Hàm rect

Hàm chữ nhật hay hàm rect là một hàm toán học liên tục được định nghĩa như sau:

Hàm rect.

$\mathrm{rect}(t)=\sqcap (t)=\{\begin{array}{cc}0& \text{khi }|t|>\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \text{khi }|t|=\frac{1}{2}\\ 1& \text{khi }|t|<\frac{1}{2}.\end{array}$

Ngoài ra, trong nhiều lĩnh vực đặc biệt là lĩnh vực xử lý tín hiệu, hàm rect còn được định nghĩa theo cách khác như sau:

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}{\mathrm{t}}_{\mathrm{d}}(t)=\{\begin{array}{cc}1& \text{khi }|t|\le \frac{1}{2}\\ 0& \text{khi }|t|>\frac{1}{2}.\end{array}$

Biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier liên tục của hàm rect là một hàm sinc:

$\begin{array}{cc}ℱ\{\mathrm{rect}(t)\}& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)\cdot e^{-i2\pi ft}dt=\frac{\sin (\pi f)}{\pi f}=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(\pi f)=\mathrm{s}\mathrm{i}(f).\end{array}$

và:

$ℱ\{\mathrm{rect}(t)\}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)\cdot e^{-i\omega t}dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(\frac{\omega }{2\pi }\right).$

Mối quan hệ với hàm tri

Tích chập của 2 hàm rect là 1 hàm tri.

$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}(t)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)\ast \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t).$

Ứng dụng trong xác suất

Sử dụng hàm rect như là một hàm mật độ xác suất, nó là 1 trường hợp đặc biệt của phân phối đều liên tục với $a,b=-\frac{1}{2},\frac{1}{2}$.

Hàm đặc trưng:

$\phi (k)=\frac{\sin (k/2)}{k/2},$

Hàm sinh mômen:

$M(k)=\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(k/2)}{k/2},$

với $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(t)$ là một hàm hypebolic.

Biểu diễn bằng hàm hữu tỉ

Hàm rect có thể được biểu diễn dưới dạng là giới hạn của 1 hàm hữu tỉ:

$\sqcap (t)=\underset{n\to \mathrm{\infty },n\in \mathbb{(}Z)}{lim}\frac{1}{(2t{)}^{2n}+1}$

Chứng minh

• Trường hợp $|t|<\frac{1}{2}$. Với mọi số nguyên n thì (2t)2n luôn luôn dương. Do 2t<1 cho nên (2t)2n→0 khi n→∝.

Suy ra:

$\underset{n\to \mathrm{\infty },n\in \mathbb{(}Z)}{lim}\frac{1}{(2t{)}^{2n}+1}=\frac{1}{0+1}=1,|t|<\frac{1}{2}$

• Trường hợp $|t|>\frac{1}{2}$. Với mọi số nguyên n thì (2t)2n luôn luôn dương. Do 2t>1 cho nên (2t)2n→∝ khi n→∝.

Suy ra:

$\underset{n\to \mathrm{\infty },n\in \mathbb{(}Z)}{lim}\frac{1}{(2t{)}^{2n}+1}=\frac{1}{+\mathrm{\infty }+1}=0,|t|>\frac{1}{2}$

• Trường hợp $|t|=\frac{1}{2}$.

Dễ dàng ta có:

$\underset{n\to \mathrm{\infty },n\in \mathbb{(}Z)}{lim}\frac{1}{(2t{)}^{2n}+1}=\underset{n\to \mathrm{\infty },n\in \mathbb{(}Z)}{lim}\frac{1}{1^{2n}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$

Từ đó có thể định nghĩa hàm rect như sau:

$\therefore \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)=\sqcap (t)=\underset{n\to \mathrm{\infty },n\in \mathbb{(}Z)}{lim}\frac{1}{(2t{)}^{2n}+1}=\{\begin{array}{cc}0& \text{if }|t|>\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \text{if }|t|=\frac{1}{2}\\ 1& \text{if }|t|<\frac{1}{2}.◼\end{array}$