Hàm eta Dirichlet

Trong lý thuyết số giải tích của toán học, Hàm eta Dirichlet được định nghĩa bởi chuỗi Dirichlet, chuỗi này hội tụ với mọi số phức có phần thực lớn hơn không:$$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^s}=\frac{1}{1^s}-\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}-\frac{1}{4^s}+\cdots .$$

Tập tin:Dirichlet eta function.png

Biểu diễn màu sắc của hàm eta Dirichlet. Đồ thị này được tạo bằng thư viện Matplotlib sử dụng một phiên bản của phương pháp tô màu miền .

Chuỗi Dirichlet này là tổng đan dấu tương ứng với khai triển chuỗi Dirichlet của hàm zeta Riemann , ζ(s) — và vì lý do này, hàm eta Dirichlet còn được gọi là hàm zeta đan dấu. Mối liên hệ giữa hai hàm như sau:$$\eta (s)=(1-2^{1-s})\zeta (s)$$

Cả hàm eta Dirichlet và hàm zeta Riemann đều là các trường hợp đặc biệt của hàm đa logarit

Trong khai triển chuỗi Dirichlet cho hàm eta chỉ hội tụ tuyệt đối với mọi số phức s có phần thực > 0, nó vẫn khả tổng Abel đối với mọi số phức. Điều này cho phép định nghĩa hàm eta là một hàm nguyên.

Một cách tương đương, chúng ta có thể bắt đầu bằng việc định nghĩa: $$\eta (s)=\frac{1}{\Gamma (s)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{s-1}}{e^x+1}dx$$hàm số này cũng được định nghĩa trong miền có phần thực dương ($\Gamma (s)$ là hàm gamma). Điều này cho ta hàm eta dưới dạng một phép biến đổi Mellin.

Hardy đã đưa ra một chứng minh đơn giản cho phương trình hàm của hàm eta, chính là:$$\eta (-s)=2\frac{1-2^{-s-1}}{1-2^{-s}}{\pi }^{-s-1}s\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1).$$

Từ điều này, ta cũng ngay lập tức có được phương trình hàm của hàm zeta, cũng như một phương thức khác để thác triển giải tích hàm eta sang toàn bộ mặt phẳng phức.

Biểu diễn tích phân

Một số công thức tích phân liên quan đến hàm eta có thể được liệt kê. Công thức đầu tiên được suy ra từ phép đổi biến của biểu diễn tích phân của hàm Gamma (Abel, 1823), cho ta một phép biến đổi Mellin mà có thể được biểu diễn bằng nhiều cách khác nhau dưới dạng tích phân kép (Sondow, 2005). Điều này đúng với $\mathrm{\Re }s>0.$ $$\begin{array}{cc}\Gamma (s)\eta (s)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{s-1}}{e^x+1}dx={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^x\frac{x^{s-2}}{e^x+1}dydx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{(t+r{)}^{s-2}}{e^{t+r}+1}drdt={\int }_0^1{\int }_0^1\frac{{(-\log (xy))}^{s-2}}{1+xy}dxdy.\end{array}$$

Biến đổi Cauchy–Schlömilch (Amdeberhan, Moll et al., 2010) có thể được sử dụng để chứng minh biểu diễn khác này, đúng với $\mathrm{\Re }s>-1$. Tích phân từng phần của tích phân đầu tiên ở trên trong mục này mang lại một cách khác.$$2^{1-s}\Gamma (s+1)\eta (s)=2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2s+1}}{{\cosh }^2(x^2)}dx={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{t^s}{{\cosh }^2(t)}dt.$$

Thuật toán tính số

Hầu hết các kỹ thuật biến đổi để chuỗi vô hạn hội tụ nhanh hơn được phát triển cho chuỗi đan dấu đều có thể áp dụng hiệu quả vào việc tính giá trị của hàm eta. Một phương pháp đặc biệt đơn giản nhưng hợp lý là áp dụng phép biến đổi Euler cho chuỗi đan dấu, để thu được$$\eta (s)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n+1}}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{1}{(k+1{)}^s}.$$

Lưu ý rằng tổng bên trong thứ hai là một sai phân hữu hạn

Phương pháp Borwein

Peter Borwein đã sử dụng các phép xấp xỉ liên quan đến đa thức Chebyshev để tạo ra một phương pháp tính giá trị hàm eta một cách hiệu quả. Nếu$$d_k=n\sum _{\ell =0}^k\frac{(n+\ell -1)!4^{\ell }}{(n-\ell )!(2\ell )!}$$thì$$\eta (s)=-\frac{1}{d_n}\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(-1{)}^k(d_k-d_n)}{(k+1{)}^s}+{\gamma }_n(s),$$Với $\mathrm{\Re }(s)\ge \frac{1}{2}$ phần sai số γ_n được bao bởi$$|{\gamma }_n(s)|\le \frac{3}{(3+\sqrt{8}{)}^n}(1+2|\mathrm{\Im }(s)|)\exp (\frac{\pi }{2}|\mathrm{\Im }(s)|).$$

Hệ số $3+\sqrt{8}\approx 5.8$ trong biên sai số cho thấy chuỗi Borwein hội tụ rất nhanh khi $n$ tăng lên.

Đạo hàm

Đạo hàm theo biến $s$ với $s\ne 1$$${\eta }^{\prime }(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n\ln n}{n^s}=2^{1-s}\ln (2)\zeta (s)+(1-2^{1-s}){\zeta }^{\prime }(s).$$Và$${\eta }^{\prime }(1)=\ln (2)\gamma -\ln (2{)}^2{2}^{-1}$$

Liên kết ngoài

• Jensen, J. L. W. V. (1895). "Remarques relatives aux réponses de MM. Franel et Kluyver". L'Intermédiaire des Mathématiciens. II: 346].
• Lindelöf, Ernst (1905). Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions. Gauthier-Villars. tr. 103.
• Widder, David Vernon (1946). The Laplace Transform. Princeton University Press. tr. 230.
• Landau, Edmund, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Erster Band, Berlin, 1909, p. 160. (Second edition by Chelsea, New York, 1953, p. 160, 933)
• Titchmarsh, E. C. (1986). The Theory of the Riemann Zeta Function, Second revised (Heath-Brown) edition. Oxford University Press.
• Conrey, J. B. (1989). "More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 1989 (399): 1–26. doi:10.1515/crll.1989.399.1. S2CID 115910600.
• Knopp, Konrad (1990) [1922]. Theory and Application of Infinite Series. Dover. ISBN 0-486-66165-2.
• Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function Lưu trữ ngày 26 tháng 7 năm 2011 tại Wayback Machine, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29–34.
• Sondow, Jonathan (2005). "Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula". Amer. Math. Monthly. 112: 61–65. arXiv:math.CO/0211148. Amer. Math. Monthly 112 (2005) 61–65, formula 18.
• Sondow, Jonathan (2003). "Zeros of the Alternating Zeta Function on the Line R(s)=1". Amer. Math. Monthly. 110: 435–437. arXiv:math/0209393. Amer. Math. Monthly, 110 (2003) 435–437.
• Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2003). "Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function" (PDF).
• Amdeberhan, T.; Glasser, M. L.; Jones, M. C.; Moll, V. H.; Posey, R.; Varela, D. (2010). "The Cauchy–Schlomilch Transformation". arXiv:1004.2445 [math.CA]. p. 12.
• Milgram, Michael S. (2012). "Integral and Series Representations of Riemann's Zeta Function, Dirichlet's Eta Function and a Medley of Related Results". Journal of Mathematics. 2013: 1–17. arXiv:1208.3429. doi:10.1155/2013/181724..