Nhóm Prüfer

Trong toán học, và cụ thể là trong lý thuyết nhóm, một p-nhóm Prüfer là bất kỳ nhóm nào đẳng cấu với nhóm nhân

${𝐂}_{p^{\mathrm{\infty }}}=\{\exp (2\pi in/p^m)\mid n\in 𝐙,m\in 𝐍\}$

tạo bởi các căn thức phức của đơn vị có bậc là một lũy thừa của p (với p là một số nguyên tố).

Do đó, nó là một p-nhóm giao hoán đếm được.

Định nghĩa tương đương

Đặt G là một p-nhóm Prüfer. Ta có:

a) G đẳng cấu với nhóm thương $𝐙[1/p]/𝐙,$ với $𝐙[1/p]$ là nhóm con của (Q,+) được tạo bởi các phân số có dạng $n/p^m$, với $n\in 𝐙,m\in 𝐍$.

Chứng minh. Đồng cấu $𝐙[1/p]\to {𝐂}_{p^{\mathrm{\infty }}}:q\mapsto \exp (2\pi iq)$ là một toàn ánh. Hạch của nó là $𝐙$.

b) G có biểu thị nhóm

$⟨x_1,x_2,\dots |x_1^p=1,x_2^p=x_1,x_3^p=x_2,\dots ⟩.$

c) G có một hệ sinh $(a_n{)}_{n\in 𝐙}$ sao cho$a_0≠1$, $a_0^p=1$ và $a_{n+1}^p=a_n$ với mọi $n\ge 0$.

d) G là hợp của một chuỗi tăng dần vô hạn $C_0\le C_1\le \dots \le C_n\le \dots$ trong đó, với mọi n, C_n là một nhóm cyclic cấp pⁿ.