Tập trù mật

Được tạo bằng Mandelzot và Photoshop. Các sợi ‘hairy filaments’ được tính toán riêng bằng bộ ước lượng khoảng cách và chồng lên hình. Độ rộng đường biên là 0,05 pixel. Hình được tính toán ở độ phân giải 4426 × 3318 pixel. Tọa độ tâm tại −1,74736852 và 0,00473218. Độ phóng đại 9,77119 × 10⁵. Giá trị lặp tối đa (maximum dwell) là 32765. Bán kính thoát là 2. Phần đạt giá trị lặp tối đa được tính lại bằng bộ tăng tốc Mariani/Silver khi trình dò đường viền Sherman bỏ sót các giá trị lặp cô lập. Một số chỉnh sửa nhỏ khác được thực hiện bằng Photoshop.

Khái niệm trù mật là một khái niệm tô pô. Giả sử $A$ và $B$ là 2 tập con trong không gian tôpô $X$. Ta nói tập $A$ trù mật trong tập $B$ nếu $B=\overline{A}$, trong đó $\overline{A}$ là ký hiệu bao đóng của tập A. Thêm nữa, tập A được gọi là trù mật khắp nơi nếu A trù mật trong toàn không gian X. Để dễ hình dung, ta xét trường hợp đặc biệt trong không gian mêtric X thì định nghĩa trên được phát biểu lại trực quan như sau: Tập A trù mật trong B nếu mỗi phần tử $x\in B$ và với $ϵ>0,\mathrm{\exists }y\in A:d(y,x)<ϵ$ trong đó ký hiệu d(x,y) là khoảng cách giữa 2 điểm (phần tử) x và y.

Nói một cách nôm na rằng, tập A trù mật trong B nếu mọi phần tử trong B đều bị kiểm soát bởi những phần tử trong A với khoảng cách bé tùy ý, tức là, cứ lấy mỗi phần tử $x\in B$ làm tâm, quay một vòng tròn bán kính $ϵ>0$ tùy ý thì thế nào trong hình tròn này cũng có mặt một phần tử $y\in A$

Hay đơn giản hơn:

Tập trù mật A nghĩa là nếu $\bar{A}$ đóng trong $A$ thì A trù mật trong $\bar{A}$.Bao đóng của A chính là phần bù của A.

Ví dụ

• Tập số hữu tỉ, Tập số vô tỉ là 2 tập trù mật trong tập số thực.
• Với tô pô hội tụ đều trên các tập compact, tập các đa thức một biến trù mật trong không gian hàm một biến liên tục.
• Theo chuẩn hội tụ trung bình bình phương, tập các đa thức một biến, đa thức lượng giác, hàm một biến liên tục là 3 tập trù mật trong không gian các hàm bình phương khả tích Lebesgue.
• Một điểm ge-ne-ric của một không gian tô pô $X$ là một điểm $p$ sao cho $\{p\}$ trù mật trong $X$.