó.Một trong hình vẽ tam giác $DEF$ là một tam giác Ceva của tam giác ABC.

Chứng minh

Giả sử ta có: $AD$, $BE$ và $CF$ đồng quy tại một điểm $O$ nào đó (trong hay ngoài tam giác). Do $\mathrm{△}BOD$ và $\mathrm{△}COD$ có chung chiều cao (độ dài của đường cao), ta có: $\frac{|\mathrm{△}BOD|}{|\mathrm{△}COD|}=\frac{BD}{DC}.$ Tương tự, $\frac{|\mathrm{△}BAD|}{|\mathrm{△}CAD|}=\frac{BD}{DC}.$

Ta suy ra $\frac{BD}{DC}=\frac{|\mathrm{△}BAD|-|\mathrm{△}BOD|}{|\mathrm{△}CAD|-|\mathrm{△}COD|}=\frac{|\mathrm{△}ABO|}{|\mathrm{△}CAO|}(1).$

Tương tự,$\frac{CE}{EA}=\frac{|\mathrm{△}BCO|}{|\mathrm{△}ABO|}(2),$ $\frac{AF}{FB}=\frac{|\mathrm{△}CAO|}{|\mathrm{△}BCO|}(3).$

Nhân $(1)$,$(2)$,$(3)$ vế theo vế,ta được:$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1$( điều phải chứng minh)

Ngược lại, giả sử rằng ta đã có những điểm $D$, $E$ và $F$ thỏa mãn đẳng thức. Gọi giao điểm của $AD$ và $BE$ là $O$, và gọi giao điểm của $CO$ và $AB$ là $F^{\prime }$. Theo chứng minh trên, $\frac{A{F}^{\prime }}{F^{\prime }B}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1.$

Kết hợp với đẳng thức trên, ta nhận được: $\frac{A{F}^{\prime }}{F^{\prime }B}=\frac{AF}{FB}.$

$\Rightarrow \frac{A{F}^{\prime }+F^{\prime }B}{F^{\prime }B}=\frac{AF+FB}{FB}\iff \frac{AB}{F^{\prime }B}=\frac{AB}{FB}.$

Do đó $F^{\prime }B=FB$, nên $F$ và $F^{\prime }$ trùng nhau. Vì vậy $AD$, $BE$ và $CF$ đồng quy tại $O$, và định lý đã được chứng minh (là đúng theo cả hai chiều).

Tham khảo thêm

• Định lý Menelaus
• Định lý Carnot
• Định lý Routh
• Định lý Thales

Tham khảo

• Russell, John Wellesley (1905). "Ch. 1 §7 Ceva's Theorem". Pure Geometry. Clarendon Press.
• Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1995). "Ceva, Menelaus and the Area Principle". Mathematics Magazine. Quyển 68 số 4. tr. 254–268. doi:10.2307/2690569. JSTOR 2690569Bản mẫu:Inconsistent citations{{Chú thích tạp chí}}: Quản lý CS1: postscript (liên kết).
• Hogendijk, J. B. (1995). "Al-Mutaman ibn Hűd, 11the century king of Saragossa and brilliant mathematician". Historia Mathematica. Quyển 22. tr. 1–18. doi:10.1006/hmat.1995.1001.
• Landy, Steven (tháng 12 năm 1988). "A Generalization of Ceva's Theorem to Higher Dimensions". The American Mathematical Monthly. Quyển 95 số 10. tr. 936–939. doi:10.2307/2322390.
• Masal'tsev, L. A. (1994). "Incidence theorems in spaces of constant curvature". Journal of Mathematical Sciences. Quyển 72 số 4. tr. 3201–3206. doi:10.1007/BF01249519.
• Wernicke, Paul (tháng 11 năm 1927). "The Theorems of Ceva and Menelaus and Their Extension". The American Mathematical Monthly. Quyển 34 số 9. tr. 468–472. doi:10.2307/2300222.