Định lý Taniyama–Shimura

Trong lý thuyết số, định lý mô-đun (tiếng Anh: modularity theorem) phát biểu rằng các đường cong elliptic trên trường số hữu tỉ có liên hệ mật thiết với các dạng mô-đun theo một cách cụ thể. Andrew Wiles và Richard Taylor đã chứng minh định lý mô-đun cho các đường cong elliptic bán ổn định, điều này đủ để suy ra Định lý lớn Fermat. Sau đó, một loạt các bài báo của các học trò cũ của Wiles bao gồm Brian Conrad, Fred Diamond và Richard Taylor, kết hợp trong bài viết chung với Christophe Breuil, đã mở rộng các kỹ thuật của Wiles để chứng minh định lý mô-đun đầy đủ vào năm 2001. Trước đó, phát biểu này được biết đến với tên gọi giả thuyết Taniyama–Shimura, giả thuyết Taniyama–Shimura–Weil, hoặc giả thuyết mô-đun cho các đường cong elliptic.

Phát biểu

Định lý phát biểu rằng bất kỳ đường cong elliptic nào trên $\mathbb{Q}$ đều có thể nhận được thông qua một ánh xạ hữu tỉ với các hệ số nguyên từ đường cong mô-đun cổ điển $X_0(N)$ đối với một số nguyên $N$ nào đó; đây là một đường cong với các hệ số nguyên có định nghĩa rõ ràng. Ánh xạ này được gọi là một phép tham số hóa mô-đun bậc $N$. Nếu $N$ là số nguyên nhỏ nhất mà ta có thể tìm được phép tham số hóa như vậy (mà theo chính định lý mô-đun, giờ đây được biết đến là một số gọi là độ dẫn), thì phép tham số hóa có thể được định nghĩa dưới dạng một ánh xạ được tạo ra bởi một loại dạng mô-đun đặc biệt có trọng lượng hai và bậc $N$, cụ thể là một dạng mới chuẩn hóa với khai triển $q$ nguyên, tiếp theo sau (nếu cần thiết) bởi một đồng cấu isogeny.

Các phát biểu liên quan

Định lý mô-đun suy ra một phát biểu giải tích có liên quan chặt chẽ:

Với mỗi đường cong elliptic $E$ trên $\mathbb{Q}$ ta có thể gắn với nó một chuỗi $L$ tương ứng. Chuỗi $L$ là một chuỗi Dirichlet, thường được viết là:

$L(E,s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s}$

Hàm sinh của các hệ số $a_n$ khi đó là:

$f(E,q)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{q}^n$

Nếu chúng ta thực hiện phép thế

$q=e^{2\pi i\tau }$

ta thấy rằng ta đã viết khai triển Fourier của một hàm số $f(E,\tau )$ theo biến phức $\tau$, do đó các hệ số của chuỗi $q$ cũng được coi là các hệ số Fourier của $f$. Đáng chú ý là, hàm số thu được theo cách này là một dạng đỉnh có trọng lượng hai và bậc $N$, đồng thời cũng là một dạng riêng (eigenform - một vectơ riêng của tất cả các toán tử Hecke); đây chính là giả thuyết Hasse–Weil, một hệ quả trực tiếp từ định lý mô-đun.

Ngược lại, một số dạng mô-đun có trọng lượng hai tương ứng với các vi phân chỉnh hình của một đường cong elliptic. Jacobian của đường cong mô-đun có thể được viết (sai khác một đồng cấu isogeny) dưới dạng tích của các đa tạp Abelian bất khả quy, tương ứng với các dạng riêng Hecke có trọng lượng 2. Các nhân tử 1 chiều là các đường cong elliptic (cũng có thể có các nhân tử nhiều chiều hơn, do đó không phải tất cả các dạng riêng Hecke đều tương ứng với các đường cong elliptic hữu tỉ). Đường cong thu được bằng cách tìm dạng đỉnh tương ứng, rồi dựng một đường cong từ nó, sẽ đồng cấu isogeny với đường cong ban đầu (nhưng nhìn chung không đẳng cấu với nó).

Lịch sử

Yutaka Taniyama đã phát biểu một phiên bản sơ bộ (hơi thiếu chính xác) của giả thuyết tại hội thảo quốc tế về lý thuyết số đại số năm 1955 ở Tokyo và Nikkō, dưới dạng bài toán thứ 12 trong 36 bài toán chưa có lời giải của ông. Goro Shimura và Taniyama đã cùng làm việc để cải thiện tính chặt chẽ của nó cho đến năm 1957. André Weil đã tái phát hiện giả thuyết này và chỉ ra vào năm 1967 rằng nó sẽ là hệ quả từ các phương trình hàm (được giả định) đối với một số chuỗi $L$ xoắn của đường cong elliptic; đây là bằng chứng nghiêm túc đầu tiên cho thấy giả thuyết này có thể đúng. Weil cũng chỉ ra rằng độ dẫn của đường cong elliptic phải là bậc của dạng mô-đun tương ứng. Giả thuyết Taniyama–Shimura–Weil đã trở thành một phần của chương trình Langlands.

Giả thuyết này đã thu hút sự quan tâm đáng kể khi Gerhard Frey gợi ý vào năm 1986 rằng nó sẽ kéo theo Định lý lớn Fermat. Ông thực hiện điều này bằng cách cố gắng chứng minh rằng bất kỳ phản ví dụ nào đối với Định lý lớn Fermat đều sẽ dẫn đến sự tồn tại của ít nhất một đường cong elliptic không mô-đun. Lập luận này đã tiến gần hơn đến mục tiêu vào năm 1987 khi Jean-Pierre Serre xác định được một mắt xích còn thiếu (hiện được gọi là giả thuyết epsilon hay định lý Ribet) trong công trình ban đầu của Frey, tiếp theo sau đó hai năm là việc Ken Ribet hoàn thành chứng minh cho giả thuyết epsilon.

Ngay cả sau khi nhận được sự chú ý lớn, giả thuyết Taniyama–Shimura–Weil vẫn được các nhà toán học đương thời coi là cực kỳ khó chứng minh hoặc thậm chí là không thể tiếp cận được. Ví dụ, người hướng dẫn luận án Tiến sĩ của Wiles là John Coates từng tuyên bố rằng nó dường như "không thể thực sự chứng minh được", và Ken Ribet tự nhận mình là "một trong số đại đa số những người tin rằng nó hoàn toàn không thể tiếp cận".

Với chứng minh của Ribet về giả thuyết epsilon, Andrew Wiles đã nhìn thấy một cơ hội: Định lý lớn Fermat giờ đây là một dự án nghiên cứu đáng giá vì nó đã trở thành một hệ quả trực tiếp của giả thuyết TSW. Ông vốn có chuyên môn sâu về lý thuyết Iwasawa; có lẽ sẽ có một con đường dẫn từ lý thuyết Iwasawa đến giả thuyết Taniyama–Shimura–Weil.

Vào năm 1995, Andrew Wiles, với sự trợ giúp từ Richard Taylor, đã chứng minh được giả thuyết Taniyama–Shimura–Weil cho tất cả các đường cong elliptic bán ổn định. Wiles đã sử dụng kết quả này để chứng minh Định lý lớn Fermat, và giả thuyết Taniyama–Shimura–Weil đầy đủ cuối cùng đã được chứng minh bởi Diamond, Conrad, Diamond & Taylor; và Breuil, Conrad, Diamond & Taylor; bằng cách xây dựng trên công trình của Wiles, họ đã từng bước giải quyết các trường hợp còn lại cho đến khi kết quả đầy đủ được chứng minh vào năm 1999. Sau khi được chứng minh trọn vẹn, giả thuyết này chính thức được gọi là định lý mô-đun.

Một số định lý trong lý thuyết số tương tự như Định lý lớn Fermat cũng tuân theo định lý mô-đun. Ví dụ: không có số lập phương nào có thể được viết dưới dạng tổng của hai lũy thừa bậc $n$ nguyên tố cùng nhau, với $n\ge 3$.

Vào năm 2025, tính mô-đun hóa đã được mở rộng cho hơn 10% các mặt abelian bởi Boxer, Calegari, Gee và Pilloni.

Tổng quát hóa

Định lý mô-đun là một trường hợp đặc biệt của các giả thuyết tổng quát hơn do Robert Langlands đề xuất. Chương trình Langlands tìm cách gán một dạng tự đẳng cấu hoặc biểu diễn tự đẳng cấu (một sự tổng quát hóa thích hợp của dạng mô-đun) cho các đối tượng tổng quát hơn của hình học đại số số học, chẳng hạn như cho mọi đường cong elliptic trên một trường số. Hầu hết các trường hợp của những giả thuyết mở rộng này vẫn chưa được chứng minh.

Vào năm 2013, Freitas, Le Hung, và Siksek đã chứng minh rằng các đường cong elliptic được định nghĩa trên các trường bậc hai thực đều mang tính mô-đun.

Ví dụ

Ví dụ đường cong elliptic $y^2+y=x^3-x$, có biệt thức (và độ dẫn) bằng 37, được liên kết với dạng:

$f(z)=q-2q^2-3q^3+2q^4-2q^5+6q^6+\cdots ,q=e^{2\pi iz}$

Với các số nguyên tố $l$ khác 37, ta có thể kiểm chứng tính chất này thông qua các hệ số. Cụ thể, với $l=3$, phương trình có 6 nghiệm modulo 3 là: $(0,0)$, $(0,1)$, $(1,0)$, $(1,1)$, $(2,0)$, $(2,1)$; do đó $a(3)=3-6=-3$.

Giả thuyết này, bắt nguồn từ những năm 1950, đã được chứng minh hoàn toàn vào năm 1999 bằng cách sử dụng các ý tưởng của Andrew Wiles, người đã chứng minh nó vào năm 1994 cho một họ lớn các đường cong elliptic.

Có một vài cách phát biểu khác nhau cho giả thuyết này. Việc chỉ ra rằng chúng tương đương là một thách thức lớn của lý thuyết số trong nửa sau thế kỷ 20. Tính mô-đun hóa của một đường cong elliptic $E$ có độ dẫn $N$ cũng có thể được phát biểu bằng cách nói rằng tồn tại một ánh xạ hữu tỉ không hằng số được định nghĩa trên $\mathbb{Q}$, từ đường cong mô-đun $X_0(N)$ đến $E$. Nói riêng, các điểm của $E$ có thể được tham số hóa bằng các hàm mô-đun.

Ví dụ, một phép tham số hóa mô-đun của đường cong $y^2-y=x^3-x$ được cho bởi

$\begin{array}{cc}x(z)& =q^{-2}+2q^{-1}+5+9q+18q^2+29q^3+51q^4+\cdots \\ y(z)& =q^{-3}+3q^{-2}+9q^{-1}+21+46q+92q^2+180q^3+\cdots \end{array}$

tương tự như trên, $q=e^{2\pi iz}$. Các hàm số $x(z)$ và $y(z)$ mang tính mô-đun có trọng lượng 0 và bậc 37; nói cách khác chúng là các hàm phân hình, được định nghĩa trên nửa mặt phẳng trên $\text{Im}(z)>0$ và thỏa mãn:

$x\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=x(z)$

và điều tương tự cũng đúng đối với $y(z)$, cho tất cả các số nguyên $a,b,c,d$ thỏa mãn $ad-bc=1$ và $37\mid c$.

Một cách phát biểu khác dựa trên việc so sánh các biểu diễn Galois gắn liền một mặt với các đường cong elliptic, mặt khác với các dạng mô-đun. Cách phát biểu thứ hai này đã được sử dụng trong việc chứng minh giả thuyết. Việc xử lý bậc của các dạng mô-đun (và mối liên hệ với độ dẫn của đường cong) là một công việc đặc biệt tinh tế.

Ứng dụng ngoạn một mục nhất của giả thuyết này là chứng minh Định lý lớn Fermat. Giả sử rằng đối với một số nguyên tố $p\ge 5$, phương trình Fermat

$a^p+b^p=c^p$

có nghiệm là các số nguyên khác không, từ đó tạo ra một phản ví dụ đối với Định lý lớn Fermat. Khi đó, như Yves Hellegouarch là người đầu tiên nhận thấy, đường cong elliptic

$y^2=x(x-a^p)(x+b^p)$

có biệt thức

$\Delta =\frac{1}{256}(abc{)}^{2p}$

không thể mang tính mô-đun. Do đó, việc chứng minh giả thuyết Taniyama–Shimura–Weil cho họ đường cong elliptic này (được gọi là các đường cong Hellegouarch–Frey) sẽ kéo theo Định lý lớn Fermat. Việc chứng minh mối liên kết giữa hai phát biểu này, dựa trên ý tưởng của Gerhard Frey (1985), là vô cùng khó khăn và mang tính kỹ thuật phức tạp. Nó đã được Kenneth Ribet thiết lập thành công vào năm 1987.

Tài liệu tham khảo

Thư mục tài liệu

• Breuil, Christophe; Conrad, Brian; Diamond, Fred; Taylor, Richard (2001), "On the modularity of elliptic curves over Q: wild 3-adic exercises", Journal of the American Mathematical Society, 14 (4): 843–939, doi:10.1090/S0894-0347-01-00370-8, ISSN 0894-0347, MR 1839918
• Conrad, Brian; Diamond, Fred; Taylor, Richard (1999), "Modularity of certain potentially Barsotti–Tate Galois representations", Journal of the American Mathematical Society, 12 (2): 521–567, doi:10.1090/S0894-0347-99-00287-8, ISSN 0894-0347, MR 1639612
• Cornell, Gary; Silverman, Joseph H.; Stevens, Glenn, biên tập (1997), Modular forms and Fermat's last theorem, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94609-2, MR 1638473
• Darmon, Henri (1999), "A proof of the full Shimura–Taniyama–Weil conjecture is announced" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 46 (11): 1397–1401, ISSN 0002-9920, MR 1723249Có phần giới thiệu ngắn gọn, dễ hiểu về định lý và phác thảo hướng chứng minh.
• Diamond, Fred (1996), "On deformation rings and Hecke rings", Annals of Mathematics, Second Series, 144 (1): 137–166, doi:10.2307/2118586, ISSN 0003-486X, JSTOR 2118586, MR 1405946
• Freitas, Nuno; Le Hung, Bao V.; Siksek, Samir (2015), "Elliptic curves over real quadratic fields are modular", Inventiones Mathematicae, 201 (1): 159–206, arXiv:1310.7088, Bibcode:2015InMat.201..159F, doi:10.1007/s00222-014-0550-z, ISSN 0020-9910, MR 3359051, S2CID 119132800
• Frey, Gerhard (1986), "Links between stable elliptic curves and certain Diophantine equations", Annales Universitatis Saraviensis. Series Mathematicae, 1 (1): iv+40, ISSN 0933-8268, MR 0853387
• Mazur, Barry (1991), "Number theory as gadfly", The American Mathematical Monthly, 98 (7): 593–610, doi:10.2307/2324924, ISSN 0002-9890, JSTOR 2324924, MR 1121312 Thảo luận về giả thuyết Taniyama–Shimura–Weil 3 năm trước khi nó được chứng minh thành công cho vô số trường hợp.
• Ribet, Kenneth A. (1990), "On modular representations of Gal(Bản mẫu:Overline/Q) arising from modular forms", Inventiones Mathematicae, 100 (2): 431–476, Bibcode:1990InMat.100..431R, doi:10.1007/BF01231195, hdl:10338.dmlcz/147454, ISSN 0020-9910, MR 1047143, S2CID 120614740
• Serre, Jean-Pierre (1987), "Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal(Bản mẫu:Overline/Q)", Duke Mathematical Journal, 54 (1): 179–230, doi:10.1215/S0012-7094-87-05413-5, ISSN 0012-7094, MR 0885783
• Shimura, Goro (1989), "Yutaka Taniyama and his time. Very personal recollections", The Bulletin of the London Mathematical Society, 21 (2): 186–196, doi:10.1112/blms/21.2.186, ISSN 0024-6093, MR 0976064
• Singh, Simon (1997), Fermat's Last Theorem, Fourth Estate, ISBN 978-1-85702-521-7
• Taniyama, Yutaka (1956), "Problem 12", Sugaku (bằng tiếng Nhật), 7: 269 Bản dịch tiếng Anh nằm trong tài liệu Bản mẫu:Harv
• Taylor, Richard; Wiles, Andrew (1995), "Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras", Annals of Mathematics, Second Series, 141 (3): 553–572, CiteSeerX 10.1.1.128.531, doi:10.2307/2118560, ISSN 0003-486X, JSTOR 2118560, MR 1333036
• Weil, André (1967), "Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen", Mathematische Annalen, 168: 149–156, doi:10.1007/BF01361551, ISSN 0025-5831, MR 0207658, S2CID 120553723
• Wiles, Andrew (1995a), "Modular elliptic curves and Fermat's last theorem", Annals of Mathematics, Second Series, 141 (3): 443–551, CiteSeerX 10.1.1.169.9076, doi:10.2307/2118559, ISSN 0003-486X, JSTOR 2118559, MR 1333035
• Wiles, Andrew (1995b), "Modular forms, elliptic curves, and Fermat's last theorem", Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Zürich, 1994), Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, tr. 243–245, MR 1403925