Tổng Abel

Tổng Abel mặc dù đã được phát biểu bởi tên nhà toán học Na Uy Niels Henrik Abel (1802-1829) nhưng các lý thuyết khả tổng được nghiên cứu bởi Euler và Gottfried Wilhelm Leibniz.

Định nghĩa khả tổng Abel

Một chuỗi vô hạn các số phức

$\sigma =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$

có thể tính được theo phương pháp Abel về một tổng số $S$ nếu chuỗi

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k$

hội tụ với mọi x sao cho 0 < x < 1 và

$\underset{x\to 1^{-}}{lim}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k=S$

thì chuỗi $\sigma$ gọi là khả tổng theo Abel.

Định lý giới hạn Abel

Kết luận rằng với các điều kiện mà tổng Abel đòi hỏi như trên thì tổng $\sigma$ hội tụ về S.

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k=S$

Lưu ý

Định lý này vẫn đúng cho trường hợp đặc biệt là chuỗi các số thực.