Hàm zeta Riemann

Hàm zeta Riemann hoặc hàm zeta Euler-Riemann, ζ(s), là một hàm số một biến phức, là kết quả thác triển giải tích của chuỗi Dirichlet

Tập tin:File:Riemann-Zeta-Func.png
Tính chất cơ bản
Miền xác định	$ℂ\setminus \{1\}$
Miền đích	$ℂ$
Giá trị cụ thể
Tại số 0	$-\frac{1}{2}$
Giá trị tại +∞	$1$
Giá trị tại $2$	$\frac{{\pi }^2}{6}$
Giá trị tại $-1$	$-\frac{1}{12}$
Giá trị tại $-2$	$0$

Tập tin:Riemann-Zeta-Detail.png

Điểm kì dị tại $z=1$ và hai không điểm trên đường tới hạn.

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$

Chuỗi này hội tụ khi phần thực của s lớn hơn 1. Thác triển giải tích tối đại của nó được xác định trên toàn bộ mặt phẳng phức trừ điểm 1. Hàm zeta Riemann đóng vai trò then chốt trong lý thuyết số giải tích và có các ứng dụng trong vật lý, lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng.

Định nghĩa

Tập tin:Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse.pdf

Bài báo của Bernhard Riemann Về số lượng các số nguyên tố dưới một độ lớn nhất định.

Hàm zeta Riemann ζ(s) là một hàm số một biến phức s = σ + i t.

Đối với trường hợp đặc biệt $\Re 𝔢(s)\equiv \sigma >1$, hàm zeta có thể được biểu thị bằng tích phân sau:

$\zeta (s)=\frac{1}{\Gamma (s)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\mathrm{d}x\text{ với }\Re 𝔢(s)\equiv \sigma >1$

trong đó

$\Gamma (s)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{s-1}{e}^{-x}\mathrm{d}x$

là hàm gamma.

Trong trường hợp σ > 1, tích phân trên luôn hội tụ, và có thể được đơn giản hóa bằng chuỗi vô hạn:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-s}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots \text{ với }\sigma \equiv \Re 𝔢(s)>1.$

Hàm zeta Riemann được định nghĩa là thác triển giải tích của hàm trên.

Với s = 1, chuỗi trên là chuỗi điều hòa phân kỳ và

$\underset{s\to 1}{lim}(s-1)\zeta (s)=1.$

Như vậy hàm zeta Riemann là một hàm phân hình trên toàn bộ mặt phẳng phức với một cực đơn tại s = 1 có thặng dư bằng 1.

Giá trị cụ thể

Với mọi số nguyên dương chẵn 2n:

$\zeta (2n)=\frac{(-1{)}^{n+1}{B}_{2n}(2\pi {)}^{2n}}{2(2n)!}$

trong đó B_2n là số Bernoulli thứ 2n.

Thông qua thác triển giải tích, người ta có thể chỉ ra rằng:

• $\zeta (-1)=-\frac{1}{12}$
• $\zeta (0)=-\frac{1}{2};$
• $\zeta (1)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots =\mathrm{\infty };$
• $\zeta (2)=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}\approx 1.64493406684822643647;$ 
• $\zeta (4)=1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\cdots =\frac{{\pi }^4}{90}\approx 1.08232323371113819152;$ 

Giá trị này xuất hiện khi tích phân định luật Planck để rút ra định luật Stefan-Boltzmann trong vật lý.

Công thức tích Euler

Liên hệ giữa hàm zeta và số nguyên tố được phát hiện bởi Euler, người đã chứng minh đồng nhất thức

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\prod _{p\text{ nguyên tố}}\frac{1}{1-p^{-s}},$

Thác triển hàm zeta Riemann

Hàm zeta thỏa mãn phương trình hàm sau đây:

$\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s),$

trong đó Γ(s) là hàm gamma. Đây là một đẳng thức giữa các hàm chỉnh hình có giá trị trên toàn bộ mặt phẳng phức. Phương trình này liên kết các giá trị của hàm zeta Riemann tại các điểm $s$ và $1-s$, đặc biệt là liên kết các số nguyên dương chẵn với các số nguyên âm lẻ. Do các điểm không của hàm sin, phương trình hàm này hàm ý rằng $\zeta (s)$ có một điểm không đơn (simple zero) tại mỗi số nguyên âm chẵn $s=-2n$, được gọi là các điểm không tầm thường (trivial zeros) của $\zeta (s)$. Khi $s$ là một số nguyên dương chẵn, tích $\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma (1-s)$ ở vế phải khác không vì $\Gamma (1-s)$ có một cực điểm đơn (simple pole), cực điểm này triệt tiêu điểm không đơn của nhân tử sin. Khi $s=0$, điểm không của nhân tử sin bị triệt tiêu bởi cực điểm đơn của $\zeta (1)$.

Không điểm, đường tới hạn và giả thuyết Riemann

Tập tin:Zero-free region for the Riemann zeta-function.svg

Ngoài các không điểm tầm thường, hàm zeta Riemann không có không điểm ở bên phải của σ = 1 và bên trái của σ = 0.

Tập tin:Zeta polar.svg

Đồ thị của hàm zeta Riemann dọc theo đường tới hạn cho các giá trị thực của t chạy từ 0 đến 34. Năm không điểm đầu tiên trong dải tới hạn có thể nhìn thấy rõ là nơi mà các vòng xoắn đi qua gốc tọa độ.

Tập tin:RiemannCriticalLine.svg

Phần thực (màu đỏ) và phần ảo (màu xanh) của hàm zeta Riemann zeta dọc theo đường tới hạn Re (s) = 1/2. Các không điểm không tầm thường đầu tiên có thể được nhìn thấy tại Im (s) = ± 14.135, ± 21.022 và ± 25.011.

Phương trình hàm Riemann cho thấy hàm zeta Riemann có các không điểm tại −2, −4,…. Chúng được gọi là không điểm tầm thường. Chúng tầm thường theo nghĩa sự tồn tại của chúng tương đối dễ chứng minh, ví dụ, từ sin πs/2 bằng 0 trong phương trình hàm (lưu ý rằng các không điểm dương của hàm sin bị triệt tiêu bởi các cực điểm của hàm gamma).

Người ta biết rằng bất kỳ không điểm không tầm thường nào đều nằm trong dải mở {s ∈ ℂ: 0 < Re(s) < 1}, được gọi là dải tới hạn. Giả thuyết Riemann, được coi là một trong những vấn đề chưa được giải quyết lớn nhất trong toán học, khẳng định rằng bất kỳ không điểm không tầm thường s nào đều thỏa mãn Re(s) = 1/2. Trong lý thuyết về hàm zeta Riemann, tập {s ∈ ℂ: Re(s) = 1/2}   được gọi là đường tới hạn.

Tham khảo

• Apostol, T. M. (2010), "Zeta and Related Functions", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Has an English translation of Riemann's paper.
• (Globally convergent series expression.)
• . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).

Liên kết ngoài

• Riemann Zeta Function, in Wolfram Mathworld — an explanation with a more mathematical approach
• Tables of selected zeros
• Prime Numbers Get Hitched A general, non-technical description of the significance of the zeta function in relation to prime numbers.
• X-Ray of the Zeta Function Visually oriented investigation of where zeta is real or purely imaginary.
• Formulas and identities for the Riemann Zeta function functions.wolfram.com
• Riemann Zeta Function and Other Sums of Reciprocal Powers, section 23.2 of Abramowitz and Stegun
• Mellin transform and the functional equation of the Riemann Zeta function—Computational examples of Mellin transform methods involving the Riemann Zeta Function