Giả thuyết Riemann

Tập tin:RiemannCriticalLine.svg

Phần thực (màu đỏ) và phần ảo (màu xanh) của hàm zeta Riemann dọc theo đường giới hạn Re(s) = 1/2. Các không điểm phi tầm thường đầu tiên tại Im(s) = ±14,135; ±21,022 và ±25,011.

Trong toán học, giả thuyết Riemann, nêu bởi Bernhard Riemann (Riemann (1859)), là một phỏng đoán về các không điểm phi tầm thường của hàm zeta Riemann tất cả đều có phần thực bằng 1/2. Tên gọi này đôi khi cũng có nghĩa tương tự cho một số giả thuyết khác như giả thuyết Riemann cho các đường cong trên trường hữu hạn.

Giả thuyết Riemann hàm ý kết quả về sự phân bố các số nguyên tố. Cùng với những dạng tổng quát hóa phù hợp, các nhà toán học coi nó là một trong những bài toán quan trọng nhất chưa được giải trong toán học thuần túy (Bombieri 2000). Giả thuyết Riemann, cùng với giả thuyết Goldbach thuộc về bài toán thứ tám của Hilbert trong danh sách 23 bài toán chưa giải được của David Hilbert; nó cũng là một trong bảy bài toán của Giải thưởng Bài toán Thiên niên kỷ do Viện Toán học Clay khởi xướng.

Hàm zeta Riemann ζ(s) là hàm với đối số s là một số phức bất kỳ khác 1, và giá trị của hàm cũng là giá trị phức. Các không điểm của hàm (nghiệm) bao gồm tại các số nguyên âm chẵn; tức là ζ(s) = 0 khi s nhận các giá trị −2, −4, −6, .... Chúng được gọi là các không điểm tầm thường. Tuy nhiên, các số nguyên âm chẵn không phải là các nghiệm duy nhất của hàm zeta; và những nghiệm này gọi là không điểm phi tầm thường hay "không điểm không tầm thường". Giả thuyết Riemann đề cập đến vị trí của các không điểm phi tầm thường này, và phát biểu rằng:

Phần thực của mọi không điểm không tầm thường của hàm zeta Riemann là bằng 1/2.

Do vậy các không điểm phi tầm thường sẽ nằm trên đường giới hạn chứa các số phức 1/2 + i t, với t là số thực và i là đơn vị ảo.

Có một vài sách phổ biến về giả thuyết Riemann, như của Derbyshire (2003), Rockmore (2005), Sabbagh (2003), du Sautoy (2003). Các sách như Edwards (1974), Patterson (1988) và Borwein và đồng nghiệp (2008) đưa ra nội dung toán học của nó, trong khi Titchmarsh (1986), Ivić (1985) và Karatsuba & Voronin (1992) trình bày ở mức khó hơn.

Đặc điểm

Đây là một trong những bài toán thiên niên kỷ, tập hợp của những vấn đề mở quan trọng nhất trong toán học. Giải quyết được bất kỳ vấn đề nào trong đó đều được giải thưởng lên tới một triệu USD.

Giả thuyết Riemann (theo tên của nhà toán học người Đức ở thế kỷ 19, Bernhard Riemann) cung cấp một sự ước đoán chính xác hơn rất nhiều về số lượng số nguyên tố nhỏ hơn một số cho trước. Tuy nhiên, cũng giống như các giả thuyết trên, dù đã được chứng minh là đúng với hàng tỷ trường hợp, nó vẫn chưa được chứng minh tổng quát.

Hàm zeta Riemann

Hàm zeta Riemann xác định đối với số phức s với phần thực lớn hơn 1 bởi chuỗi vô hạn hội tụ tuyệt đối

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots .$

Leonhard Euler chứng minh được rằng chuỗi này bằng tích Euler

$\zeta (s)=\prod _{p\text{ prime}}\frac{1}{1-p^{-s}}=\frac{1}{1-2^{-s}}\cdot \frac{1}{1-3^{-s}}\cdot \frac{1}{1-5^{-s}}\cdot \frac{1}{1-7^{-s}}\cdots \frac{1}{1-p^{-s}}\cdots$

với tích vô hạn mở rộng trên mọi số nguyên tố p, và chuỗi này hội tụ đối với các số phức s với phần thực lớn hơn 1. Sự hội tụ của tích Euler chứng tỏ rằng hàm ζ(s) không có một không điểm nào trong miền này, do không có một giá trị s nào làm cho hàm bằng 0.

Giả thuyết Riemann đề cập đến các không điểm nằm ngoài miền hội tụ của chuỗi này, do vậy nó cần phải thác triển giải tích đối với mọi số phức s. Điều này có thể chứng minh khi biểu diễn nó theo hàm eta Dirichlet như sau. Nếu phần thực của s lớn hơn 1, thì hàm zeta thỏa mãn

$(1-\frac{2}{2^s})\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n^s}=\frac{1}{1^s}-\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}-\cdots .$

Tuy nhiên, chuỗi bên vế phải hội tụ không những khi s lớn hơn 1, mà còn trong trường hợp s có phần thực dương. Do vậy, chuỗi thay thế này mở rộng hàm zeta từ miền Re(s) > 1 sang miền lớn hơn Re(s) > 0, ngoại trừ tại các không điểm $s=1+2\pi in/\ln (2)$ của $1-2/2^s$ (xem hàm eta Dirichlet). Hàm zeta cũng có thể mở rộng tới những giá trị này bằng cách lấy giới hạn, sẽ thu được giá trị hữu hạn cho mọi giá trị của s với phần thực dương ngoại trừ một trường hợp khi s = 1.

Trong miền 0 < Re(s) < 1 hàm zeta thỏa mãn phương trình hàm

$\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s).$

Có thể định nghĩa ζ(s) cho mọi số phức s khác 0 còn lại bằng cách giả sử rằng phương trình này thỏa mãn cả bên ngoài miền xác định, và đặt ζ(s) bằng vế phải của phương trình khi s có phần thực không dương. Nếu s là một số nguyên âm chẵn thì ζ(s) = 0 bởi vì nhân tử sin(πs/2) bằng 0; đây là các không điểm tầm thường của hàm zeta. (Lập luận này không đúng nếu s là một số nguyên dương chẵn bởi vì giá trị 0 của sin bị triệt tiêu tại các cực của hàm gamma khi nó nhận các tham số nguyên âm.) Giá trị tại ζ(0) = −1/2 là không xác định bởi phương trình hàm, nhưng nó là giới hạn của ζ(s) khi s tiến đến 0. Phương trình hàm cũng hàm ý rằng hàm zeta không có các không điểm với phần thực âm ngoại trừ các không điểm tầm thường nêu ở trên; do đó mọi không điểm phi tầm thường nằm trong miền giới hạn với s có phần thực nằm giữa 0 và 1.

Nguồn gốc

... es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.

... rất có khả năng là tất cả các nghiệm đều là số thực. Tất nhiên, người ta sẽ mong muốn có một chứng minh chặt chẽ ở đây; sau một vài nỗ lực không thành công, tôi đã tạm thời gác lại việc tìm kiếm điều này, vì nó dường như không thực sự cần thiết cho mục tiêu trước mắt trong nghiên cứu của tôi.

— Phát biểu của Riemann về giả thuyết Riemann, từ (Riemann 1859). (Khi đó ông đang thảo luận về một biến thể của hàm zeta, được biến đổi sao cho đường thẳng thực được ánh xạ thành đường tới hạn.)

Động lực ban đầu của Riemann khi nghiên cứu hàm zeta và các điểm không của nó là sự xuất hiện của chúng trong công thức tường minh cho hàm đếm số nguyên tố $\pi (x)$ nhỏ hơn hoặc bằng một số $x$ cho trước, điều mà ông đã công bố trong bài báo năm 1859 của mình "Về số nguyên tố nhỏ hơn một đại lượng cho trước". Công thức của ông được biểu diễn theo một hàm số liên quan là

$\Pi (x)=\pi (x)+\frac{\pi (x^{1/2})}{2}+\frac{\pi (x^{1/3})}{3}+\frac{\pi (x^{1/4})}{4}+\frac{\pi (x^{1/5})}{5}+\frac{\pi (x^{1/6})}{6}+\cdots$

đếm các số nguyên tố và lũy thừa số nguyên tố lên đến $x$, trong đó một lũy thừa số nguyên tố $p^n$ được tính là $1/n$. Số lượng các số nguyên tố có thể được khôi phục từ hàm này bằng cách sử dụng công thức nghịch đảo Möbius:

$\begin{array}{cc}\pi (x)& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n}\Pi (x^{1/n})\\ & =\Pi (x)-\frac{1}{2}\Pi (x^{1/2})-\frac{1}{3}\Pi (x^{1/3})-\frac{1}{5}\Pi (x^{1/5})+\frac{1}{6}\Pi (x^{1/6})-\cdots ,\end{array}$

trong đó $\mu$ là Hàm Möbius. Công thức của Riemann khi đó là

${\Pi }_0(x)=\mathrm{li}(x)-\sum _{\rho }\mathrm{li}(x^{\rho })-\log 2+{\int }_x^{\mathrm{\infty }}\frac{dt}{t(t^2-1)\log t}$

trong đó tổng được tính trên các điểm không phi tầm thường của hàm zeta và trong đó ${\Pi }_0$ là một phiên bản sửa đổi của $\Pi$ thay thế giá trị của nó tại các điểm không liên tục bằng trung bình cộng của giới hạn trên và giới hạn dưới của nó:

${\Pi }_0(x)=\underset{\epsilon \to 0}{lim}\frac{\Pi (x-\epsilon )+\Pi (x+\epsilon )}{2}.$

Tổng trong công thức của Riemann không hội tụ tuyệt đối, nhưng có thể được tính bằng cách lấy các điểm không $\rho$ theo thứ tự giá trị tuyệt đối của phần ảo của chúng. Hàm $\mathrm{li}$ xuất hiện trong số hạng đầu tiên là tích phân logarit được cho bởi giá trị chính Cauchy of của tích phân phân kỳ.

$\mathrm{li}(x)={\int }_0^x\frac{dt}{\log t}.$

Các số hạng $\mathrm{li}(x^{\rho })$ liên quan đến các điểm không của hàm zeta cần một số lưu ý trong định nghĩa của chúng vì $\mathrm{li}$ có các điểm rẽ nhánh tại 0 và 1, và được định nghĩa (với $x>1$) bằng cách thác triển giải tích theo biến phức $\rho$ trên vùng $\mathrm{Re}(\rho )>0$; i.e., tức là, chúng nên được coi là Ei(ρ log x). Các số hạng khác cũng tương ứng với các điểm không: số hạng chủ đạo $\mathrm{li}(x)$ đến từ cực điểm tại $s=1$, được coi là một điểm không với bội $-1$, và các số hạng nhỏ còn lại đến từ các điểm không tầm thường.

Công thức này nói rằng các điểm không của hàm zeta Riemann kiểm soát các sự dao động của các số nguyên tố xung quanh vị trí "kỳ vọng". Riemann đã cho rằng các điểm không phi tầm thường của hàm zeta phân bố đối xứng qua đường thẳng $s=1/2+it$, và ông cho rằng tất cả các điểm không phi tầm thường của nó phải nằm trong khoảng $0\le \mathrm{Re}(s)\le 1$. Ông đã kiểm tra và thấy một vài điểm không nằm trên đường tới hạn với phần thực bằng $1/2$ và gợi ý rằng tất cả chúng đều như vậy; đây chính là giả thuyết Riemann.

Xem thêm

• Tổng quát hóa giả thuyết Riemann
• Giả thuyết Riemann cho các đường cong trên trường hữu hạn
• Bài toán Hilbert
• Giải thưởng Thiên niên kỷ Toán học

Thư mục tham khảo

• Artin, Emil (1924), "Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil", Mathematische Zeitschrift, 19 (1): 207–246, doi:10.1007/BF01181075
• Beurling, Arne (1955), "A closure problem related to the Riemann zeta-function", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 41 (5): 312–314, doi:10.1073/pnas.41.5.312, MR 0070655
• Bohr, H.; Landau, E. (1914), "Ein Satz über Dirichletsche Reihen mit Anwendung auf die ζ-Funktion und die L-Funktionen", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 37 (1): 269–272, doi:10.1007/BF03014823
• Bombieri, Enrico (2000), The Riemann Hypothesis – official problem description (PDF), Clay Mathematics Institute, Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 22 tháng 12 năm 2015, truy cập ngày 25 tháng 10 năm 2008 Reprinted in (Borwein và đồng nghiệp 2008).
• Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; và đồng nghiệp, biên tập (2008), The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, doi:10.1007/978-0-387-72126-2, ISBN 978-0-387-72125-5
• Borwein, Peter; Ferguson, Ron; Mossinghoff, Michael J. (2008), "Sign changes in sums of the Liouville function", Mathematics of Computation, 77 (263): 1681–1694, doi:10.1090/S0025-5718-08-02036-X, MR 2398787
• de Branges, Louis (1992), "The convergence of Euler products", Journal of Functional Analysis, 107 (1): 122–210, doi:10.1016/0022-1236(92)90103-P, MR 1165869
• Cartier, P. (1982), "Comment l'hypothèse de Riemann ne fut pas prouvée", Seminar on Number Theory, Paris 1980–81 (Paris, 1980/1981), Progr. Math., quyển 22, Boston, MA: Birkhäuser Boston, tr. 35–48, MR 0693308
• Connes, Alain (1999), "Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function", Selecta Mathematica. New Series, 5 (1): 29–106, arXiv:math/9811068, doi:10.1007/s000290050042, MR 1694895
• Connes, Alain (2000), "Noncommutative geometry and the Riemann zeta function", Mathematics: frontiers and perspectives, Providence, R.I.: American Mathematical Society, tr. 35–54, MR 1754766
• Conrey, J. B. (1989), "More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line", J. Reine angew. Math., 399: 1–16, MR 1004130
• Conrey, J. Brian (2003), "The Riemann Hypothesis" (PDF), Notices of the American Mathematical Society: 341–353 Reprinted in (Borwein và đồng nghiệp 2008).
• Conrey, J. B.; Li, Xian-Jin (2000), "A note on some positivity conditions related to zeta and L-functions", International Mathematics Research Notices, 2000 (18): 929–940, arXiv:math/9812166, doi:10.1155/S1073792800000489, MR 1792282{{Chú thích}}: Quản lý CS1: DOI truy cập mở nhưng không được đánh ký hiệu (liên kết)
• Deligne, Pierre (1974), "La conjecture de Weil. I", Publications Mathématiques de l'IHÉS, 43: 273–307, doi:10.1007/BF02684373, MR 0340258
• Deligne, Pierre (1980), "La conjecture de Weil: II", Publications Mathématiques de l'IHÉS, 52: 137–252, doi:10.1007/BF02684780
• Deninger, Christopher (1998), "Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998)", Documenta Mathematica: 163–186, MR 1648030 {{Chú thích}}: |chapter= bị bỏ qua (trợ giúp)
• Derbyshire, John (2003), Prime Obsession, Joseph Henry Press, Washington, DC, ISBN 978-0-309-08549-6, MR 1968857
• Dyson, Freeman (2009), "Birds and frogs" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 56 (2): 212–223, MR 2483565
• Edwards, H. M. (1974), Riemann's Zeta Function, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-41740-0, MR 0466039
• Fesenko, Ivan (2010), "Analysis on arithmetic schemes. II", Journal of K-theory, 5: 437–557
• Ford, Kevin (2002), "Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta function", Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series, 85 (3): 565–633, doi:10.1112/S0024611502013655, MR 1936814
• Franel, J.; Landau, E. (1924), "Les suites de Farey et le problème des nombres premiers" (Franel, 198–201); "Bemerkungen zu der vorstehenden Abhandlung von Herrn Franel (Landau, 202–206)", Göttinger Nachrichten: 198–206
• Ghosh, Amit (1983), "On the Riemann zeta function—mean value theorems and the distribution of |S(T)|", J. Number Theory, 17: 93–102, doi:10.1016/0022-314X(83)90010-0
• Gourdon, Xavier (2004), The 10¹³ first zeros of the Riemann Zeta function, and zeros computation at very large height (PDF)
• Gram, J. P. (1903), "Note sur les zéros de la fonction ζ(s) de Riemann", Acta Mathematica, 27: 289–304, doi:10.1007/BF02421310
• Hadamard, Jacques (1896), "Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques", Bulletin Société Mathématique de France, 14: 199–220 Reprinted in (Borwein và đồng nghiệp 2008).
• Hardy, G. H. (1914), "Sur les Zéros de la Fonction ζ(s) de Riemann", C. R. Acad. Sci. Paris, 158: 1012–1014, JFM 45.0716.04 Reprinted in (Borwein và đồng nghiệp 2008).
• Hardy, G. H.; Littlewood, J. E. (1921), "The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line", Math. Z., 10 (3–4): 283–317, doi:10.1007/BF01211614
• Haselgrove, C. B. (1958), "A disproof of a conjecture of Pólya", Mathematika, 5 (2): 141–145, doi:10.1112/S0025579300001480, ISSN 0025-5793, MR 0104638, Zbl 0085.27102 Reprinted in (Borwein và đồng nghiệp 2008).
• Haselgrove, C. B.; Miller, J. C. P. (1960), Tables of the Riemann zeta function, Royal Society Mathematical Tables, Vol. 6, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-06152-0, MR 0117905 Review
• Hutchinson, J. I. (1925), "On the Roots of the Riemann Zeta-Function", Transactions of the American Mathematical Society, 27 (1): 49–60, doi:10.2307/1989163, JSTOR 1989163
• Ingham, A.E. (1932), The Distribution of Prime Numbers, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, quyển 30, Cambridge University Press. Reprinted 1990, ISBN 978-0-521-39789-6, MR1074573
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition), New York: Springer, ISBN 0-387-97329-X
• Ivić, A. (1985), The Riemann Zeta Function, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-80634-9, MR 0792089 (Reprinted by Dover 2003)
• Ivić, Aleksandar (2008), "On some reasons for doubting the Riemann hypothesis", trong Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; và đồng nghiệp (biên tập), The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, tr. 131–160, arXiv:math.NT/0311162, ISBN 978-0-387-72125-5
• Karatsuba, A. A. (1984a), "Zeros of the function ζ(s) on short intervals of the critical line", Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. (bằng tiếng Nga), 48 (3): 569–584, MR 0747251
• Karatsuba, A. A. (1984b), "Distribution of zeros of the function ζ(1/2 + it)", Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. (bằng tiếng Nga), 48 (6): 1214–1224, MR 0772113
• Karatsuba, A. A. (1985), "Zeros of the Riemann zeta-function on the critical line", Trudy Mat. Inst. Steklov. (bằng tiếng Nga) (167): 167–178, MR 0804073
• Karatsuba, A. A. (1992), "On the number of zeros of the Riemann zeta-function lying in almost all short intervals of the critical line", Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat. (bằng tiếng Nga), 56 (2): 372–397, MR 1180378
• Karatsuba, A. A.; Voronin, S. M. (1992), The Riemann zeta-function, de Gruyter Expositions in Mathematics, quyển 5, Berlin: Walter de Gruyter & Co., ISBN 978-3-11-013170-3, MR 1183467
• Keating, Jonathan P.; Snaith, N. C. (2000), "Random matrix theory and ζ(1/2 + it)", Communications in Mathematical Physics, 214 (1): 57–89, doi:10.1007/s002200000261, MR 1794265
• Knauf, Andreas (1999), "Number theory, dynamical systems and statistical mechanics", Reviews in Mathematical Physics. A Journal for Both Review and Original Research Papers in the Field of Mathematical Physics, 11 (8): 1027–1060, doi:10.1142/S0129055X99000325, MR 1714352
• von Koch, Helge (1901), "Sur la distribution des nombres premiers", Acta Mathematica, 24: 159–182, doi:10.1007/BF02403071
• Kurokawa, Nobushige (1992), "Multiple zeta functions: an example", Zeta functions in geometry (Tokyo, 1990), Adv. Stud. Pure Math., quyển 21, Tokyo: Kinokuniya, tr. 219–226, MR 1210791
• Lapidus, Michel L. (2008), In search of the Riemann zeros, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4222-5, MR 2375028
• Bản mẫu:Eom
• Lehmer, D. H. (1956), "Extended computation of the Riemann zeta-function", Mathematika. A Journal of Pure and Applied Mathematics, 3 (2): 102–108, doi:10.1112/S0025579300001753, MR 0086083
• Leichtnam, Eric (2005), "An invitation to Deninger's work on arithmetic zeta functions", Geometry, spectral theory, groups, and dynamics, Contemp. Math., quyển 387, Providence, RI: Amer. Math. Soc., tr. 201–236, MR 2180209.
• Levinson, N. (1974), "More than one-third of the zeros of Riemann's zeta function are on σ = 1/2", Adv. In Math., 13 (4): 383–436, doi:10.1016/0001-8708(74)90074-7, MR 0564081
• Littlewood, J. E. (1962), "The Riemann hypothesis", The scientist speculates: an anthology of partly baked idea, New York: Basic books
• van de Lune, J.; te Riele, H. J. J.; Winter, D. T. (1986), "On the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip. IV", Mathematics of Computation, 46 (174): 667–681, doi:10.2307/2008005, JSTOR 2008005, MR 0829637
• Massias, J.-P.; Nicolas, Jean-Louis; Robin, G. (1988), "Évaluation asymptotique de l'ordre maximum d'un élément du groupe symétrique", Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny. Acta Arithmetica, 50 (3): 221–242, MR 0960551
• Montgomery, Hugh L. (1973), "The pair correlation of zeros of the zeta function", Analytic number theory, Proc. Sympos. Pure Math., quyển XXIV, Providence, R.I.: American Mathematical Society, tr. 181–193, MR 0337821 Reprinted in (Borwein và đồng nghiệp 2008).
• Montgomery, Hugh L. (1983), "Zeros of approximations to the zeta function", trong Erdős, Paul (biên tập), Studies in pure mathematics. To the memory of Paul Turán, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, tr. 497–506, ISBN 978-3-7643-1288-6, MR 0820245
• Nicely, Thomas R. (1999), "New maximal prime gaps and first occurrences", Mathematics of Computation, 68 (227): 1311–1315, doi:10.1090/S0025-5718-99-01065-0, MR 1627813, Bản gốc lưu trữ ngày 30 tháng 12 năm 2014, truy cập ngày 23 tháng 12 năm 2013.
• Nyman, Bertil (1950), On the One-Dimensional Translation Group and Semi-Group in Certain Function Spaces, PhD Thesis, University of Uppsala: University of Uppsala, MR 0036444
• Odlyzko, A. M.; te Riele, H. J. J. (1985), "Disproof of the Mertens conjecture", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 357: 138–160, doi:10.1515/crll.1985.357.138, MR 0783538, Bản gốc lưu trữ ngày 11 tháng 7 năm 2012, truy cập ngày 23 tháng 12 năm 2013
• Odlyzko, A. M. (1987), "On the distribution of spacings between zeros of the zeta function", Mathematics of Computation, 48 (177): 273–308, doi:10.2307/2007890, JSTOR 2007890, MR 0866115
• Odlyzko, A. M. (1990), "Bounds for discriminants and related estimates for class numbers, regulators and zeros of zeta functions: a survey of recent results", Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux, Série 2, 2 (1): 119–141, MR 1061762
• Odlyzko, A. M. (1992), The 10²⁰-th zero of the Riemann zeta function and 175 million of its neighbors (PDF) This unpublished book describes the implementation of the algorithm and discusses the results in detail.
• Odlyzko, A. M. (1998), The 10²¹st zero of the Riemann zeta function (PDF)
• Ono, Ken; Soundararajan, K. (1997), "Ramanujan's ternary quadratic form", Inventiones Mathematicae, 130 (3): 415–454, doi:10.1007/s002220050191
• Patterson, S. J. (1988), An introduction to the theory of the Riemann zeta-function, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, quyển 14, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33535-5, MR 0933558
• Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5
• Riemann, Bernhard (1859), "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse", Monatsberichte der Berliner Akademie. In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953). Original manuscript Lưu trữ ngày 23 tháng 5 năm 2013 tại Wayback Machine (with English translation). Reprinted in (Borwein và đồng nghiệp 2008) and (Edwards 1874)
• Riesel, Hans; Göhl, Gunnar (1970), "Some calculations related to Riemann's prime number formula", Mathematics of Computation, 24 (112): 969–983, doi:10.2307/2004630, JSTOR 2004630, MR 0277489
• Riesz, M. (1916), "Sur l'hypothèse de Riemann", Acta Mathematica, 40: 185–190, doi:10.1007/BF02418544
• Robin, G. (1984), "Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série, 63 (2): 187–213, MR 0774171
• Rockmore, Dan (2005), Stalking the Riemann hypothesis, Pantheon Books, ISBN 978-0-375-42136-5, MR 2269393
• Rosser, J. Barkley; Yohe, J. M.; Schoenfeld, Lowell (1969), "Rigorous computation and the zeros of the Riemann zeta-function. (With discussion)", Information Processing 68 (Proc. IFIP Congress, Edinburgh, 1968), Vol. 1: Mathematics, Software, Amsterdam: North-Holland, tr. 70–76, MR 0258245
• Rudin, Walter (1973), Functional Analysis, 1st edition (January 1973), New York: McGraw-Hill, ISBN 0-070-54225-2
• Sabbagh, Karl (2003), The Riemann hypothesis, Farrar, Straus and Giroux, New York, ISBN 978-0-374-25007-2, MR 1979664
• Salem, Raphaël (1953), "Sur une proposition équivalente à l'hypothèse de Riemann", Les Comptes rendus de l'Académie des sciences, 236: 1127–1128, MR 0053148
• Sarnak, Peter (2008), "Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis", trong Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; và đồng nghiệp (biên tập), The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike (PDF), CMS Books in Mathematics, New York: Springer, tr. 107–115, ISBN 978-0-387-72125-5, Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 13 tháng 4 năm 2016, truy cập ngày 23 tháng 12 năm 2013
• du Sautoy, Marcus (2003), The music of the primes, HarperCollins Publishers, ISBN 978-0-06-621070-4, MR 2060134
• Schoenfeld, Lowell (1976), "Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II", Mathematics of Computation, 30 (134): 337–360, doi:10.2307/2005976, JSTOR 2005976, MR 0457374
• Schumayer, Daniel; Hutchinson, David A. W. (2011), Physics of the Riemann Hypothesis, arXiv:1101.3116
• Selberg, Atle (1942), "On the zeros of Riemann's zeta-function", Skr. Norske Vid. Akad. Oslo I., 10: 59 pp, MR 0010712
• Selberg, Atle (1946), "Contributions to the theory of the Riemann zeta-function", Arch. Math. Naturvid., 48 (5): 89–155, MR 0020594
• Selberg, Atle (1956), "Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series", J. Indian Math. Soc. (N.S.), 20: 47–87, MR 0088511
• Serre, Jean-Pierre (1969/70), "Facteurs locaux des fonctions zeta des varietés algébriques (définitions et conjectures)", Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 19 {{Chú thích}}: Kiểm tra giá trị ngày tháng trong: |year= (trợ giúp)Quản lý CS1: năm (liên kết)
• Sheats, Jeffrey T. (1998), "The Riemann hypothesis for the Goss zeta function for F_q[T]", Journal of Number Theory, 71 (1): 121–157, doi:10.1006/jnth.1998.2232, MR 1630979
• Siegel, C. L. (1932), "Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie", Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. und Phys. Abt. B: Studien 2: 45–80 Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.
• Speiser, Andreas (1934), "Geometrisches zur Riemannschen Zetafunktion", Mathematische Annalen, 110: 514–521, doi:10.1007/BF01448042, JFM 60.0272.04, Bản gốc lưu trữ ngày 27 tháng 6 năm 2015, truy cập ngày 23 tháng 12 năm 2013
• Stein, William; Mazur, Barry (2007), What is Riemann’s Hypothesis? (PDF), Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 27 tháng 3 năm 2009, truy cập ngày 23 tháng 12 năm 2013
• Suzuki, Masatoshi (2011), "Positivity of certain functions associated with analysis on elliptic surfaces", Journal of Number Theory, 131: 1770–1796
• Titchmarsh, Edward Charles (1935), "The Zeros of the Riemann Zeta-Function", Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 151 (873), The Royal Society: 234–255, doi:10.1098/rspa.1935.0146, JSTOR 96545
• Titchmarsh, Edward Charles (1936), "The Zeros of the Riemann Zeta-Function", Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 157 (891), The Royal Society: 261–263, doi:10.1098/rspa.1936.0192, JSTOR 96692
• Titchmarsh, Edward Charles (1986), The theory of the Riemann zeta-function (ấn bản thứ 2), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853369-6, MR 0882550
• Trudgian, Timothy (2011), "On the success and failure of Gram's Law and the Rosser Rule", Acta Arithmetica, 125: 225–256
• Turán, Paul (1948), "On some approximative Dirichlet-polynomials in the theory of the zeta-function of Riemann", Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd., 24 (17): 36, MR 0027305 Reprinted in (Borwein và đồng nghiệp 2008).
• Turing, Alan M. (1953), "Some calculations of the Riemann zeta-function", Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series, 3: 99–117, doi:10.1112/plms/s3-3.1.99, MR 0055785
• de la Vallée-Poussin, Ch.J. (1896), "Recherches analytiques sur la théorie des nombers premiers", Ann. Soc. Sci. Bruxelles, 20: 183–256
• de la Vallée-Poussin, Ch.J. (1899–1900), "Sur la fonction ζ(s) de Riemann et la nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée", Mem. Couronnes Acad. Sci. Belg., 59 (1) Reprinted in (Borwein và đồng nghiệp 2008).
• Weil, André (1948), Sur les courbes algébriques et les variétés qui s'en déduisent, Actualités Sci. Ind., no. 1041 = Publ. Inst. Math. Univ. Strasbourg 7 (1945), Hermann et Cie., Paris, MR 0027151
• Weil, André (1949), "Numbers of solutions of equations in finite fields", Bulletin of the American Mathematical Society, 55 (5): 497–508, doi:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4, MR 0029393 Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by Andre Weil ISBN 0-387-90330-5
• Weinberger, Peter J. (1973), "On Euclidean rings of algebraic integers", Analytic number theory (St. Louis Univ., 1972), Proc. Sympos. Pure Math., quyển 24, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., tr. 321–332, MR 0337902
• Wiles, Andrew (2000), "Twenty years of number theory", Mathematics: frontiers and perspectives, Providence, R.I.: American Mathematical Society, tr. 329–342, ISBN 978-0-8218-2697-3, MR 1754786
• Zagier, Don (1977), "The first 50 million prime numbers" (PDF), Math. Intelligencer, 0, Springer: 7–19, doi:10.1007/BF03039306, MR 0643810, Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 27 tháng 3 năm 2009, truy cập ngày 23 tháng 12 năm 2013
• Zagier, Don (1981), "Eisenstein series and the Riemann zeta function", Automorphic forms, representation theory and arithmetic (Bombay, 1979), Tata Inst. Fund. Res. Studies in Math., quyển 10, Tata Inst. Fundamental Res., Bombay, tr. 275–301, MR 0633666

Liên kết ngoài

• American institute of mathematics, Riemann hypothesis
• Apostol, Tom, Where are the zeros of zeta of s? Poem about the Riemann hypothesis, sung by John Derbyshire.
• Borwein, Peter, The Riemann Hypothesis (PDF), Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 27 tháng 3 năm 2009, truy cập ngày 23 tháng 12 năm 2013 (Slides for a lecture)
• Conrad, K. (2010), Consequences of the Riemann hypothesis
• Conrey, J. Brian; Farmer, David W, Equivalences to the Riemann hypothesis, Bản gốc lưu trữ ngày 16 tháng 3 năm 2010, truy cập ngày 23 tháng 12 năm 2013
• Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2004), Computation of zeros of the Zeta function (Reviews the GUE hypothesis, provides an extensive bibliography as well).
• Odlyzko, Andrew, Home page including papers on the zeros of the zeta function and tables of the zeros of the zeta function
• Odlyzko, Andrew (2002), Zeros of the Riemann zeta function: Conjectures and computations (PDF) Slides of a talk
• Pegg, Ed (2004), Ten Trillion Zeta Zeros, Math Games website, Bản gốc lưu trữ ngày 2 tháng 11 năm 2004, truy cập ngày 23 tháng 12 năm 2013 {{Chú thích}}: Đã định rõ hơn một tham số trong |archiveurl= và |archive-url= (trợ giúp). A discussion of Xavier Gourdon's calculation of the first ten trillion non-trivial zeros
• Pugh, Glen, Java applet for plotting Z(t), Bản gốc lưu trữ ngày 30 tháng 6 năm 2015, truy cập ngày 23 tháng 12 năm 2013
• Rubinstein, Michael, algorithm for generating the zeros, Bản gốc lưu trữ ngày 27 tháng 4 năm 2007, truy cập ngày 23 tháng 12 năm 2013.
• du Sautoy, Marcus (2006), Prime Numbers Get Hitched, Seed Magazine, Bản gốc lưu trữ ngày 22 tháng 9 năm 2017, truy cập ngày 23 tháng 12 năm 2013 {{Chú thích}}: Liên kết ngoài trong |publisher= (trợ giúp)
• Stein, William A., What is Riemann's hypothesis, Bản gốc lưu trữ ngày 4 tháng 1 năm 2009, truy cập ngày 23 tháng 12 năm 2013
• de Vries, Andreas (2004), The Graph of the Riemann Zeta function ζ(s), a simple animated Java applet.
• Watkins, Matthew R. (ngày 18 tháng 7 năm 2007), Proposed proofs of the Riemann Hypothesis
• Zetagrid (2002) A distributed computing project that attempted to disprove Riemann's hypothesis; closed in November 2005