Wikibeta, Bách khoa tri thức mở

Giả thuyết Jacobi

Giả thuyết Jacobi là một giả thuyết toán học về đa thức nhiều biến. Giả thuyết có hai dạng: một dạng cho các đa thức hai biến[1][2][3][4] còn được gọi là giả thuyết Jacobi cho mặt phẳng,[5][6] và một dạng tổng quát cho đa thức n biến.[7][8] Giả thuyết khẳng định rằng nếu một một ánh xạ đa thức trên không gian n chiều đến chính nó có định thức Jacobi là hằng số khác 0, thì nó phải có hàm ngược đa thức.

Giả thuyết Jacobi 2 biến
Lĩnh vựcHình học đại số
Được dự đoán bởiLudwig Kraus
Được dự đoán vào1884
Vấn đề mởCó
Giả thuyết Jacobi n biến
Lĩnh vựcHình học đại số
Được dự đoán bởiOtt-Heinrich Keller
Được dự đoán vào1939
Vấn đề mởĐã phát hiện phản ví dụ với mọi n>2 (2026)
Tương đương vớiGiả thuyết Dixmier

Giả thuyết được đặt tên theo nhà toán học người Đức Carl Gustav Jakob Jacobi.[9] Bài toán được phát biểu lần đầu cho trường hợp đa thức hai biến bởi Ludwig Kraus vào năm 1884,[10][5][11] và được phát biểu lại cho trường hợp đa thức n biến có hệ số nguyên bởi Ott-Heinrich Keller vào năm 1939.[12] Dạng n biến của giả thuyết được phổ biến rộng rãi bởi Shreeram Abhyankar, khi ông lấy nó làm ví dụ cho một bài toán khó trong lĩnh vực hình học đại số mà vẫn có thể hiểu được dựa trên kiến thức cơ bản về giải tích.[13] Dạng n biến của giả thuyết Jacobi là bài toán thứ 16 trong danh sách các bài toán cho thế kỷ sau do Stephen Smale tổng hợp vào năm 1998.[14]

Hai bài báo của Kraus và Keller đều không đặt tên cho giả thuyết. Cái tên bài toán Jacobi lần đầu được Shreeram Abhyankar đặt cho dạng hai biến vào năm 1977,[15] và được Stuart Wang sử dụng cho dạng n biến vào năm 1980.[16] Cái tên giả thuyết Jacobi lần đầu được David Wright sử dụng cho dạng n biến vào năm 1981,[7] và được Tzuong-Tsieng Moh sử dụng cho dạng 2 biến vào năm 1983.[2]

Vào ngày 19 tháng 7 năm 2026, nhà toán học và nhân viên Anthropic Levent Alpöge đã nêu ra một phản ví dụ cụ thể cho giả thuyết trong không gian 3 chiều được tìm thấy bằng mô hình ngôn ngữ lớn Claude Fable 5 của Anthropic, qua đó bác bỏ giả thuyết với trường hợp n>2.[17][18][19] Có thể dễ dàng chứng minh giả thuyết Jacobi là đúng với trường hợp n=1.

Trường hợp không gian hai chiều của giả thuyết Jacobi vẫn được coi là một bài toán mở.[20] Các tài liệu chuyên ngành trước đây đã phân biệt rõ trạng thái chứng minh giữa trường hợp hai biến và trường hợp tổng quát n biến của giả thuyết.[21][4][22][23][24] Dạng hai biến của giả thuyết nổi tiếng vì có nhiều các chứng minh gặp phải những sai sót rất nhỏ,[7][5][25][8][23][26] trong đó có ít nhất năm chứng minh đã được xuất bản.[27]

Định thức Jacobi

Cho n>1 là một số nguyên cố định và xét các đa thức f1,…,fn theo các biến X1,…,Xn có hệ số thuộc một trường 𝕂. Qua đó, ta định nghĩa một hàm vectơ F:𝕂n→𝕂n bằng cách đặt:

F(X1,…,Xn)=(f1(X1,…,Xn),…,fn(X1,…,Xn))

Các ánh xạ dạng F:𝕂n→𝕂n được tạo theo cách này được gọi là ánh xạ đa thức.

Định thức Jacobi của F, kí hiệu là JF, được định nghĩa là định thức của ma trận Jacobi cấp n×n bao gồm các đạo hàm riêng của fi theo Xj:

JF=|∂f1∂X1⋯∂f1∂Xn⋮⋱⋮∂fn∂X1⋯∂fn∂Xn|,

Theo đó, JF cũng chính là một hàm đa thức của n biến X1,…,Xn.

Phát biểu giả thuyết

Theo quy tắc đạo hàm hàm hợp nhiều biến, nếu F có một hàm ngược đa thức G:𝕂n→𝕂n, thì JF sẽ có nghịch đảo đa thức, tức là bằng một hằng số khác 0. Giả thuyết Jacobi là mệnh đề đảo bán phần sau đây:

Giả thuyết Jacobi: Cho trường 𝕂 có đặc trưng bằng 0. Nếu JF là hằng số khác 0, thì F có hàm ngược G:𝕂n→𝕂n chính quy, nghĩa là các thành phần của nó đều là đa thức.

Theo van den Essen, giả thuyết lần đầu được đưa ra bởi Keller vào năm 1939 cho trường hợp các đa thức có hệ số nguyên.[25] Trường hợp này, cũng như trường hợp các đa thức trên trường 𝕂 có đặc trưng bằng 0, có thể quy về 𝕂=ℂ bằng nguyên lý Lefschetz.[25] Tuy nhiên, một cuộc thăm dò cơ sở dữ liệu zbMATH vào năm 2025 lại cho thấy rằng trường hợp hai biến trên trường ℂ thực chất đã được Ludwiq Kraus nêu ra vào năm 1884; ông cũng đã đưa ra một chứng minh không chính xác trong chính bài báo đó.[5]

Trường hợp tương tự hiển nhiên của giả thuyết Jacobi là sai nếu 𝕂 có đặc trưng p>0, kể cả cho trường hợp một biến. Đặc trưng của một trường phải là số nguyên tố nếu khác 0, tức là phải lớn hơn hoặc bằng 2. Đa thức x−xp có đạo hàm là 1 (vì px=0) nhưng lại không có hàm ngược. Tuy nhiên, Kossivi Adjamagbo [ht] đã đề xuất mở rộng giả thuyết Jacobi để bao gồm trường hợp đặc trưng p>0 bằng cách thêm giả thiết rằng p không chia hết cho bậc của mở rộng trường 𝕂(X)/𝕂(F).[28]

Sự tồn tại của một hàm ngược đa thức là hiển nhiên nếu F là tập hợp các hàm tuyến tính theo các biến, bởi khi đó hàm ngược cũng sẽ là tập hợp các hàm tuyến tính. Một ví dụ phi tuyến tính đơn giản là

u=x2+y+x
v=x2+y

khi đó, định thức Jacobi là

JF=|1+2x12x1|=(1+2x)(1)−(1)2x=1.

Trong trường hợp này có tồn tại hàm ngược đa thức

x=u−v
y=v−(u−v)2.

Tuy nhiên, nếu ta biến đổi hàm F thành

u=2x2+y
v=x2+y

thì định thức

JF=|4x12x1|=(4x)(1)−2x(1)=2x,

không phải là hằng số, và qua đó giả thuyết Jacobi không thể áp dụng được. Hàm này có hàm ngược nếu xét trên tập số thực và giả sử x>0:

x=u−v
y=2v−u,

Tuy nhiên, biểu thức này của x không phải là đa thức. Nếu xét trên tập số phức, căn bậc hai trên là hàm đa trị.

Điều kiện JF≠0 có liên quan đến định lý hàm ngược trong lĩnh vực giải tích nhiều biến. Đối với các hàm trơn (và đặc biệt đối với các đa thức), một hàm ngược địa phương trơn của F tồn tại tại mọi điểm mà JF khác 0. Điều này có nghĩa là tồn tại lân cận của mỗi điểm như vậy được ánh xạ song ánh lên ảnh của nó. Ví dụ, ánh xạ x↦x+x3 có hàm ngược toàn cục trơn, tuy nhiên hàm ngược đó lại không phải là đa thức.

Kết quả

Trường hợp 2 biến

Giả thuyết vẫn là bài toán mở đối với trường hợp hai biến. Trong trường hợp này, Tzuong-Tsieng Moh đã xác minh rằng giả thuyết đúng đối với các đa thức có bậc từ 100 trở xuống.[2][29] Jorge Alberto Guccione, Juan José Guccione, Rodrigo Horruitiner, và Christian Valqui đã tiếp tục xác minh giả thuyết đối với các đa thức bậc 108 trở xuống vào năm 2022.[6]

Trường hợp n biến

Nhiều trường hợp đặc biệt và phép quy về của giả thuyết Jacobi trong không gian n chiều đã được nêu ra trong nhiêu thập kỉ trước khi giả thuyết bị bác bỏ vào năm 2026. Do có phản ví dụ tồn tại, các kết quả bán phần mang tính khẳng định nêu ra các điều kiện mà các phản ví dụ khác không được phép thỏa mãn, trong khi các phép quy về cho thấy rằng phải có các phản ví dụ có các dạng rất đặc biệt tồn tại.

Stuart Sui-Sheng Wang đã chứng minh giả thuyết Jacobian là đúng đối với các đa thức bậc hai,[16] qua đó các phản ví dụ phải là đa thức bậc ba trở lên. Hyman Bass, Edwin Connell, và David Wright cho thấy rằng trường hợp tổng quát xuất phát từ trường hợp đặc biệt khi các đa thức có bậc ba, hoặc cụ thể hơn nữa là thuộc dạng đa thức thuần nhất bậc ba, tức là dạng F=(X1+H1,…,Xn+Hn), trong đó mỗi Hi bằng không hoặc là một đa thức thuần nhất bậc ba.[30] Ludwik Drużkowski cho thấy rằng có thể giả sử ánh xạ thuộc dạng tuyến tính bậc ba, nghĩa là các Hi khác 0 là lập phương của các đa thức tuyến tính thuần nhất.[31] Các phép quy về này bổ sung thêm các biến mới và vì vậy không thể áp dụng đối với n cố định. Theo mệnh đề đảo của các phép quy về này, sự tồn tại của phản ví dụ năm 2026 cho thấy rằng các phản ví dụ khác có dạng đa thức thuần nhất bậc ba và tuyến tính bậc ba có tồn tại ở các không gian có số chiều đủ lớn.

Edwin Connell và Lou van den Dries đã chứng minh rằng nếu giả thuyết Jacobi là sai, thì giả thuyết có phản ví dụ có hệ số nguyên và định thức Jacobi bằng 1.[32] Họ suy ra rằng giả thuyết Jacobi hoặc là phải đúng đối với mọi trường có đặc trưng 0, hoặc là không đúng với trường nào cả; kết hợp với phản ví dụ 2026 (tồn tại trong tập số hữu tỉ), ta thấy rằng giả thuyết là sai đối với mọi trường có đặc trưng bằng 0. Bởi phản ví dụ với n biến có thể sinh ra một phản ví dụ khác với n+1 bằng cách thêm một biến phụ mà tại đó ánh xạ trở thành ánh xạ đồng nhất, giả thuyết là sai đối với mọi không gian có n>2.

Cho 𝕂[X] là vành đa thức 𝕂[X1,…,Xn] và 𝕂[F] là đại số con của 𝕂 được tạo ra bởi f1,…,fn. Với F bất kì, điều kiện Jacobi kéo theo tính khả nghịch của F khi và chỉ khi 𝕂[X]=𝕂[F]. Keller (1939) đã chứng minh trường hợp hữu tỉ đôi, tức là trường hợp và 𝕂(X) và 𝕂(F) bằng nhau. Trường hợp 𝕂(X) là mở rộng Galois của 𝕂(F) đã được Andrew Campbell chứng minh đối với các ánh xạ phức[33], và được chứng minh một cách tổng quát (một cách độc lập) bởi cả Michael Razar[34] và David Wright.[7] Qua đó, các phản ví dụ không thể thuộc dạng hữu tỉ đôi hoặc xác định một mở rộng Galois; phù hợp với điều này, phản ví dụ năm 2026 về mặt tổng quát có tính chất ba-đối-một (three-to-one).[18]

Michiel de Bondt và Arno van den Essen[35][36] và Ludwik Drużkowski[37] đều cho thấy rằng trường hợp tổng quát của giả thuyết tương đương với trường hợp đặc biệt là các ánh xạ phức thuộc dạng thuần nhất bậc ba có ma trận Jacobi đối xứng, đồng nghĩa với việc phải tồn tại các phản ví dụ thuộc dạng này. Cả hai cũng cho thấy rằng giả thuyết đúng đối với các ánh xạ thuộc dạng tuyến tính bậc ba có ma trận Jacobi đối xứng trên bất kì trường có đặc trưng bằng 0; vì vậy không thể tồn tại phản ví dụ này của dạng giới hạn này và không thể kết hợp hai phép quy về bậc ba tuyến tính và đối xứng.

Giả thuyết Jacobi thực mạnh từng là khẳng định rằng một ánh xạ đa thức thực có định thức Jacobian không triệt tiêu tại bất kỳ điểm nào phải có một hàm ngược toàn cục trơn. Phát biểu này tương đương với việc xét xem ánh xạ như vậy về mặt tô pô có phải là một ánh xạ riêng hay không; trong trường hợp này, ánh xạ này sẽ là một ánh xạ phủ của một đa tạp đơn liên và vì vậy sẽ là ánh xạ khả nghịch. Sergey Pinchuk đã đưa ra các phản ví dụ dạng hai biến có tổng số bậc từ 35 trở lên.[38] Các ánh xạ do Pinchuk đưa ra có định thức Jacobi không phải là hằng số, các ánh xạ này không trực tiếp bác bỏ định thức Jacobi.

Giả thuyết Dixmier, một giả thuyết khẳng định mọi tự đồng xạ của một đại số Weyl đều là một đẳng tự, kéo theo rằng giả thuyết Jacobi là đúng ở không gian có số chiều tương ứng.[30] Ở chiều ngược lại, Yoshifumi Tsuchimoto[39] và Alexei Belov-Kanel và Maxim Kontsevich[40] cho thấy rằng giả thuyết Jacobi ở không gian 2n chiều kéo theo rằng giả thuyết Dixmier là đúng ở không gian có số chiều n. Kossivi Adjamagbo và Arno van den Essen[41] đã đưa ra một chứng minh độc lập và thuần đại số cho phép kéo theo thứ hai; trong cùng bài báo này, hai nhà toán học cũng chứng minh rằng cả hai giả thuyết đều tương đương với giả thuyết Poisson, là phát biểu rằng mọi tự đồng xạ của đại số Poisson phức thứ n đều là một đẳng tự. Xét đến phản ví dụ năm 2026, các giả thuyết Dixmier và Poisson đều sai ở các không gian n>2 chiều; cả hai giả thuyết đều là bài toán mở ở không gian n=2 chiều, tương tự như giả thuyết Jacobi.

Phản ví dụ cho trường hợp n > 2

Vào ngày 19 tháng 7 năm 2026, nhà toán học và nhân viên Anthropic Levent Alpöge đã đưa ra một phản ví dụ cụ thể cho giả thuyết ở không gian ba chiều, và cho biết rằng phản ví dụ này được tìm thấy bằng mô hình ngôn ngữ lớn Claude Fable 5.[42][43] Theo giáo sư Abhishek Saha từ Đại học Queen Mary of London, phản ví dụ có thể được kiểm chứng một cách dễ dàng, tuy nhiên không rõ bằng cách nào mà Alpöge hoặc Fable có thể đi đến phản ví dụ này.[44]

Cho ánh xạ đa thức F:ℂ3→ℂ3, trong đóF(x,y,z)=((1+xy)3z+y2(1+xy)(4+3xy),y+3x(1+xy)2z+3xy2(4+3xy),2x−3x2y−x3z).Định thức Jacobi của hàm này là hằng số −2. Tuy nhiên, ánh xạ này không đơn ánh ở mọi điểm do có trường hợp ánh xạ nhiều điểm khác nhau về cùng một ảnh, và vì vậy không khả nghịch. Ví dụ, các điểm (0,0,−14), (1,−32,132) và (−1,32,132) đều cho ảnh là điểm (−14,0,0).

Theo định nghĩa F nêu trên, đối với mọi số nguyên n≥4, ánh xạ đa thức ℂn→ℂn,(x1,x2,x3,x4,…,xn)↦(F(x1,x2,x3),x4,…,xn) là phản ví dụ của giả thuyết trong trường hợp n biến.

Ngày hôm sau, Andy Jiang, một nghiên cứu sinh tiến sĩ toán học tại Đại học Michigan, đã đưa ra một cách phát biểu lại dưới góc độ hình học; anh ghi nhận đóng góp này cho GPT.[45] Terence Tao, một nhà toán học từ Đại học California, Los Angeles (UCLA), đã bàn về cách giải thích hình học này bằng phép nhân các dạng nhị biến. Một dạng bậc ba nhị biến tổng quát có ba nhân tử tuyến tính, và qua đó là ba cách biểu diễn dưới dạng tích của một nhân tử tuyến tính và nhân tử bậc hai còn lại. Sau khi áp dụng phép chuẩn hóa kết thức để loại bỏ độ mập mờ về tỉ lệ và thu hẹp vào một lát cắt affine cụ thể của không gian các dạng bậc ba nhị biến, Tao đã thu được một ánh xạ étale X→ℂ3 về mặt tổng quát có tính chất ba-đối-một từ một đa giống 3 chiều X nằm trong ℂ5, là tập hợp đẳng cấu đa thức với ℂ3.[18] Cấu trúc phân tích thành nhân tử bậc ba này tương tự như một ví dụ bậc hai cho Anatoli Vitushkin đưa ra. Anh xạ hữu tỉ của Vitushkin có một cực nằm dọc theo đường thẳng phức, nhưng ánh xạ lại xác định một phủ étale hai lá của phần bù cho một đường cong biệt thức trong ℂ2 trên phần bù của đường thẳng phức.[46]

Để bổ sung cho cách phát biểu hình học ở trên, một phiên bản giản lược về mặt đại số của phản ví dụ đã được Vitor Freitas xác định bằng mô hình Claude Opus 4.8.[47]

Cho u=1+xy và W=u2z+3y2u+y2. Ánh xạ có thể được biểu diễn dưới dạng

a=uW,
b=y+3xW,
c=x(2−3xy−x2z).

Ta xác định giải thức bậc ba (cubic resolvent) là

P(Y)=2Y3−3bY2+18aY+b3−18ab+27a2c.

Sau phân tích thành nhân tử ta có

P(Y)=2(Y−y)(Y2−(3b2−y)Y+9a−y(3b2−y)).

Với D=3a+Y2−bY, bất kì nghiệm phù hợp Y nào (thỏa mãn aD≠0) đều cho phép tìm lại nghịch ảnh thông qua

x=b−YD,u=3aD,W=D3

(qua đó suy ra z). Đối với (a,b,c) bất kì, phương trình P(Y) bậc ba có ba nghiệm phân biệt, từ đó suy ra được ba nghịch ảnh phân biệt. Qua đó, ta thấy ánh xạ về mặt tổng quát có tính chất ba-đối-một, và vì vậy không khả nghịch.

Tham khảo

  1. ^ Moh, T. T. "Jacobian Conjecture". Department of Mathematics, Purdue University. Truy cập ngày 24 tháng 7 năm 2026.
  2. ^ a b c Moh, Tzuong-Tsieng (1983), "On the Jacobian conjecture and the configurations of roots", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1983 (340): 140–212, doi:10.1515/crll.1983.340.140, ISSN 0075-4102, MR 0691964, S2CID 116143599
  3. ^ Wang, Lih-Chung (2005). "On the Jacobian conjecture". Taiwanese Journal of Mathematics. 9 (3): 421–431. doi:10.11650/twjm/1500407850. MR 2162887.
  4. ^ a b Formanek, Edward (2011). "Theorems of W. W. Stothers and the Jacobian Conjecture in two variables". Proceedings of the American Mathematical Society. 139 (4). p. 1140. doi:10.1090/S0002-9939-2010-10523-3. There is strong evidence for the two-variable Jacobian Conjecture, but not for the n-variable conjecture.
  5. ^ a b c d Rodríguez Díaz, Lázaro Orlando (ngày 5 tháng 6 năm 2026). "On the origin of the Jacobian conjecture". Comptes Rendus. Mathématique (bằng tiếng Anh). 364 (G2): 363–370. arXiv:2512.23614. doi:10.5802/crmath.831. ISSN 1778-3569.
  6. ^ a b Guccione, Jorge Alberto; Guccione, Juan José; Horruitiner, Rodrigo; Valqui, Christian (ngày 29 tháng 4 năm 2022), Increasing the degree of a possible counterexample to the Jacobian Conjecture from 100 to 108, arXiv:2204.14178
  7. ^ a b c d Wright, David (1981), "On the Jacobian conjecture", Illinois Journal of Mathematics, 25 (3): 423–440, doi:10.1215/ijm/1256047158, MR 0620428
  8. ^ a b Bass, Hyman; Connell, Edwin H.; Wright, David (1982). "The Jacobian conjecture: Reduction of degree and formal expansion of the inverse". Bulletin of the American Mathematical Society (bằng tiếng Anh). 7 (2): 287–330. doi:10.1090/S0273-0979-1982-15032-7. ISSN 0273-0979.
  9. ^ https://www.math.purdue.edu/~ttm/jacobian.html
  10. ^ Kraus, Ludwig (1884). "Ueber Functionaldeterminanten". Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse (bằng tiếng Đức). 90: 813–826.
  11. ^ Weyr, Eduard (1886). "Život a působení dra Ludvíka Krause" [The life and work of Dr. Ludvík Kraus] (PDF). Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky (bằng tiếng Séc). 15 (2): 49–52 – qua Czech Digital Mathematics Library.
  12. ^ Keller, Ott-Heinrich (1939). "Ganze Cremona-Transformationen". Monatshefte für Mathematik und Physik (bằng tiếng Đức). 47 (1): 299–306. doi:10.1007/BF01695502. ISSN 0026-9255.
  13. ^ Abhyankar, Shreeram Shankar (1990). Algebraic Geometry for Scientists and Engineers. Mathematical surveys and monographs. Providence, R.I: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1535-9.
  14. ^ Smale, Steve (1998). "Mathematical Problems for the Next Century". The Mathematical Intelligencer. 20 (2): 7–15. CiteSeerX 10.1.1.35.4101. doi:10.1007/bf03025291. S2CID 1331144.
  15. ^ Abhyanker, Shreeram (1977), Lectures on Expansion Techniques In Algebraic Geometry
  16. ^ a b Wang, Stuart Sui-Sheng (tháng 8 năm 1980), "A Jacobian criterion for separability", Journal of Algebra, 65 (2): 453–494, doi:10.1016/0021-8693(80)90233-1
  17. ^ Sparkes, Matthew (ngày 20 tháng 7 năm 2026). "AI's solution to 87-year-old riddle takes mathematicians by surprise". New Scientist. Lưu trữ bản gốc ngày 21 tháng 7 năm 2026. Truy cập ngày 23 tháng 7 năm 2026.
  18. ^ a b c Tao, Terence (ngày 21 tháng 7 năm 2026). "A digestion of the Jacobian conjecture counterexample". WordPress. Truy cập ngày 23 tháng 7 năm 2026.
  19. ^ "Fable 5 Disproved What Algebraists Spent 87 Years Trying to Prove". ngày 21 tháng 7 năm 2026.
  20. ^ Bisi, Elia; Dyszewski, Piotr; Gantert, Nina; Johnston, Samuel G. G.; Prochno, Joscha; Schmid, Dominik (2026). "Random planar trees and the Jacobian conjecture". Journal of the London Mathematical Society. 113 (1) e70416. doi:10.1112/jlms.70416. The Jacobian conjecture ... is one of the outstanding open problems in all of mathematics ... even the case n=2 is still open.
  21. ^ van den Essen, Arno (1997). "To Believe or Not to Believe: The Jacobian Conjecture" (PDF). Rendiconti del Seminario Matematico della Università e Politecnico di Torino. 55 (4). p. 287. For n = 2 the conjecture might be true, however ... there is an enormous difference between n=2 and n≥3!
  22. ^ Borisov, Alexander (2014). "On two invariants of divisorial valuations at infinity". Journal of Algebraic Combinatorics. 39 (3). p. 692. doi:10.1007/s10801-013-0462-9. The two-dimensional case has been especially well studied, but is still wide open.
  23. ^ a b Woit, Peter (ngày 10 tháng 11 năm 2004). "Proof of the Jacobian Conjecture". Not Even Wrong. Truy cập ngày 20 tháng 7 năm 2026. For more variables, many people believe it is not even true.
  24. ^ Moh, T. T. "Jacobian Conjecture". Department of Mathematics, Purdue University. Truy cập ngày 20 tháng 7 năm 2026. Certainly there are even harder Jacobian conjectures for three or more variables. However, there is hardly any evidence for them to be true!
  25. ^ a b c van den Essen, Arno (1997), "Polynomial automorphisms and the Jacobian conjecture" (PDF), Algèbre non commutative, groupes quantiques et invariants (Reims, 1995), Sémin. Congr., quyển 2, Paris: Soc. Math. France, tr. 55–81, MR 1601194
  26. ^ Hochster, Mel (ngày 5 tháng 11 năm 2004). "lectures on Jacobian conjecture".
  27. ^ Weisstein, Eric W. "Jacobian Conjecture". mathworld.wolfram.com.
  28. ^ Adjamagbo, Kossivi (1995), "On separable algebras over a U.F.D. and the Jacobian conjecture in any characteristic", Automorphisms of affine spaces (Curaçao, 1994), Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., tr. 89–103, doi:10.1007/978-94-015-8555-2_5, ISBN 978-90-481-4566-9, MR 1352692
  29. ^ Moh, Tzuong-Tsieng, On the global Jacobian conjecture for polynomials of degree less than 100, preprint
  30. ^ a b Bass, Hyman; Connell, Edwin H.; Wright, David (1982), "The Jacobian conjecture: reduction of degree and formal expansion of the inverse", Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 7 (2): 287–330, doi:10.1090/S0273-0979-1982-15032-7, ISSN 1088-9485, MR 0663785
  31. ^ Drużkowski, Ludwik M. (1983), "An effective approach to Keller's Jacobian conjecture", Mathematische Annalen, 264 (3): 303–313, doi:10.1007/bf01459126, MR 0714105
  32. ^ Connell, Edwin; van den Dries, Lou (1983), "Injective polynomial maps and the Jacobian conjecture", Journal of Pure and Applied Algebra, 28 (3): 235–239, doi:10.1016/0022-4049(83)90094-4, MR 0701351
  33. ^ Campbell, L. Andrew (1973), "A condition for a polynomial map to be invertible", Mathematische Annalen, 205 (3): 243–248, doi:10.1007/bf01349234, MR 0324062
  34. ^ Razar, Michael (1979), "Polynomial maps with constant Jacobian", Israel Journal of Mathematics, 32 (2–3): 97–106, doi:10.1007/bf02764906, MR 0531253
  35. ^ de Bondt, Michiel; van den Essen, Arno (2005), "A reduction of the Jacobian conjecture to the symmetric case", Proceedings of the American Mathematical Society, 133 (8): 2201–2205, doi:10.1090/S0002-9939-05-07570-2, hdl:2066/33302, MR 2138860
  36. ^ de Bondt, Michiel; van den Essen, Arno (2005), "The Jacobian conjecture for symmetric Drużkowski mappings", Annales Polonici Mathematici, 86 (1): 43–46, doi:10.4064/ap86-1-5, MR 2183036
  37. ^ Drużkowski, Ludwik M. (2005), "The Jacobian conjecture: symmetric reduction and solution in the symmetric cubic linear case", Annales Polonici Mathematici, 87: 83–92, doi:10.4064/ap87-0-7, MR 2208537
  38. ^ Pinchuk, Sergey (1994), "A counterexample to the strong real Jacobian conjecture", Mathematische Zeitschrift, 217 (1): 1–4, doi:10.1007/bf02571929, MR 1292168
  39. ^ Tsuchimoto, Yoshifumi (2005), "Endomorphisms of Weyl algebra and p-curvatures", Osaka Journal of Mathematics, 42 (2): 435–452, ISSN 0030-6126
  40. ^ Belov-Kanel, Alexei; Kontsevich, Maxim (2007), "The Jacobian conjecture is stably equivalent to the Dixmier conjecture", Moscow Mathematical Journal, 7 (2): 209–218, arXiv:math/0512171, Bibcode:2005math.....12171B, doi:10.17323/1609-4514-2007-7-2-209-218, MR 2337879, S2CID 15150838
  41. ^ Adjamagbo, Pascal Kossivi; van den Essen, Arno (2007), "A proof of the equivalence of the Dixmier, Jacobian and Poisson conjectures" (PDF), Acta Mathematica Vietnamica, 32: 205–214, MR 2368008
  42. ^ @__alpoge__ (ngày 20 tháng 7 năm 2026). "hello there the jacobian conjecture is false" (Tweet) – qua Twitter.
  43. ^ Roytburg, Eva (ngày 21 tháng 7 năm 2026). "Mathematicians grapple with a 'very rapid and very unsettling change' as AI cracks yet another century-old problem". Fortune. Truy cập ngày 23 tháng 7 năm 2026.
  44. ^ Matthew Sparkes (ngày 20 tháng 7 năm 2026). "AI's solution to 87-year-old riddle takes mathematicians by surprise". New Scientist. Bản gốc lưu trữ ngày 21 tháng 7 năm 2026.
  45. ^ Jiang, Andy [@davikrehalt] (ngày 20 tháng 7 năm 2026). "GPT: ... π|X: X → Y is counterexample" (Tweet) – qua Twitter.
  46. ^ Vitushkin, Anatoli G. (tháng 8 năm 1999). "Evaluation of the Jacobian of a rational transformation of C² and some applications". Mathematical Notes. 66 (2): 245–249. doi:10.1007/BF02674884.
  47. ^ Freitas, Vitor (ngày 23 tháng 7 năm 2026). "Comment on "A digestion of the Jacobian conjecture counterexample"". What's New. Terence Tao. Truy cập ngày 23 tháng 7 năm 2026.

Liên kết ngoài

Lỗi Lua trong Mô_đun:Authority_control tại dòng 152: attempt to index field 'wikibase' (a nil value).

Lấy từ “https://wikibeta.org/index.php?title=Giả_thuyết_Jacobi&oldid=7960593”