Xem mã nguồn của Giả thuyết Jacobi


{{Infobox mathematical statement
| name = Giả thuyết Jacobi 2 biến
| image = 
| caption = 
| field = [[Hình học đại số]]
| conjectured by = [[Ludwig Kraus]]
| conjecture date = 1884
| first proof by = 
| first proof date = 
| open problem = Có
| implied by = 
| equivalent to = 
| generalizations = 
| consequences = 
}}

{{Infobox mathematical statement
| name = Giả thuyết Jacobi <math display="inline">n</math> biến
| image = 
| caption = 
| field = [[Hình học đại số]]
| conjectured by = [[Ott-Heinrich Keller]]
| conjecture date = 1939
| first proof by = 
| first proof date = 
| open problem = 
Đã phát hiện phản ví dụ với mọi <math>n > 2</math> (2026)
| implied by = 
| equivalent to = [[Giả thuyết Dixmier]]
| generalizations = 
| consequences = 
}}

'''Giả thuyết Jacobi''' là một giả thuyết toán học về đa thức nhiều [[Biến số|biến]]. Giả thuyết có hai dạng: một dạng cho các đa thức hai biến<ref name="MohJacobian2variables">{{cite web |last=Moh |first=T. T. |title=Jacobian Conjecture |website=Department of Mathematics, Purdue University |url=https://www.math.purdue.edu/~ttm/jacobian.html |access-date=24 July 2026}}</ref><ref name="degree100"/><ref name="Wang2005">{{cite journal|last=Wang |first=Lih-Chung |title=On the Jacobian conjecture |journal=Taiwanese Journal of Mathematics |volume=9|issue=3 |year=2005 |pages=421–431 |doi=10.11650/twjm/1500407850 |mr=2162887
}}</ref><ref name="Formanek2011"/> còn được gọi là '''giả thuyết Jacobi cho mặt phẳng''',<ref name=":0"/><ref name="degree108"/> và một dạng tổng quát cho đa thức {{tmath|n}} biến.<ref name="Wright1981"/><ref name=":3"/> Giả thuyết khẳng định rằng nếu một một ánh xạ đa thức trên không gian <math display="inline">n</math> chiều đến chính nó có [[định thức Jacobi]] là hằng số khác 0, thì nó phải có hàm ngược đa thức. 

Giả thuyết được đặt tên theo nhà toán học người Đức [[Carl Gustav Jakob Jacobi]].<ref>https://www.math.purdue.edu/~ttm/jacobian.html</ref> Bài toán được phát biểu lần đầu cho trường hợp đa thức hai biến bởi [[Ludwig Kraus]] vào năm 1884,<ref>{{Cite journal |last=Kraus |first=Ludwig |date=1884 |title=Ueber Functionaldeterminanten |url=https://www.digitale-sammlungen.de/view/bsb11546882?page=830%2C831 |journal=Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse |language=de |volume=90 |pages=813-826}}</ref><ref name=":0">{{Cite journal |last=Rodríguez Díaz |first=Lázaro Orlando |date=2026-06-05 |title=On the origin of the Jacobian conjecture |url=https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.831/ |journal=Comptes Rendus. Mathématique |language=en |volume=364 |issue=G2 |pages=363–370 |doi=10.5802/crmath.831 |issn=1778-3569|doi-access=free |arxiv=2512.23614 }}</ref><ref name="weyr">{{cite journal |last=Weyr |first=Eduard |author-link=Eduard Weyr |title=Život a působení dra Ludvíka Krause |trans-title=The life and work of Dr. Ludvík Kraus |journal=Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky |volume=15 |issue=2 |year=1886 |pages=49–52 |url=https://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/122228/CasPestMatFys_015-1886-2_1.pdf |language=cs |via=Czech Digital Mathematics Library}}</ref> và được phát biểu lại cho trường hợp đa thức <math display="inline">n</math> biến có hệ số nguyên bởi [[Ott-Heinrich Keller]] vào năm 1939.<ref>{{Cite journal
| last1=Keller | first1=Ott-Heinrich
| title=Ganze Cremona-Transformationen
| doi=10.1007/BF01695502 | doi-access=free
| year=1939
| journal=[[Monatshefte für Mathematik und Physik]]
| issn=0026-9255
| volume=47
| issue=1
| pages=299–306|language=de}}</ref> Dạng {{tmath|n}} biến của giả thuyết được phổ biến rộng rãi bởi [[Shreeram Abhyankar]], khi ông lấy nó làm ví dụ cho một bài toán khó trong lĩnh vực [[hình học đại số]] mà vẫn có thể hiểu được dựa trên kiến thức cơ bản về [[Vi tích phân|giải tích]].<ref>{{Cite book |last=Abhyankar |first=Shreeram Shankar |title=Algebraic Geometry for Scientists and Engineers |date=1990 |publisher=American Mathematical Society |isbn=978-0-8218-1535-9 |series=Mathematical surveys and monographs |location=Providence, R.I|author-link=Shreeram Shankar Abhyankar}}</ref> Dạng {{tmath|n}} biến của giả thuyết Jacobi là bài toán thứ 16 trong [[Các bài toán của Smale|danh sách các bài toán cho thế kỷ sau do Stephen Smale tổng hợp vào năm 1998]].<ref>{{Cite journal |first=Steve|last=Smale|title=Mathematical Problems for the Next Century|journal=[[The Mathematical Intelligencer]]|year=1998|volume=20|number=2|pages=7–15|citeseerx=10.1.1.35.4101|doi=10.1007/bf03025291|s2cid=1331144}}</ref> 

Hai bài báo của Kraus và Keller đều không đặt tên cho giả thuyết. Cái tên '''bài toán Jacobi''' lần đầu được [[Shreeram Abhyankar]] đặt cho dạng hai biến vào năm 1977,<ref>{{cite|last1=Abhyanker|first1=Shreeram|title=Lectures on Expansion Techniques In Algebraic Geometry|year=1977}}</ref> và được Stuart Wang sử dụng cho dạng <math display="inline">n</math> biến vào năm 1980.<ref name="degree2"/> Cái tên '''giả thuyết Jacobi''' lần đầu được David Wright sử dụng cho dạng <math display="inline">n</math> biến vào năm 1981,<ref name="Wright1981"/> và được Tzuong-Tsieng Moh sử dụng cho dạng 2 biến vào năm 1983.<ref name="degree100"/>

Vào ngày 19 tháng 7 năm 2026, nhà toán học và nhân viên [[Anthropic]] [[Levent Alpöge]] đã nêu ra một phản ví dụ cụ thể cho giả thuyết trong không gian 3 chiều được tìm thấy bằng [[mô hình ngôn ngữ lớn]] [[Claude Mythos|Claude Fable 5]] của Anthropic, qua đó bác bỏ giả thuyết với trường hợp <math display="inline">n > 2</math>.<ref name=":12">{{cite news |url=https://www.newscientist.com/article/2580374-ais-solution-to-87-year-old-riddle-takes-mathematicians-by-surprise/|title=AI’s solution to 87-year-old riddle takes mathematicians by surprise|author=Sparkes|date=July 20, 2026|publisher=|archive-url=https://web.archive.org/web/20260721173628/https://www.newscientist.com/article/2580374-ais-solution-to-87-year-old-riddle-takes-mathematicians-by-surprise/|archive-date=July 21, 2026|first=Matthew|url-status=live|url-access=subscription|access-date=July 23, 2026|work=[[New Scientist]]}}</ref><ref name=":2">{{cite web|url=https://terrytao.wordpress.com/2026/07/21/a-digestion-of-the-jacobian-conjecture-counterexample/|title=A digestion of the Jacobian conjecture counterexample|author=Tao|date=21 July 2026|access-date=July 23, 2026|website=WordPress|first=Terence|author-link=Terence Tao}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://temperaturezero.com/2026/07/21/fable-5-disproved-jacobian-conjecture-87-years/|title=Fable 5 Disproved What Algebraists Spent 87 Years Trying to Prove|date=July 21, 2026}}</ref> Có thể dễ dàng chứng minh giả thuyết Jacobi là đúng với trường hợp <math display="inline">n = 1</math>.

Trường hợp không gian hai chiều của giả thuyết Jacobi vẫn được coi là một bài toán mở.<ref>{{cite journal|last1=Bisi|first1=Elia|last2=Dyszewski|first2=Piotr|last3=Gantert|first3=Nina|last4=Johnston|first4=Samuel G. G.|last5=Prochno|first5=Joscha|last6=Schmid|first6=Dominik|title=Random planar trees and the Jacobian conjecture |journal=Journal of the London Mathematical Society |volume=113 |issue=1 |year=2026 |article-number=e70416 |doi=10.1112/jlms.70416 |quote=The Jacobian conjecture ... is one of the outstanding open problems in all of mathematics ... even the case n=2 is still open.
}}</ref> Các tài liệu chuyên ngành trước đây đã phân biệt rõ trạng thái chứng minh giữa trường hợp hai biến và trường hợp tổng quát <math display="inline">n</math> biến của giả thuyết.<ref name="VandenEssen1997">{{cite journal |last=van den Essen |first=Arno |title=To Believe or Not to Believe: The Jacobian Conjecture |journal=Rendiconti del Seminario Matematico della Università e Politecnico di Torino |volume=55 |issue=4 |year=1997 |at=p. 287 |url=https://seminariomatematico.polito.it/rendiconti/cartaceo/55-4/283.pdf
 |quote=For n = 2 the conjecture might be true, however ... there is an enormous difference between <math>n = 2</math> and <math>n\geq  3</math>!
}}</ref><ref name="Formanek2011">{{cite journal |last=Formanek |first=Edward |title=Theorems of W. W. Stothers and the Jacobian Conjecture in two variables |journal=Proceedings of the American Mathematical Society |volume=139 |issue=4 |year=2011 |at=p. 1140 |doi=10.1090/S0002-9939-2010-10523-3 |quote=There is strong evidence for the two-variable Jacobian Conjecture, but not for the n-variable conjecture.
}}</ref><ref name="Borisov2014">{{cite journal |last=Borisov |first=Alexander |title=On two invariants of divisorial valuations at infinity |journal=Journal of Algebraic Combinatorics |volume=39 |issue=3 |year=2014 |at=p. 692 |doi=10.1007/s10801-013-0462-9 |quote=The two-dimensional case has been especially well studied, but is still wide open.
}}</ref><ref name="Woit2004">{{cite web |last=Woit |first=Peter
 |title=Proof of the Jacobian Conjecture |website=Not Even Wrong |date=10 November 2004 |url=https://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=105 |access-date=20 July 2026 |quote=For more variables, many people believe it is not even true.
}}</ref><ref name="MohJacobian">{{cite web |last=Moh |first=T. T. |title=Jacobian Conjecture |website=Department of Mathematics, Purdue University |url=https://www.math.purdue.edu/~ttm/jacobian.html |access-date=20 July 2026 |quote=Certainly there are even harder Jacobian conjectures for three or more variables. However, there is hardly any evidence for them to be true!
}}</ref> Dạng hai biến của giả thuyết nổi tiếng vì có nhiều các chứng minh gặp phải những sai sót rất nhỏ,<ref name="Wright1981"/><ref name=":0"/><ref name="vdE19972">{{citation
|last=van den Essen|first=Arno|chapter=Polynomial automorphisms and the Jacobian conjecture|title=Algèbre non commutative, groupes quantiques et invariants (Reims, 1995)|pages=55–81|series=Sémin. Congr.|volume=2|publisher=Soc. Math. France|place=Paris|year=1997|mr=1601194|chapter-url=https://www.emis.de/journals/SC/1997/2/pdf/smf_sem-cong_2_55-81.pdf}}</ref><ref name=":3">{{cite journal |last=Bass|first=Hyman|last2=Connell|first2=Edwin H.|last3=Wright|first3=David|date=1982|title=The Jacobian conjecture: Reduction of degree and formal expansion of the inverse|url=https://www.ams.org/bull/1982-07-02/S0273-0979-1982-15032-7/|journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]]|language=en|volume=7|issue=2|pages=287–330|doi=10.1090/S0273-0979-1982-15032-7|issn=0273-0979|doi-access=free}}</ref><ref name="Woit2004"/><ref name="Hochster2004">{{cite web|last1=Hochster|first1=Mel|title=lectures on Jacobian conjecture|date=November 5, 2004|url=https://groups.google.com/g/sci.math.research/c/zeApl3rDV5o}}</ref> trong đó có ít nhất năm chứng minh đã được xuất bản.<ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/JacobianConjecture.html|title=Jacobian Conjecture|first=Eric W.|last=Weisstein|website=mathworld.wolfram.com}}</ref>
== Định thức Jacobi ==
Cho <math>n > 1</math> là một số nguyên cố định và xét các đa thức <math display="inline">f_1, \dots, f_n</math> theo các biến <math display="inline">X_1, \dots, X_n</math> có [[hệ số]] thuộc một trường {{tmath| \mathbb{K} }}. Qua đó, ta định nghĩa một [[hàm vectơ]] <math display="inline">F : \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^n</math> bằng cách đặt:

<math display="block">F(X_1, \dots, X_n) = ( f_1(X_1, \dots, X_n), \dots, f_n(X_1,\dots, X_n))</math>

Các ánh xạ dạng <math display="inline">F : \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^n</math> được tạo theo cách này được gọi là [[ánh xạ đa thức]].

[[Định thức Jacobi]] của {{tmath| F }}, kí hiệu là {{tmath| J_F }}, được định nghĩa là [[định thức]] của [[ma trận Jacobi]] cấp <math display="inline">n \times n</math> bao gồm các [[đạo hàm riêng]] của <math display="inline">f_i</math> theo {{tmath| X_j }}:

: <math>J_F = \left | \begin{matrix} \frac{\partial f_1}{\partial X_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial X_n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f_n}{\partial X_1} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial X_n} \end{matrix} \right |,</math>

Theo đó, <math display="inline">J_F</math> cũng chính là một hàm đa thức của <math display="inline">n</math> biến {{tmath| X_1, \dots, X_n }}.

== Phát biểu giả thuyết ==

Theo quy tắc đạo hàm hàm hợp nhiều biến, nếu <math display="inline">F</math> có một hàm ngược đa thức {{tmath| G : \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^n }}, thì <math display="inline">J_F</math> sẽ có nghịch đảo đa thức, tức là bằng một hằng số khác 0. Giả thuyết Jacobi là mệnh đề đảo bán phần sau đây:
{{block indent|'''Giả thuyết Jacobi:''' Cho trường <math display="inline">\mathbb{K}</math> có [[Đặc trưng (đại số)|đặc trưng]] bằng {{tmath| 0 }}. Nếu <math display="inline">J_F</math> là hằng số khác 0, thì <math display="inline">F</math> có hàm ngược <math display="inline">G : \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^n</math> [[Ánh xạ chính quy (hình học đại số)|chính quy]], nghĩa là các thành phần của nó đều là đa thức.}}

Theo van den Essen, giả thuyết lần đầu được đưa ra bởi Keller vào năm 1939 cho trường hợp các đa thức có hệ số nguyên.<ref name="vdE19972" /> Trường hợp này, cũng như trường hợp các đa thức trên trường {{tmath| \mathbb{K} }} có đặc trưng bằng 0, có thể quy về <math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math> bằng [[nguyên lý Lefschetz]].<ref name="vdE19972" /> Tuy nhiên, một cuộc thăm dò cơ sở dữ liệu [[zbMATH]] vào năm 2025 lại cho thấy rằng trường hợp hai biến trên trường {{tmath| \mathbb{C} }} thực chất đã được Ludwiq Kraus nêu ra vào năm 1884; ông cũng đã đưa ra một chứng minh không chính xác trong chính bài báo đó.<ref name=":0" />

Trường hợp tương tự hiển nhiên của giả thuyết Jacobi là sai nếu {{tmath| \mathbb{K} }} có đặc trưng <math display="inline">p > 0</math>, kể cả cho trường hợp một biến. Đặc trưng của một trường phải là số nguyên tố nếu khác 0, tức là phải lớn hơn hoặc bằng {{tmath| 2 }}. Đa thức <math display="inline">x - x^{p}</math> có đạo hàm là {{tmath| 1 - px^{p-1} = 0}} (vì <math display="inline">px = 0</math>) nhưng lại không có hàm ngược. Tuy nhiên, {{ill|Kossivi Adjamagbo|ht|Pascal Kossivi Adjamagbo}} đã đề xuất mở rộng giả thuyết Jacobi để bao gồm trường hợp đặc trưng <math display="inline">p > 0</math> bằng cách thêm giả thiết rằng <math display="inline">p</math> không chia hết cho [[Bậc của mở rộng trường|bậc]] của [[mở rộng trường]] {{tmath| \mathbb{K}(X) / \mathbb{K}(F) }}.<ref>{{citation
| mr=1352692
| last=Adjamagbo | first=Kossivi
| chapter=On separable algebras over a U.F.D. and the Jacobian conjecture in any characteristic
| title= Automorphisms of affine spaces (Curaçao, 1994)
| pages= 89–103
| publisher= Kluwer Acad. Publ.
| place= Dordrecht
| year= 1995
| doi=10.1007/978-94-015-8555-2_5 | isbn=978-90-481-4566-9 | doi-access=free}}</ref>

Sự tồn tại của một hàm ngược đa thức là hiển nhiên nếu <math display="inline">F</math> là tập hợp các hàm tuyến tính theo các biến, bởi khi đó hàm ngược cũng sẽ là tập hợp các hàm tuyến tính. Một ví dụ phi tuyến tính đơn giản là

: <math>u=x^2+y+x</math>
: <math>v=x^2+y</math>

khi đó, định thức Jacobi là 

: <math>J_F = \left | \begin{matrix} 1+2x & 1 \\
2x & 1 \end{matrix} \right |
= (1+2x)(1) - (1)2x = 1.
</math>

Trong trường hợp này có tồn tại hàm ngược đa thức 

: <math>x=u-v</math>
: <math>y=v-(u-v)^2.</math>

Tuy nhiên, nếu ta biến đổi hàm F thành 

: <math>u=2x^2+y</math>
: <math>v=x^2+y</math>

thì định thức 

: <math>J_F = \left | \begin{matrix} 4x & 1 \\
2x & 1 \end{matrix} \right |
= (4x)(1) - 2x(1) = 2x,
</math>

không phải là hằng số, và qua đó giả thuyết Jacobi không thể áp dụng được. Hàm này có hàm ngược nếu xét trên tập số thực và giả sử {{tmath| x > 0 }}:

: <math>x=\sqrt{u-v}</math>
: <math>y=2v-u,</math>

Tuy nhiên, biểu thức này của <math display="inline">x</math> không phải là đa thức. Nếu xét trên tập số phức, căn bậc hai trên là hàm đa trị.

Điều kiện <math display="inline">J_F \neq 0</math> có liên quan đến [[định lý hàm ngược]] trong lĩnh vực [[giải tích nhiều biến]]. Đối với các hàm trơn (và đặc biệt đối với các đa thức), một hàm ngược ''địa phương'' trơn của <math display="inline">F</math> tồn tại tại mọi điểm mà <math display="inline">J_F</math> khác 0. Điều này có nghĩa là tồn tại lân cận của mỗi điểm như vậy được ánh xạ song ánh lên ảnh của nó. Ví dụ, ánh xạ <math display="inline">x \mapsto x + x^3</math> có hàm ngược toàn cục trơn, tuy nhiên hàm ngược đó lại không phải là đa thức.

== Kết quả ==

=== Trường hợp 2 biến ===

Giả thuyết vẫn là bài toán mở đối với trường hợp hai biến. Trong trường hợp này, Tzuong-Tsieng Moh đã xác minh rằng giả thuyết đúng đối với các đa thức có bậc từ 100 trở xuống.<ref name="degree100">{{citation
| last1=Moh | first1=Tzuong-Tsieng
| title=On the Jacobian conjecture and the configurations of roots
| url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002200376
| mr=691964
| year=1983
| journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]
| issn=0075-4102
| volume=1983
| issue=340
| pages=140–212
| doi=10.1515/crll.1983.340.140| s2cid=116143599
}}</ref><ref>{{citation
| last1=Moh | first1=Tzuong-Tsieng
| title=On the global Jacobian conjecture for polynomials of degree less than 100
|series=preprint}}</ref> Jorge Alberto Guccione, Juan José Guccione, Rodrigo Horruitiner, và Christian Valqui đã tiếp tục xác minh giả thuyết đối với các đa thức bậc 108 trở xuống vào năm 2022.<ref name="degree108">{{citation
| last1 = Guccione | first1 = Jorge Alberto
| last2 = Guccione | first2 = Juan José
| last3 = Horruitiner | first3 = Rodrigo
| last4 = Valqui | first4 = Christian
| title = Increasing the degree of a possible counterexample to the Jacobian Conjecture from 100 to 108
| date = 29 Apr 2022
| arxiv = 2204.14178
}}</ref>

=== Trường hợp n biến ===
Nhiều trường hợp đặc biệt và phép quy về của giả thuyết Jacobi trong không gian <math display="inline">n</math> chiều đã được nêu ra trong nhiêu thập kỉ trước khi giả thuyết bị bác bỏ vào năm 2026. Do có phản ví dụ tồn tại, các kết quả bán phần mang tính khẳng định nêu ra các điều kiện mà các phản ví dụ khác không được phép thỏa mãn, trong khi các phép quy về cho thấy rằng phải có các phản ví dụ có các dạng rất đặc biệt tồn tại.

Stuart Sui-Sheng Wang đã chứng minh giả thuyết Jacobian là đúng đối với các đa thức [[Bậc của đa thức|bậc]] hai,<ref name="degree2">{{citation
| last1=Wang | first1=Stuart Sui-Sheng
| title=A Jacobian criterion for separability
| journal=Journal of Algebra
| volume=65
| issue=2
| pages=453–494
| date=August 1980
| doi=10.1016/0021-8693(80)90233-1 | doi-access=free }}</ref> qua đó các phản ví dụ phải là đa thức bậc ba trở lên. [[Hyman Bass]], Edwin Connell, và David Wright cho thấy rằng trường hợp tổng quát xuất phát từ trường hợp đặc biệt khi các đa thức có bậc ba, hoặc cụ thể hơn nữa là thuộc dạng đa thức thuần nhất bậc ba, tức là dạng {{tmath|1= F = (X_1 + H_1, \dots, X_n + H_n) }}, trong đó mỗi <math display="inline">H_i</math> bằng không hoặc là một [[đa thức thuần nhất]] bậc ba.<ref name="BCW1982">{{citation
| last1=Bass | first1=Hyman
| last2=Connell | first2=Edwin H.
| last3=Wright | first3=David
| title=The Jacobian conjecture: reduction of degree and formal expansion of the inverse
| doi=10.1090/S0273-0979-1982-15032-7
| issn=1088-9485
| mr=663785
| year=1982
| journal=Bulletin of the American Mathematical Society
| series=New Series
| volume=7
| issue=2
| pages=287–330
| doi-access=free}}</ref> Ludwik Drużkowski cho thấy rằng có thể giả sử ánh xạ thuộc dạng tuyến tính bậc ba, nghĩa là các <math display="inline">H_i</math> khác 0 là lập phương của các đa thức tuyến tính thuần nhất.<ref>{{citation
| last=Drużkowski | first=Ludwik M.
| title=An effective approach to Keller's Jacobian conjecture
| journal=[[Mathematische Annalen]]
| volume= 264
| year=1983
| issue=3
| pages=303–313
| mr=0714105
| doi=10.1007/bf01459126 | doi-access=free}}</ref> Các phép quy về này bổ sung thêm các biến mới và vì vậy không thể áp dụng đối với {{tmath| n }} cố định. Theo mệnh đề đảo của các phép quy về này, sự tồn tại của phản ví dụ năm 2026 cho thấy rằng các phản ví dụ khác có dạng đa thức thuần nhất bậc ba và tuyến tính bậc ba có tồn tại ở các không gian có số chiều đủ lớn.

Edwin Connell và [[Lou van den Dries]] đã chứng minh rằng nếu giả thuyết Jacobi là sai, thì giả thuyết có phản ví dụ có hệ số nguyên và định thức Jacobi bằng 1.<ref>{{citation
| last1=Connell | first1=Edwin
| last2=van den Dries | first2=Lou
| title=Injective polynomial maps and the Jacobian conjecture
| journal=Journal of Pure and Applied Algebra
| volume=28
| year=1983
| issue=3
| pages=235–239
| mr=0701351
| doi=10.1016/0022-4049(83)90094-4 | doi-access=free}}</ref> Họ suy ra rằng giả thuyết Jacobi hoặc là phải đúng đối với mọi trường có đặc trưng 0, hoặc là không đúng với trường nào cả; kết hợp với phản ví dụ 2026 (tồn tại trong tập số hữu tỉ), ta thấy rằng giả thuyết là sai đối với mọi trường có đặc trưng bằng {{tmath| 0 }}. Bởi phản ví dụ với {{tmath| n }} biến có thể sinh ra một phản ví dụ khác với {{tmath| n + 1 }} bằng cách thêm một biến phụ mà tại đó ánh xạ trở thành ánh xạ đồng nhất, giả thuyết là sai đối với mọi không gian có {{tmath| n > 2 }}.

Cho <math display="inline">\mathbb{K}[X]</math> là [[vành đa thức]] <math display="inline">\mathbb{K}[X_1, \dots, X_n]</math> và <math display="inline">\mathbb{K}[F]</math> là đại số con của <math display="inline">\mathbb{K}</math> được tạo ra bởi {{tmath| f_1, \dots, f_n }}. Với {{tmath| F }} bất kì, điều kiện Jacobi kéo theo tính khả nghịch của {{tmath| F }} khi và chỉ khi {{tmath|1= \mathbb{K}[X] = \mathbb{K}[F] }}. Keller (1939) đã chứng minh trường hợp [[hữu tỉ đôi]], tức là trường hợp và  <math display="inline">\mathbb{K}(X)</math> và <math display="inline">\mathbb{K}(F)</math> bằng nhau. Trường hợp <math display="inline">\mathbb{K}(X)</math> là [[mở rộng Galois]] của <math display="inline">\mathbb{K}(F)</math> đã được Andrew Campbell chứng minh đối với các ánh xạ phức<ref>{{citation
| last=Campbell | first=L. Andrew
| title=A condition for a polynomial map to be invertible
| journal=Mathematische Annalen
| volume=205
| issue=3
| year=1973
| pages=243–248
| mr=0324062
| doi=10.1007/bf01349234 | doi-access=free}}</ref>, và được chứng minh một cách tổng quát (một cách độc lập) bởi cả Michael Razar<ref>{{citation
| last1 = Razar | first1 = Michael
| year = 1979
| title = Polynomial maps with constant Jacobian
| journal = [[Israel Journal of Mathematics]]
| volume = 32
| issue = 2–3
| pages = 97–106
| mr=0531253
| doi=10.1007/bf02764906 | doi-access=free}}</ref> và David Wright.<ref name="Wright1981">{{citation
| last1 = Wright | first1 = David
| year = 1981
| title = On the Jacobian conjecture
| journal = Illinois Journal of Mathematics
| volume = 25
| issue = 3
| pages = 423–440
| mr=0620428
| doi=10.1215/ijm/1256047158 | doi-access=free}}</ref> Qua đó, các phản ví dụ không thể thuộc dạng hữu tỉ đôi hoặc xác định một mở rộng Galois; phù hợp với điều này, phản ví dụ năm 2026 về mặt tổng quát có tính chất ba-đối-một (three-to-one).<ref name=":2" />

Michiel de Bondt và Arno van den Essen<ref>{{citation
| last1=de Bondt | first1=Michiel
| last2=van den Essen | first2=Arno
| title=A reduction of the Jacobian conjecture to the symmetric case
| journal=Proceedings of the American Mathematical Society
| volume=133
| year=2005
| issue=8
| pages=2201–2205
| mr=2138860
| doi= 10.1090/S0002-9939-05-07570-2 |doi-access=free | hdl=2066/33302
| hdl-access=free
}}</ref><ref>{{citation
| last1=de Bondt | first1=Michiel
| last2=van den Essen | first2=Arno
| title=The Jacobian conjecture for symmetric Drużkowski mappings
| journal=[[Annales Polonici Mathematici]]
| volume=86
| year=2005
| issue=1
| pages=43–46
| mr=2183036
| doi=10.4064/ap86-1-5 | doi-access=free}}</ref> và Ludwik Drużkowski<ref>{{citation
| last=Drużkowski | first=Ludwik M.
| title=The Jacobian conjecture: symmetric reduction and solution in the symmetric cubic linear case
| journal=Annales Polonici Mathematici
| volume=87
| year=2005
| pages=83–92
| mr=2208537
| doi=10.4064/ap87-0-7 | doi-access=free}}</ref> đều cho thấy rằng trường hợp tổng quát của giả thuyết tương đương với trường hợp đặc biệt là các ánh xạ phức thuộc dạng thuần nhất bậc ba có ma trận Jacobi đối xứng, đồng nghĩa với việc phải tồn tại các phản ví dụ thuộc dạng này. Cả hai cũng cho thấy rằng giả thuyết đúng đối với các ánh xạ thuộc dạng tuyến tính bậc ba có ma trận Jacobi đối xứng trên bất kì trường có đặc trưng bằng {{tmath| 0 }}; vì vậy không thể tồn tại phản ví dụ này của dạng giới hạn này và không thể kết hợp hai phép quy về bậc ba tuyến tính và đối xứng.

Giả thuyết Jacobi thực mạnh từng là khẳng định rằng một ánh xạ đa thức thực có định thức Jacobian không triệt tiêu tại bất kỳ điểm nào phải có một hàm ngược toàn cục trơn. Phát biểu này tương đương với việc xét xem ánh xạ như vậy về mặt [[tô pô]] có phải là một [[ánh xạ riêng]] hay không; trong trường hợp này, ánh xạ này sẽ là một ánh xạ phủ của một [[đa tạp]] [[Không gian đơn liên|đơn liên]] và vì vậy sẽ là ánh xạ khả nghịch. Sergey Pinchuk đã đưa ra các phản ví dụ dạng hai biến có tổng số bậc từ 35 trở lên.<ref>{{citation
| last=Pinchuk | first= Sergey
| title= A counterexample to the strong real Jacobian conjecture
| journal= Mathematische Zeitschrift
| volume= 217
| year=1994
| issue= 1
| pages= 1–4
| mr=1292168
| doi=10.1007/bf02571929 | doi-access=free}}</ref> Các ánh xạ do Pinchuk đưa ra có định thức Jacobi không phải là hằng số, các ánh xạ này không trực tiếp bác bỏ định thức Jacobi.

[[Giả thuyết Dixmier]], một giả thuyết khẳng định mọi tự đồng xạ của một [[đại số Weyl]] đều là một đẳng tự, kéo theo rằng giả thuyết Jacobi là đúng ở không gian có số chiều tương ứng.<ref name="BCW1982"/> Ở chiều ngược lại, Yoshifumi Tsuchimoto<ref>{{citation
| last=Tsuchimoto | first=Yoshifumi
| year=2005
| title=Endomorphisms of Weyl algebra and <math>p</math>-curvatures
| url=http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1153494387
| journal=Osaka Journal of Mathematics
| volume=42
| issue=2
| pages=435–452
| issn=0030-6126}}</ref> và Alexei Belov-Kanel và [[Maxim Kontsevich]]<ref>{{citation
| last1=Belov-Kanel | first1=Alexei
| last2=Kontsevich | first2=Maxim
| title=The Jacobian conjecture is stably equivalent to the Dixmier conjecture
| arxiv=math/0512171
| mr=2337879
| year=2007
| journal=Moscow Mathematical Journal
| volume=7
| issue=2
| pages=209–218
| bibcode=2005math.....12171B
| doi=10.17323/1609-4514-2007-7-2-209-218| s2cid=15150838
}}</ref> cho thấy rằng giả thuyết Jacobi ở không gian <math display="inline">2n</math> chiều kéo theo rằng giả thuyết Dixmier là đúng ở không gian có số chiều <math display="inline">n</math>. Kossivi Adjamagbo và Arno van den Essen<ref>{{citation
| last1=Adjamagbo | first1=Pascal Kossivi
| title=A proof of the equivalence of the Dixmier, Jacobian and Poisson conjectures
| url=http://journals.math.ac.vn/acta/pdf/0702205.pdf
| year=2007
| last2=van den Essen | first2=Arno
| journal=Acta Mathematica Vietnamica
| volume=32
| pages=205–214
| mr=2368008}}</ref> đã đưa ra một chứng minh độc lập và thuần đại số cho phép kéo theo thứ hai; trong cùng bài báo này, hai nhà toán học cũng chứng minh rằng cả hai giả thuyết đều tương đương với giả thuyết Poisson, là phát biểu rằng mọi tự đồng xạ của [[đại số Poisson]] phức thứ {{tmath| n }} đều là một đẳng tự. Xét đến phản ví dụ năm 2026, các giả thuyết Dixmier và Poisson đều sai ở các không gian <math display="inline">n > 2</math> chiều; cả hai giả thuyết đều là bài toán mở ở không gian <math display="inline">n = 2</math> chiều, tương tự như giả thuyết Jacobi.

== Phản ví dụ cho trường hợp n > 2 ==
Vào ngày 19 tháng 7 năm 2026, nhà toán học và nhân viên [[Anthropic]] Levent Alpöge đã đưa ra một phản ví dụ cụ thể cho giả thuyết ở không gian ba chiều, và cho biết rằng phản ví dụ này được tìm thấy bằng mô hình ngôn ngữ lớn [[Claude Mythos|Claude Fable 5]].<ref name="anthtweet">{{Cite tweet |user=__alpoge__ |number=2079028340955197566 |title=hello there the jacobian conjecture is false}}</ref><ref>{{cite news|url=https://fortune.com/2026/07/21/ai-solves-jacobian-conjecture-levant-alpoge-claude-fable-5/|title=Mathematicians grapple with a ‘very rapid and very unsettling change’ as AI cracks yet another century-old problem|publisher=|date=July 21, 2026|author=Roytburg|first=Eva|access-date=2026-07-23|work=[[Fortune (magazine)|Fortune]]}}</ref> Theo giáo sư Abhishek Saha từ [[Đại học Queen Mary of London]], phản ví dụ có thể được kiểm chứng một cách dễ dàng, tuy nhiên không rõ bằng cách nào mà Alpöge hoặc Fable có thể đi đến phản ví dụ này.<ref name=":1">{{cite news |url=https://www.newscientist.com/article/2580374-ais-solution-to-87-year-old-riddle-takes-mathematicians-by-surprise/ |title=AI’s solution to 87-year-old riddle takes mathematicians by surprise |author=Matthew Sparkes |date=July 20, 2026 |publisher=[[New Scientist]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20260721173628/https://www.newscientist.com/article/2580374-ais-solution-to-87-year-old-riddle-takes-mathematicians-by-surprise/|archive-date=July 21, 2026}}</ref>

Cho ánh xạ đa thức <math display="inline">F : \mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}^3</math>, trong đó<math display="block">\begin{aligned}F(x,y,z)={}\bigl(~\!& (1+xy)^3 z  + y^2 (1+xy) (4+3xy),\\ &y + 3x(1+xy)^2 z + 3xy^2 (4+3xy), \\ &2x - 3x^2 y - x^3 z ~\!\bigr).\end{aligned}</math>Định thức Jacobi của hàm này là hằng số {{tmath| -2 }}. Tuy nhiên, ánh xạ này không [[đơn ánh]] ở mọi điểm do có trường hợp ánh xạ nhiều điểm khác nhau về cùng một ảnh, và vì vậy không khả nghịch. Ví dụ, các điểm <math display="inline">\bigl(0, 0, {-\tfrac{1}{4}}\bigr)</math>, <math display="inline">\bigl(1, -\tfrac{3}{2}, \tfrac{13}{2}\bigr)</math> và <math display="inline">\bigl({-1}, \tfrac{3}{2}, \tfrac{13}{2}\bigr)</math> đều cho ảnh là điểm <math display="inline">\bigl({-\tfrac{1}{4}}, 0, 0\bigr)</math>.

Theo định nghĩa <math>F</math> nêu trên, đối với mọi số nguyên {{tmath| n\ge 4 }}, ánh xạ đa thức <math display="block">  \mathbb C^n \to \mathbb C^n, \quad (x_1, x_2, x_3, x_4, \dots, x_{n}) \mapsto (F(x_1,x_2,x_3), x_4, \dots, x_{n})</math> là phản ví dụ của giả thuyết trong trường hợp <math>n</math> biến.

Ngày hôm sau, Andy Jiang, một nghiên cứu sinh tiến sĩ toán học tại [[Đại học Michigan]], đã đưa ra một cách phát biểu lại dưới góc độ hình học; anh ghi nhận đóng góp này cho GPT.<ref>{{Cite tweet |number=2079175065695035442 |user=davikrehalt |title=GPT: ... π<nowiki>|</nowiki>X: X → Y is counterexample |first=Andy |last=Jiang |date=2026-07-20}}</ref> [[Terence Tao]], một nhà toán học từ [[Đại học California, Los Angeles]] (UCLA), đã bàn về cách giải thích hình học này bằng phép nhân các dạng nhị biến. Một dạng bậc ba nhị biến tổng quát có ba nhân tử tuyến tính, và qua đó là ba cách biểu diễn dưới dạng tích của một nhân tử tuyến tính và nhân tử bậc hai còn lại. Sau khi áp dụng phép chuẩn hóa kết thức để loại bỏ độ mập mờ về tỉ lệ và thu hẹp vào một lát cắt affine cụ thể của không gian các dạng bậc ba nhị biến, Tao đã thu được một [[Đồng hình étale|ánh xạ étale]] <math>X\to\mathbb C^3</math> về mặt tổng quát có tính chất ba-đối-một từ một đa giống 3 chiều <math>X</math> nằm trong <math>\mathbb C^5</math>, là tập hợp đẳng cấu đa thức với <math>\mathbb C^3</math>.<ref name=":2" /> Cấu trúc phân tích thành nhân tử bậc ba này tương tự như một ví dụ bậc hai cho [[Anatoli Vitushkin]] đưa ra. Anh xạ hữu tỉ của Vitushkin có một cực nằm dọc theo đường thẳng phức, nhưng ánh xạ lại xác định một phủ étale hai lá của phần bù cho một đường cong biệt thức trong <math>\mathbb C^2</math> trên phần bù của đường thẳng phức.<ref>{{cite journal |last=Vitushkin |first=Anatoli G. |author-link=Anatoli Vitushkin |title=Evaluation of the Jacobian of a rational transformation of C² and some applications |journal=Mathematical Notes |date=August 1999 |volume=66 |issue=2 |pages=245–249 |doi=10.1007/BF02674884}}</ref>

Để bổ sung cho cách phát biểu hình học ở trên, một phiên bản giản lược về mặt đại số của phản ví dụ đã được Vitor Freitas xác định bằng mô hình [[Claude (mô hình ngôn ngữ)#Các mô hình|Claude Opus 4.8]].<ref>{{cite web |last=Freitas |first=Vitor |date=23 July 2026 |title=Comment on "A digestion of the Jacobian conjecture counterexample" |url=https://terrytao.wordpress.com/2026/07/21/a-digestion-of-the-jacobian-conjecture-counterexample/#comment-693600 |website=What's New |publisher=Terence Tao |access-date=23 July 2026}}</ref>

Cho <math>u = 1 + xy</math> và <math>W = u^2 z + 3 y^2 u + y^2</math>. Ánh xạ có thể được biểu diễn dưới dạng 
:<math>a = u W,</math>
:<math>b = y + 3 x W,</math>
:<math>c = x(2 - 3 x y - x^2 z).</math>

Ta xác định giải thức bậc ba (cubic resolvent) là 
:<math>P(Y) = 2 Y^3 - 3 b Y^2 + 18 a Y + b^3 - 18 a b + 27 a^2 c.</math>

Sau phân tích thành nhân tử ta có

:<math>P(Y) = 2(Y - y)\left(Y^2 - \left(\frac{3b}{2} - y\right)Y + 9a - y\left(\frac{3b}{2} - y\right)\right).</math>

Với <math>D = 3a + Y^2 - b Y</math>, bất kì nghiệm phù hợp <math>Y</math> nào (thỏa mãn <math>a D \neq 0</math>) đều cho phép tìm lại nghịch ảnh thông qua 
:<math>x = \frac{b - Y}{D}, \quad u = \frac{3a}{D}, \quad W = \frac{D}{3}</math>
(qua đó suy ra <math>z</math>). Đối với <math>(a,b,c)</math> bất kì, phương trình <math>P(Y)</math> bậc ba có ba nghiệm phân biệt, từ đó suy ra được ba nghịch ảnh phân biệt. Qua đó, ta thấy ánh xạ về mặt tổng quát có tính chất ba-đối-một, và vì vậy không khả nghịch.

== Tham khảo ==
{{tham khảo|colwidth=30em}}
== Liên kết ngoài ==
* [http://www.math.purdue.edu/~ttm/jacobian.html Bài viết trên trang web của Tzuong-Tsieng Moh về trường hợp hai biến của giả thuyết Jacobi]
{{Kiểm soát tính nhất quán}}

[[Thể loại:Hình học đại số]]
[[Thể loại:Đa thức]]
[[Thể loại:Giả thuyết]]
[[Thể loại:Vấn đề chưa được giải quyết trong toán học]]
[[Thể loại:Phỏng đoán]]