Thành viên:Van khea

Bất đẳng thức 2011.1 Van Khea

Cho các số thực không âm $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}; n \in ℕ^{*}$ và $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}; n \in ℕ^{*}$ thoả mãn điều kiện $a_{1} - a_{2} - ... - a_{n} = 1; n \in ℕ^{*}$ Thì:

\frac{x_{1}^{a_{1}}}{x_{2}^{a_{2}} x_{3}^{a_{3}} ... x_{n}^{a_{n}}} \geq a_{1} x_{1} - a_{2} x_{2} - a_{3} x_{3} - ... - a_{n} x_{n}

đẳng thức xảy ra khi $x_{1} = x_{2} = ... = x_{n}$

Bất đẳng thức tương đương

Đặt $a_{i} = \frac{1}{p_{i}} > 0; (i = 1, 2, ..., n)$ và đặt $x_{i} = t_{i}^{p_{i}} > 0, (i = 1, 2, ..., n)$ sau đó bất đẳng thức trên tương đương với:

\frac{t_{1}}{t_{2} t_{3} ... t_{n}} \geq \frac{t_{1}^{p_{1}}}{p_{1}} - \frac{t_{2}^{p_{2}}}{p_{2}} - ... - \frac{t_{n}^{p_{n}}}{p_{n}}

Ví dụ ứng dụng

Ứng dụng để chưng mình bất đẳng thức AM-GM

Cho n số

x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} > 0; n \in ℕ^{*}

và các hệ số

a_{1}, a_{2}, ..., a_{n} > 0 & a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} = 1; n \in ℕ^{*} .

Thì ta được:

a_{1} x_{1} + a_{2} x_{n} + ... + a_{n} x_{n} \geq x_{1}^{a_{1}} x_{2}^{a_{2}} ... x_{n}^{a_{n}}

Giải

Ta có $a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} = 1 \Leftrightarrow 2 - a_{1} - a_{2} - ... - a_{n} = 1$

theo bất đẳng thức 2011 Van Khea ta được:

\frac{(a_{1} x_{2} + a_{2} x_{2} + ... + a_{n} x_{n})^{2}}{x_{1}^{a_{1}} x_{2}^{a_{2}} ... x_{n}^{a_{n}}} \geq 2 (a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + ... + a_{n} x_{n}) - a_{1} x_{1} - a_{2} x_{2} - ... - a_{n} x_{n} = a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + ... + a_{n} x_{n}

\Rightarrow a_{1} x_{1} + a_{2} x_{n} + ... + a_{n} x_{n} \geq x_{1}^{a_{1}} x_{2}^{a_{2}} ... x_{n}^{a_{n}}

Ứng dụng để chưng mình bất đẳng thức Holder

Cho các số thực không âm

x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} & y_{1}, y_{2}, ..., y_{n}; n \in ℕ^{*} .

thì ta được:

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} \leq (\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{p})^{\frac{1}{p}} (\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{q})^{\frac{1}{q}}

Trong đó

p, q > 0 & \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1

Giải

Ta có

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \Leftrightarrow 2 - \frac{1}{p} - \frac{1}{q} = 1

Theo bất đẳng thức 2011 Van Khea ta được:

$\frac{t_{1}^{2}}{t_{2} t_{3}} = \frac{t_{1}^{2}}{(t_{2}^{p})^{\frac{1}{p}} (t_{3}^{q})^{\frac{1}{q}}} \geq 2 t_{1} - \frac{1}{p} t_{2}^{p} - \frac{1}{q} t_{3}^{q}$

Đặt $t_{1} = \frac{x_{i} y_{i}}{\sum x_{i} y_{i}}; t_{2} = \frac{x_{i}}{(\sum x_{i}^{p})^{\frac{1}{p}}}; t_{3} = \frac{y_{i}}{(\sum y_{i}^{q})^{\frac{1}{q}}}$

thay vào ta được

$\frac{(\sum x_{i}^{p})^{\frac{1}{p}} (\sum y_{i}^{q})^{\frac{1}{q}}}{(\sum x_{i} y_{i})^{2}} . x_{i} y_{i} \geq \frac{2 x_{i} y_{i}}{\sum x_{i} y_{i}} - \frac{1}{p} \frac{x_{i}^{p}}{\sum x_{i}^{p}} - \frac{1}{q} \frac{y_{i}^{q}}{\sum y_{i}^{q}}$

$\Rightarrow \sum \frac{(\sum x_{i}^{p})^{\frac{1}{p}} (\sum y_{i}^{q})^{\frac{1}{q}}}{(\sum x_{i} y_{i})^{2}} . x_{i} y_{i} \geq \sum \frac{2 x_{i} y_{i}}{\sum x_{i} y_{i}} - \frac{1}{p} \frac{x_{i}^{p}}{\sum x_{i}^{p}} - \frac{1}{q} \frac{y_{i}^{q}}{\sum y_{i}^{q}} = 1$

$\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} \leq (\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{p})^{\frac{1}{p}} (\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{q})^{\frac{1}{q}}$