Sai số vòng tròn xác suất

Tập tin:Circular error probable - percentage.png

Khái niệm CEP và xác suất bắn trúng. 0.2% nằm ngoài vòng tròn ngoài cùng.

Sai số vòng tròn xác suất (CEP), cũng gọi là xác suất lỗi vòng tròn hoặc vòng tròn đồng xác suất, là một thước đo độ chính xác của một hệ thống vũ khí trong đạn đạo học quân sự. Nó được định nghĩa là bán kính của một vòng tròn, lấy điểm ngắm làm tâm, sao cho 50% số đạn rơi được dự kiến nằm bên trong vòng tròn đó; nói cách khác, nó là bán kính sai số trung vị, tương ứng với một khoảng tin cậy 50%. Nghĩa là, nếu một loại đạn dược nhất định có CEP là 10 m, thì khi 100 quả đạn được nhắm vào cùng một điểm, trung bình sẽ có 50 quả rơi vào trong vòng tròn bán kính 10 m quanh điểm đó.

Một khái niệm liên quan là DRMS (distance root mean square - căn bậc hai trung bình bình phương khoảng cách), tính toán căn bậc hai của sai số khoảng cách bình phương trung bình, một dạng của độ lệch chuẩn. Một khái niệm khác là R95, tức là bán kính của vòng tròn mà 95% giá trị sẽ rơi vào đó, tương ứng với một khoảng tin cậy 95%.

Khái niệm CEP cũng đóng vai trò quan trọng khi đo lường độ chính xác của vị trí thu được từ một hệ thống điều hướng, chẳng hạn như GPS hoặc các hệ thống cũ hơn như LORAN và Loran-C.

Khái niệm

Tập tin:Multivariate Gaussian.png

Phân phối chuẩn hai biến vòng

Tập tin:Circular error probable - example.png

Ví dụ về phân phối của 20 lần bắn trúng

Khái niệm ban đầu của CEP dựa trên phân phối chuẩn hai biến vòng (CBN), trong đó CEP đóng vai trò là một tham số của CBN tương tự như μ và σ là các tham số của phân phối chuẩn. Các loại đạn dược có hành vi phân phối này có xu hướng tập trung quanh điểm va chạm trung bình; phần lớn rơi ở khoảng cách gần, số lượng ít dần khi ra xa và rất ít đạn rơi ở khoảng cách lớn. Cụ thể, nếu CEP là n mét, thì 50% số đạn sẽ rơi trong phạm vi n mét tính từ điểm va chạm trung bình, 43,7% rơi trong khoảng từ n đến 2n, 6,1% rơi trong khoảng từ 2n đến 3n mét, và tỷ lệ đạn rơi xa hơn ba lần CEP chỉ là 0,2%.

CEP không phải là thước đo độ chính xác tốt khi hành vi phân phối này không được đáp ứng. Đạn dược cũng có thể có độ lệch chuẩn của sai số tầm bắn lớn hơn độ lệch chuẩn của sai số phương vị (độ lệch ngang), dẫn đến một khoảng tin cậy hình elip. Các mẫu đạn dược có thể không nằm chính xác trên mục tiêu, nghĩa là vectơ trung bình sẽ không phải là (0,0). Điều này được gọi là độ chệch (bias).

Để kết hợp độ chính xác vào khái niệm CEP trong những điều kiện này, CEP có thể được định nghĩa là căn bậc hai của sai số bình phương trung bình (MSE). MSE sẽ là tổng của phương sai của sai số tầm bắn cộng với phương sai của sai số phương vị cộng với hiệp phương sai của sai số tầm bắn với sai số phương vị cộng với bình phương của độ chệch. Do đó, MSE là kết quả của việc tập hợp tất cả các nguồn sai số này, tương ứng về mặt hình học với bán kính của một vòng tròn mà 50% số đạn sẽ rơi vào bên trong.

Một số phương pháp đã được giới thiệu để ước tính CEP từ dữ liệu phát bắn. Trong số các phương pháp này bao gồm cách tiếp cận "plug-in" của Blischke và Halpin (1966), cách tiếp cận Bayes của Spall và Maryak (1992), và cách tiếp cận hợp lý cực đại của Winkler và Bickert (2012). Cách tiếp cận của Spall và Maryak được áp dụng khi dữ liệu phát bắn đại diện cho sự kết hợp của các đặc tính vật thể phóng khác nhau (ví dụ: các phát bắn từ nhiều loại đạn dược hoặc từ nhiều vị trí hướng vào một mục tiêu).

Chuyển đổi

Mặc dù 50% là định nghĩa phổ biến nhất cho CEP, kích thước vòng tròn có thể được định nghĩa cho các tỷ lệ phần trăm khác. Các điểm phân vị có thể được xác định bằng cách nhận biết rằng sai số vị trí ngang được xác định bởi một vectơ 2D có các thành phần là hai biến ngẫu nhiên Gaussian trực giao (một cho mỗi trục), được giả định là không tương quan, mỗi biến có một độ lệch chuẩn $\sigma$. "Sai số khoảng cách" là độ lớn của vectơ đó; theo tính chất của vectơ Gaussian 2D, độ lớn này tuân theo phân phối Rayleigh, với hệ số quy mô $\sigma$. "Căn bậc hai trung bình bình phương khoảng cách" (DRMS) là ${\sigma }_d=\sqrt{2}\sigma$ và đóng vai trò như một dạng độ lệch chuẩn, vì các sai số trong giá trị này chiếm 63% mẫu được đại diện bởi phân phối hai biến vòng. Ngược lại, các tính chất của phân phối Rayleigh cho thấy phân vị của nó ở mức $\text{F}\in [0\mathrm{\%},100\mathrm{\%}]$ được cho bởi công thức sau:

$Q(F,\sigma )=\sigma \sqrt{-2\ln (1-F/100\mathrm{\%})}$

hoặc biểu diễn theo DRMS:

$Q(F,{\sigma }_d)={\sigma }_d\frac{\sqrt{-2\ln (1-F/100\mathrm{\%})}}{\sqrt{2}}$

Mối quan hệ giữa $Q$ và $F$ được cho bởi bảng sau, trong đó các giá trị $F$ cho DRMS và 2DRMS (gấp đôi căn bậc hai trung bình bình phương khoảng cách) là đặc thù cho phân phối Rayleigh và được tìm thấy bằng phương pháp số, trong khi các giá trị CEP, R95 (bán kính 95%) và R99.7 (bán kính 99,7%) được định nghĩa dựa trên Quy tắc 68–95–99,7:

Thước đo của $Q$	Xác suất $F(\mathrm{\%})$
DRMS	63,213...
CEP	50
2DRMS	98,169...
R95	95
R99.7	99,7

Từ đó, chúng ta có thể lập một bảng chuyển đổi để đổi các giá trị được biểu diễn ở mức phân vị này sang mức phân vị khác. Bảng chuyển đổi này cung cấp các hệ số $\alpha$ để chuyển đổi $X$ thành $Y=\alpha .X$:

Từ $X\downarrow$ sang $Y\to$	RMS ($\sigma$)	CEP	DRMS	R95	2DRMS	R99.7
RMS ($\sigma$)	1,00	1,18	1,41	2,45	2,83	3,41
CEP	0,849	1,00	1,20	2,08	2,40	2,90
DRMS	0,707	0,833	1,00	1,73	2,00	2,41
R95	0,409	0,481	0,578	1,00	1,16	1,39
2DRMS	0,354	0,416	0,500	0,865	1,00	1,21
R99.7	0,293	0,345	0,415	0,718	0,830	1,00

Ví dụ, một máy thu GPS có giá trị 1,25 m DRMS sẽ có bán kính sai số 95% là 1,25 m × 1,73 = 2,16 m.

Đọc thêm

• Blischke, W. R.; Halpin, A. H. (1966). "Asymptotic Properties of Some Estimators of Quantiles of Circular Error". Journal of the American Statistical Association. 61 (315): 618–632. doi:10.1080/01621459.1966.10480893. JSTOR 2282775.
• Grubbs, Frank E. (1964). Statistical measures of accuracy for riflemen and missile engineers (PDF). Ann Arbor, MI: Edwards Brothers.
• MacKenzie, Donald A. (1990). Inventing Accuracy: A Historical Sociology of Nuclear Missile Guidance. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 978-0-262-13258-9.
• Spall, James C.; Maryak, John L. (1992). "A Feasible Bayesian Estimator of Quantiles for Projectile Accuracy from Non-iid Data". Journal of the American Statistical Association. 87 (419): 676–681. doi:10.1080/01621459.1992.10475269. JSTOR 2290205.
• Winkler, V.; Bickert, B. (23–26 April 2012). "Estimation of the circular error probability for a Doppler-Beam-Sharpening-Radar-Mode". EUSAR: 9th European Conference on Synthetic Aperture Radar. IEEE. tr. 368–371.
• Wollschläger, Daniel (2014). Analyzing shape, accuracy, and precision of shooting results with shotGroups (PDF).

Liên kết ngoài

• Circular Error Probable in Ballistipedia